lmtest

Тест множителя Лагранжа спецификации модели

Синтаксис

h = lmtest(score,ParamCov,dof)

h = lmtest(score,ParamCov,dof,alpha)

[h,pValue]
= lmtest(___)

[h,pValue,stat,cValue]
= lmtest(___)

Описание

пример

h = lmtest(score,ParamCov,dof) возвращает логическое значение (h) с решением отклонения от проведения теста множителя Лагранжа спецификации модели на 5%-м уровне значения. lmtest создает тестовую статистическую величину использование функции счета (score), предполагаемая ковариация параметра (ParamCov), и степени свободы (dof).

пример

h = lmtest(score,ParamCov,dof,alpha) возвращает решение отклонения о тесте множителя Лагранжа, проводимом на уровне значения alpha.

Если score и ParamCov длина массивы ячеек k, затем все другие аргументы должны быть длиной векторы k или скаляры. lmtest обработки каждая ячейка как отдельный тест, и возвращают вектор из решений отклонения.
Если score массив ячейки строки, затем lmtest возвращает вектор-строку.

пример

[h,pValue] = lmtest(___) возвращает решение отклонения и p - значение (pValue) для теста гипотезы, с помощью любого из входных параметров в предыдущих синтаксисах.

пример

[h,pValue,stat,cValue] = lmtest(___) дополнительно возвращает тестовую статистическую величину (stat) и критическое значение (cValue) для теста гипотезы.

Примеры

свернуть все

Выберите Best AR Model Specification

Скрипт Open Live Script

Сравните технические требования модели AR для ряда симулированного отклика с помощью lmtest.

Рассмотрите модель AR (3):

$y_{t} = 1 + 0.9 y_{t - 1} - 0.5 y_{t - 2} + 0.4 y_{t - 3} + ε_{t},$

где $ε_{t}$ является Гауссовым со средним значением 0 и отклонением 1. Задайте эту модель с помощью arima.

Mdl = arima('Constant',1,'Variance',1,'AR',{0.9,-0.5,0.4});

Mdl полностью заданная, модель AR (3).

Симулируйте преддемонстрационные и эффективные демонстрационные ответы от Mdl.

T = 100;
rng(1);               % For reproducibility
n = max(Mdl.P,Mdl.Q); % Number of presample observations
y = simulate(Mdl,T + n);

y случайный путь от Mdl это включает преддемонстрационные наблюдения.

Задайте ограниченную модель:

$y_{t} = c + ϕ_{1} y_{t - 1} + ϕ_{2} y_{t - 2} + ε_{t},$

где $ε_{t}$ является Гауссовым со средним значением 0 и отклонением $σ^{2}$ .

Mdl0 = arima(3,0,0);
Mdl0.AR{3} = 0;

Структура Mdl0 совпадает с Mdl. Однако каждый параметр неизвестен, за исключением того, что $ϕ_{3} = 0$ . Это - ограничение равенства во время оценки.

Оцените ограниченную модель с помощью симулированных данных (y).

[EstMdl0,EstParamCov] = estimate(Mdl0,y((n+1):end),...
    'Y0',y(1:n),'display','off');
phi10 = EstMdl0.AR{1};
phi20 = EstMdl0.AR{2};
phi30 = 0;
c0 = EstMdl0.Constant;
phi0 = [c0;phi10;phi20;phi30];
v0 = EstMdl0.Variance;

EstMdl0 содержит оценки параметра ограниченной модели.

lmtest требует неограниченного счета модели, оцененного в ограниченных оценках модели. Неограниченный градиент модели

$\frac{\partial l (ϕ_{1}, ϕ_{2}, ϕ_{3}, c, σ^{2}; y_{t}, . . ., y_{t - 3})}{\partial c} = \frac{1}{σ^{2}} (y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2} - ϕ_{3} y_{t - 3})$

$\frac{\partial l (ϕ_{1}, ϕ_{2}, ϕ_{3}, c, σ^{2}; y_{t}, . . ., y_{t - 3})}{\partial ϕ_{j}} = \frac{1}{σ^{2}} (y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2} - ϕ_{3} y_{t - 3}) y_{t - j}$

