Прогнозирование MMSE условных средних моделей

Что такое прогнозы MMSE?

Общая цель моделирования временных рядов генерирует прогнозы процесса за будущий период времени. Таким образом, учитывая наблюдаемую серию y₁, y ₂..., _yN и горизонт прогноза h, генерирует предсказания для $y_{N + 1}, y_{N + 2}, \dots, y_{N + h} .$

Пусть ${\hat{y}}_{t + 1}$ обозначьте прогноз процесса во время t + 1, условное выражение на истории процесса до времени t, _Ht и внешний ковариационный ряд до времени t + 1, X _{t + 1}, если компонент регрессии включен в модель. Прогноз минимальной среднеквадратичной погрешности (MMSE) является прогнозом ${\hat{y}}_{t + 1}$ это минимизирует ожидаемую квадратную потерю,

$E {(y_{t + 1} - {\hat{y}}_{t + 1} | H_{t}, X_{t + 1})}^{2} .$

Минимизация этой функции потерь дает к прогнозу MMSE,

${\hat{y}}_{t + 1} = E (y_{t + 1} | H_{t}, X_{t + 1}) .$

Как `forecast` Генерирует прогнозы MMSE

forecast функция генерирует прогнозы MMSE рекурсивно. Когда вы вызываете forecast, вы задаете модель Mdl, предскажите горизонт numperiods, и преддемонстрационные ответы Y0. Можно опционально задать преддемонстрационные инновации 'E0', условные отклонения 'V0', и внешние данные 'X0' при помощи аргументов пары "имя-значение". Несмотря на то, что forecast не требует X0 или выборка прогноза внешние данные XF, если вы задаете X0 затем необходимо также задать XF.

Чтобы начать предсказывать от конца наблюдаемого ряда, скажите Y, используйте последние несколько наблюдений за Y как преддемонстрационные ответы Y0 инициализировать прогноз. Существует несколько точек, чтобы иметь в виду, когда вы задаете преддемонстрационные данные:

Минимальное количество ответов должно было инициализировать прогнозирование, хранится в свойстве P из arima модель. Если вы обеспечиваете слишком мало преддемонстрационных наблюдений, forecast возвращает ошибку.
Если вы предсказываете модель с компонентом MA, то forecast требует преддемонстрационных инноваций. Количество необходимых инноваций хранится в свойстве Q из arima модель. Если у вас также есть условная модель отклонения, необходимо дополнительно объяснить любые преддемонстрационные инновации, которых она требует. Если вы задаете преддемонстрационные инновации, но недостаточно, forecast возвращает ошибку.
Если вы не задаете преддемонстрационных инноваций, но задаете достаточные преддемонстрационные ответы (по крайней мере, P + Q) и внешние ковариационные данные (по крайней мере, количество преддемонстрационных ответов минус P), затем forecast автоматически выводит преддемонстрационные инновации. В общем случае, чем дольше преддемонстрационный ряд ответа, который вы обеспечиваете, тем лучше выведенные преддемонстрационные инновации будут. Если вы обеспечиваете преддемонстрационные ответы и внешние ковариационные данные, но недостаточно, forecast преддемонстрационные равные нулю инновации наборов.
Если вы предсказываете модель с компонентом регрессии, то forecast требует, чтобы будущие внешние ковариационные данные навсегда указали в период прогноза (numperiods). Если вы обеспечиваете будущие внешние ковариационные данные, но недостаточно, то forecast возвращает ошибку.

Рассмотрите генерирующиеся прогнозы для AR (2) процесс,

$y_{t} = c + ϕ_{1} y_{t - 1} + ϕ_{2} y_{t - 2} + ε_{t} .$

Учитывая преддемонстрационные наблюдения $y_{N - 1}$ и $y_{N},$ прогнозы рекурсивно сгенерированы можно следующим образом:

${\hat{y}}_{N + 1} = c + ϕ_{1} y_{N} + ϕ_{2} y_{N - 1}$
${\hat{y}}_{N + 2} = c + ϕ_{1} {\hat{y}}_{N + 1} + ϕ_{2} y_{N}$
${\hat{y}}_{N + 3} = c + ϕ_{1} {\hat{y}}_{N + 2} + ϕ_{2} {\hat{y}}_{N + 1}$

$⋮$

Для стационарного процесса AR эта рекурсия сходится к безусловному среднему значению процесса,

$μ = \frac{c}{(1 - ϕ_{1} - ϕ_{2})} .$

Для MA (2) процесс, e.g.,

$y_{t} = μ + ε_{t} + θ_{1} ε_{t - 1} + θ_{2} ε_{t - 2},$

вам нужны 2 преддемонстрационных инновации, чтобы инициализировать прогнозы. Все инновации со времени N + 1 и больше установлены в свое ожидание, нуль. Таким образом, для MA (2) процесс, прогноз на любое время больше чем 2 шага в будущем является безусловным средним значением, μ.

Ошибка прогноза

Среднеквадратичной погрешностью прогноза для s - шаг вперед прогноз дают

$MSE = E {(y_{t + s} - {\hat{y}}_{t + s} | H_{t + s - 1}, X_{t + s})}^{2} .$

Считайте условную среднюю модель данной

$y_{t} = μ + x_{t}^{'} β + ψ (L) ε_{t},$

где $ψ (L) = 1 + ψ_{1} L + ψ_{2} L^{2} + \dots$ . Суммируйте отклонения изолированных инноваций, чтобы получить s - шаг MSE,

$(1 + ψ_{1}^{2} + ψ_{2}^{2} + \dots + ψ_{s - 1}^{2}) σ_{ε}^{2},$

где $σ_{ε}^{2}$ обозначает инновационное отклонение.

Для стационарных процессов коэффициенты бесконечного полинома оператора задержки являются абсолютно суммируемыми, и MSE сходится к безусловному отклонению процесса.

Для неустановившихся процессов не сходится ряд, и ошибка прогноза растет в зависимости от времени.

Документация