$\frac{\partial l (ϕ_{1}, ϕ_{2}, ϕ_{3}, c, σ^{2}; y_{t}, . . ., y_{t - 3})}{\partial σ^{2}} = - \frac{1}{2 σ^{2}} + \frac{1}{2 σ^{4}} (y_{t} - c - ϕ_{1} y_{t - 1} - ϕ_{2} y_{t - 2} - ϕ_{3} y_{t - 3})^{2} .$

MatY = lagmatrix(y,1:3);
LagY = MatY(all(~isnan(MatY),2),:);
cGrad = (y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0)/v0;
phi1Grad = ((y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0).*LagY(:,1))/v0;
phi2Grad = ((y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0).*LagY(:,2))/v0;
phi3Grad = ((y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0).*LagY(:,3))/v0;
vGrad = -1/(2*v0)+((y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0).^2)/(2*v0^2);
Grad = [cGrad,phi1Grad,phi2Grad,phi3Grad,vGrad]; % Gradient matrix

score = sum(Grad)'; % Score under the restricted model

Оцените неограниченное средство оценки ковариации параметра с помощью ограниченного MLEs и векторного произведения градиентов (OPG) метод.

EstParamCov0 = inv(Grad'*Grad);
dof = 1; % Number of model restrictions

Протестируйте нулевую гипотезу это $ϕ_{3} = 0$ на 1%-м уровне значения с помощью lmtest.

[h,pValue] = lmtest(score,EstParamCov0,dof,0.1)

h = logical
   1

pValue = 2.2524e-09

pValue близко к 0, который предполагает, что существуют убедительные доказательства, чтобы отклонить ограниченную, модель AR (2) в пользу неограниченной, модели AR (3).

Оцените технические требования модели Используя тест множителя Лагранжа

Скрипт Open Live Script

Сравните два технических требований модели для симулированного образования и поступите данные. Неограниченная модель имеет следующую логарифмическую правдоподобность:

$l (β, ρ) = - n \log Γ (ρ) + ρ \sum_{k = 1}^{n} \log β_{k} + (ρ - 1) \sum_{k = 1}^{n} \log (y_{k}) - \sum_{k = 1}^{n} y_{k} β_{k},$

где

$β_{k} = \frac{1}{β + x_{k}} .$
$x_{k}$ количество классов тот человек k завершенный.
$y_{k}$ доход (в тысячах доллара США) человека k.

Таким образом, доход человека k, учитывая количество классов, что человеком k завершенный является Гамма, распределенная с формой $ρ$ и уровень $β_{i}$ . Ограниченные наборы модели $ρ = 1$ , который подразумевает, что доход человека k, учитывая количество человека классов k завершенный экспоненциально распределяется со средним значением $β + x_{i}$ .

Ограниченная модель $H_{0} : ρ = 1$ . Для того, чтобы сравнить эту модель с неограниченной моделью, вы требуете:

Вектор градиента из неограниченной модели
Оценка наибольшего правдоподобия (MLE) в соответствии с ограниченной моделью
Средство оценки ковариации параметра оценено под MLEs ограниченной модели

Загрузите данные.

load Data_Income1
x = DataTable.EDU;
y = DataTable.INC;

Оцените ограниченные параметры модели путем максимизации $l (ρ, β)$ относительно $β$ подвергните ограничению $ρ = 1$ . Градиент $l (ρ, β)$

$\frac{\partial l (ρ, β)}{\partial β} = \sum_{i = 1}^{T} (y_{i} β_{i}^{2} - ρ β_{i})$

$\frac{\partial l (ρ, β)}{\partial ρ} = - T Ψ (ρ) + \sum_{i = 1}^{T} (\log β_{i} y_{i}),$

где $Ψ (ρ)$ дигамма-функция.

rho0 = 1; % Restricted rho
dof = 1;  % Number of restrictions
dLBeta = @(beta) sum(y./((beta + x).^2) - rho0./(beta + x));...
    % Anonymous gradient function

[betaHat0,fVal,exitFlag] = fzero(dLBeta,0)

betaHat0 = 15.6027

fVal = 2.7756e-17

exitFlag = 1

beta = [0:0.1:50];
plot(beta,arrayfun(dLBeta,beta))
hold on
plot([beta(1);beta(end)],zeros(2,1),'k:')
plot(betaHat0,fVal,'ro','MarkerSize',10)
xlabel('{\beta}')
ylabel('Loglikelihood Gradient')
title('{\bf Loglikelihood Gradient with Respect to \beta}')
hold off

Figure contains an axes object. The axes object with title blank L o g l i k e l i h o o d blank G r a d i e n t blank w i t h blank R e s p e c t blank t o blank beta contains 3 objects of type line.

Градиент относительно $β$ (dLBeta) уменьшается, который предполагает, что существует локальный максимум в его корне. Поэтому betaHat0 MLE для ограниченной модели. fVal указывает, что значение градиента очень близко к 0 в betaHat0. Выходной флаг (exitFlag) 1, который указывает на тот fzero найденный корнем градиента без проблемы.

Оцените ковариацию параметра в соответствии с ограниченной моделью с помощью векторного произведения градиентов (OPG).

rGradient = [-rho0./(betaHat0+x)+y.*(betaHat0+x).^(-2),...
      log(y./(betaHat0+x))-psi(rho0)];    % Gradient per unit
rScore = sum(rGradient)';                 % Score function
rEstParamCov = inv(rGradient'*rGradient); % Parameter covariance estimate

Протестируйте неограниченную модель против ограниченной модели с помощью теста множителя Лагранжа.

[h,pValue] = lmtest(rScore,rEstParamCov,dof)

h = logical
   1

pValue = 7.4744e-05

pValue близко к 0, который указывает, что существуют убедительные доказательства, чтобы предположить, что неограниченная модель соответствует данным лучше, чем ограниченная модель.

Оцените условный Heteroscedasticity Используя тест множителя Лагранжа

Скрипт Open Live Script

Протестируйте, существуют ли значительные эффекты ДУГИ в ряду симулированного отклика с помощью lmtest. Значения параметров в этом примере произвольны.

Задайте модель AR (1) с ДУГОЙ (1) отклонение:

$y_{t} = 0.9 y_{t - 1} + ε_{t},$

где

$ε_{t} = w_{t} \sqrt{h_{t}} .$
$h_{t} = 1 + 0.5 ε_{t - 1}^{2} .$
$w_{t}$ является Гауссовым со средним значением 0 и отклонением 1.

VarMdl = garch('ARCH',0.5,'Constant',1);
Mdl = arima('Constant',0,'Variance',VarMdl,'AR',0.9);

Mdl полностью заданная, модель AR (1) с ДУГОЙ (1) отклонение.

Симулируйте преддемонстрационные и эффективные демонстрационные ответы от Mdl.

T = 100;
rng(1);  % For reproducibility
n = 2;   % Number of presample observations required for the gradient
[y,ep,v] = simulate(Mdl,T + n);

ep случайный путь инноваций от VarMdl. Программное обеспечение фильтрует ep через Mdl давать случайный путь к ответу y.

Задайте ограниченную модель и примите, что постоянная модель AR 0:

$y_{t} = c + ϕ_{1} y_{t - 1} + ε_{t},$

где $h_{t} = α_{0} + α_{1} ε_{t - 1}^{2}$ .

VarMdl0 = garch(0,1);
VarMdl0.ARCH{1} = 0;
Mdl0 = arima('ARLags',1,'Constant',0,'Variance',VarMdl0);

Структура Mdl0 совпадает с Mdl. Однако каждый параметр неизвестен, за исключением ограничения $α_{1} = 0$ . Это ограничения равенства во время оценки. Можно интерпретировать Mdl0 как модель AR (1) с Гауссовыми инновациями, которые имеют среднее значение 0 и постоянное отклонение.

Оцените ограниченную модель с помощью симулированных данных (y).

psI = 1:n;             % Presample indices
esI = (n + 1):(T + n); % Estimation sample indices

[EstMdl0,EstParamCov] = estimate(Mdl0,y(esI),...
    'Y0',y(psI),'E0',ep(psI),'V0',v(psI),'display','off');
phi10 = EstMdl0.AR{1};
alpha00 = EstMdl0.Variance.Constant;

EstMdl0 содержит оценки параметра ограниченной модели.

lmtest требует неограниченного счета модели, оцененного в ограниченных оценках модели. Неограниченная функция логарифмической правдоподобности модели

$l (ϕ_{1}, α_{0}, α_{1}) = \sum_{t = 2}^{T} (- 0.5 \log (2 π) - 0.5 \log h_{t} - \frac{ε_{t}^{2}}{2 h_{t}}),$

где $ε_{t} = y_{t} - ϕ_{1} y_{t - 1}$ . Неограниченный градиент

$\frac{\partial l (ϕ_{1}, α_{0}, α_{1})}{\partial α} = \sum_{t = 2}^{T} \frac{1}{2 h_{t}} z_{t} f_{t},$

где $z_{t} = [1, ε_{t - 1}^{2}]$ и $f_{t} = \frac{ε_{t}^{2}}{h_{t}} - 1$ . Информационная матрица

$I = \frac{1}{2 h_{t}^{2}} \sum_{t = 2}^{T} z_{t}^{'} z_{t} .$

В соответствии с пустой, ограниченной моделью, $h_{t} = h_{0} = {α_{}^{ˆ}}_{0}$ для всего t, где ${α_{}^{ˆ}}_{0}$ оценка от ограниченного анализа модели.

Оцените градиент и информационную матрицу в соответствии с ограниченной моделью. Оцените ковариацию параметра путем инвертирования информационной матрицы.

e = y - phi10*lagmatrix(y,1);
eLag1Sq = lagmatrix(e,1).^2;
h0 = alpha00;
ft = (e(esI).^2/h0 - 1);
zt = [ones(T,1),eLag1Sq(esI)]';

score0 = 1/(2*h0)*zt*ft;        % Score function
InfoMat0 = (1/(2*h0^2))*(zt*zt');
EstParamCov0 = inv(InfoMat0);   % Estimated parameter covariance
dof = 1;                        % Number of model restrictions

Протестируйте нулевую гипотезу это $α_{1} = 0$ на 5%-м уровне значения с помощью lmtest.

[h,pValue] = lmtest(score0,EstParamCov0,dof)

h = logical
   1

pValue = 4.0443e-06

pValue близко к 0, который предполагает, что существует доказательство, чтобы отклонить ограниченную модель AR (1) в пользу неограниченной модели AR (1) с ДУГОЙ (1) отклонение.

Входные параметры

свернуть все

`score` — Неограниченные градиенты логарифмической правдоподобности модели
вектор | массив ячеек векторов

Неограниченные градиенты логарифмической правдоподобности модели, оцененные в ограниченном параметре модели, оценивают в виде вектора ячейки или вектора.

Для одного теста, score может быть p - вектор или одноэлементный массив ячеек, содержащий p-by-1 вектор. p является количеством параметров в неограниченной модели.
Для проведения k> 1 тест, score должна быть длина массив ячеек k. Ячейка j должна содержать один _pj-by-1 вектор, который соответствует одному независимому тесту. _pj является количеством параметров в неограниченной модели теста j.

Типы данных: double | cell

`ParamCov` — Оценка ковариации параметра
матрица | массив ячеек матриц

Ковариация параметра оценивает в виде симметрической матрицы массива ячеек симметричных матриц. ParamCov неограниченное средство оценки ковариации параметра модели, оцененное в ограниченных оценках параметра модели.

Для одного теста, ParamCov может быть p-by-p матрица или одноэлементный массив ячеек, содержащий p-by-p матрица. p является количеством параметров в неограниченной модели.
Для проведения k> 1 тест, ParamCov должна быть длина массив ячеек k. Ячейка j должна содержать один _pj-by-_pj матрица, которая соответствует одному независимому тесту. _pj является количеством параметров в неограниченной модели теста j.

Типы данных: double | cell

`dof` — Степени свободы
положительное целое число | вектор из положительных целых чисел

Степени свободы для асимптотического, распределения хи-квадрат тестовой статистики в виде положительного целого числа или вектора из положительных целых чисел.

Для каждого соответствующего теста, элементов dof:

Количество ограничений модели
Должен быть меньше количества параметров в неограниченной модели

При проведении k> 1 тест,

Если dof скаляр, затем программное обеспечение расширяет его до k-by-1 вектор.
Если dof вектор, затем он должен иметь длину k.

`alpha` — Номинальные уровни значения
0,05 (значения по умолчанию) | скаляр | вектор

Номинальные уровни значения для гипотезы тестируют в виде скаляра или вектора.

Каждый элемент alpha должен быть больше 0 и меньше чем 1.

При проведении k> 1 тест,

Если alpha скаляр, затем программное обеспечение расширяет его до k-by-1 вектор.
Если alpha вектор, затем он должен иметь длину k.

Типы данных: double

Выходные аргументы

свернуть все

`h` — Протестируйте решения отклонения
логический | вектор из logicals

Протестируйте решения отклонения, возвращенные как логическое значение или вектор из логических значений с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

h = 1 указывает на отклонение пустой, ограниченной модели в пользу альтернативной, неограниченной модели.
h = 0 указывает на отказ отклонить пустую, ограниченную модель.

`pValue` — Протестируйте статистический p - значения
скаляр | вектор

Протестируйте статистический p - значения, возвращенные как скаляр или вектор с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

`stat` — Протестируйте статистику
скаляр | вектор

Протестируйте статистику, возвращенную как скаляр или вектор с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

`cValue` — Критические значения
скаляр | вектор

Критические значения определяются alpha, возвращенный, когда скаляр или вектор с длиной равняются количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

Больше о

свернуть все

Тест множителя Лагранжа

Этот тест сравнивает технические требования вложенных моделей путем оценки значения ограничений на расширенную модель неограниченными параметрами. Тестовая статистическая величина (LM)

$L M = S' V S,$

где

S является градиентом неограниченной функции логарифмической правдоподобности, выполненной в ограниченных оценках параметра (scoreт.е. .

$S = {\frac{\partial l (θ)}{\partial θ} |}_{θ = {\hat{θ}}_{0, M L E}} .$
V является средством оценки ковариации для неограниченных параметров модели, оцененных в ограниченных оценках параметра.

Если LM превышает критическое значение в своем асимптотическом распределении, то тест отклоняет пустой указатель, ограничил (вложенную) модель в пользу альтернативной, неограниченной модели.

Асимптотическое распределение LM является хи-квадратом. Его степени свободы (dof) количество ограничений в соответствующем сравнении модели. Номинальный уровень значения теста (alpha) определяет критическое значение (cValue).

Советы

lmtest требует неограниченного счета модели и средства оценки ковариации параметра, оцененного в оценках параметра для ограниченной модели. Например, чтобы сравнить конкуренцию, вложил arima модели:
1. Аналитически вычислите счет и средство оценки ковариации параметра на основе инновационного распределения.
2. Используйте estimate оценить ограниченные параметры модели.
3. Оцените счет и средство оценки ковариации в ограниченных оценках модели.
4. Передайте оцененный счет, ограниченную оценку ковариации и количество ограничений (т.е. степени свободы) в lmtest.
Если вы находите оценку параметров в неограниченной модели трудной, то используйте lmtest. Для сравнения:
- waldtest только требует неограниченных оценок параметра.
- lratiotest требует и неограниченных и ограниченных оценок параметра.

Алгоритмы

lmtest выполняет несколько, независимые тесты, когда входные параметры являются массивами ячеек.
- Если градиенты и оценки ковариации являются тем же самым для всех тестов, но ограниченные оценки параметра варьируются, то lmtest “тесты вниз” против нескольких ограниченных моделей.
- Если градиенты и оценки ковариации варьируются, но ограниченные оценки параметра не делают, то lmtest “тесты” против нескольких неограниченных моделей.
- В противном случае, lmtest сравнивает технические требования модели попарно.
alpha номинально в этом, это задает вероятность отклонения в асимптотическом распределении. Фактическая вероятность отклонения может отличаться от номинального значения. Тесты множителя Лагранжа стремятся к под отклонением для маленьких значений alpha, и сверхотклоните для больших значений alpha.
Тесты множителя Лагранжа обычно дают к более низким ошибкам отклонения, чем отношение правдоподобия и Вальдовы тесты.

Ссылки

[1] Дэвидсон, R. и Дж. Г. Маккиннон. Эконометрическая теория и методы. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета, 2004.

[2] Годфри, тесты Л. Г. Мисспекификэйшна в эконометрике. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, 1997.

[3] Грин, В. Х. Эконометрик Анэлизис. 6-й редактор Верхний Сэддл-Ривер, NJ: Пирсон Prentice Hall, 2008.

[4] Гамильтон, J. D. Анализ Временных Рядов. Принстон, NJ: Издательство Принстонского университета, 1994.

Документация

lmtest

Синтаксис

Описание

Примеры

Выберите Best AR Model Specification

Оцените технические требования модели Используя тест множителя Лагранжа

Оцените условный Heteroscedasticity Используя тест множителя Лагранжа

Входные параметры

`score` — Неограниченные градиенты логарифмической правдоподобности модели
вектор | массив ячеек векторов

`ParamCov` — Оценка ковариации параметра
матрица | массив ячеек матриц

`dof` — Степени свободы
положительное целое число | вектор из положительных целых чисел

`alpha` — Номинальные уровни значения
0,05 (значения по умолчанию) | скаляр | вектор

Выходные аргументы

`h` — Протестируйте решения отклонения
логический | вектор из logicals

`pValue` — Протестируйте статистический p - значения
скаляр | вектор

`stat` — Протестируйте статистику
скаляр | вектор

`cValue` — Критические значения
скаляр | вектор

Больше о

Тест множителя Лагранжа

Советы

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Объекты

Функции

Темы

Документация Econometrics Toolbox

Поддержка

Документация

lmtest

Синтаксис

Описание

Примеры

Выберите Best AR Model Specification

Оцените технические требования модели Используя тест множителя Лагранжа

Оцените условный Heteroscedasticity Используя тест множителя Лагранжа

Входные параметры

score — Неограниченные градиенты логарифмической правдоподобности модели вектор | массив ячеек векторов

ParamCov — Оценка ковариации параметра матрица | массив ячеек матриц

dof — Степени свободы положительное целое число | вектор из положительных целых чисел

alpha — Номинальные уровни значения 0,05 (значения по умолчанию) | скаляр | вектор

Выходные аргументы

h — Протестируйте решения отклонения логический | вектор из logicals

pValue — Протестируйте статистический p - значения скаляр | вектор

stat — Протестируйте статистику скаляр | вектор

cValue — Критические значения скаляр | вектор

Больше о

Тест множителя Лагранжа

Советы

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Объекты

Функции

Темы

Документация Econometrics Toolbox

Поддержка

`score` — Неограниченные градиенты логарифмической правдоподобности модели
вектор | массив ячеек векторов

`ParamCov` — Оценка ковариации параметра
матрица | массив ячеек матриц

`dof` — Степени свободы
положительное целое число | вектор из положительных целых чисел

`alpha` — Номинальные уровни значения
0,05 (значения по умолчанию) | скаляр | вектор

`h` — Протестируйте решения отклонения
логический | вектор из logicals

`pValue` — Протестируйте статистический p - значения
скаляр | вектор

`stat` — Протестируйте статистику
скаляр | вектор

`cValue` — Критические значения
скаляр | вектор