polyeig

Полиномиальная задача о собственных значениях

Синтаксис

e = polyeig(A0,A1,...,Ap)

[X,e] =
polyeig(A0,A1,...,Ap)

[X,e,s]
= polyeig(A0,A1,...,Ap)

Описание

пример

e = polyeig(A0,A1,...,Ap) возвращает собственные значения для полиномиальной задачи о собственных значениях степени p.

пример

[X,e] = polyeig(A0,A1,...,Ap) также возвращает матричный X, из размера n- n*p, чьи столбцы являются собственными векторами.

пример

[X,e,s] = polyeig(A0,A1,...,Ap) дополнительно возвращает векторный s, из длины p*n, содержа числа обусловленности для собственных значений. По крайней мере один из A0 и Ap должно быть несингулярным. Большие числа обусловленности подразумевают, что проблема близко к проблеме с повторными собственными значениями.

Примеры

свернуть все

Квадратичная задача о собственных значениях с массой, затуханием и матрицами жесткости

Скрипт Open Live Script

Решите квадратичную задачу о собственных значениях, включающую большую матрицу M, затухание матричного C, и матрица жесткости K. Эта квадратичная задача о собственных значениях является результатом уравнения движения:

$M \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + C \frac{d y}{d t} + K y = f (t)$

Это уравнение применяется к широкому диапазону колеблющихся систем, включая динамическую массово-пружинную систему или электронную сеть RLC. Основное решение $y (t) = x e^{λ t}$ , так оба $λ$ и x должен решить квадратичную задачу о собственных значениях (QEP),

$(M λ^{2} + C λ + K) x = 0$

Создайте содействующие матрицы MC, и K представлять массово-пружинную систему четырьмя степенями свободы. Содействующие матрицы все симметричны и положительные полуопределенный, и M диагональная матрица.

M = diag([3 1 3 1])

M = 4×4

     3     0     0     0
     0     1     0     0
     0     0     3     0
     0     0     0     1

C = [0.4 0 -0.3 0; 0 0 0 0; -0.3 0 0.5 -0.2; 0 0 -0.2 0.2]

C = 4×4

    0.4000         0   -0.3000         0
         0         0         0         0
   -0.3000         0    0.5000   -0.2000
         0         0   -0.2000    0.2000

K = [-7 2 4  0; 2 -4 2 0; 4 2 -9 3; 0 0 3 -3]

K = 4×4

    -7     2     4     0
     2    -4     2     0
     4     2    -9     3
     0     0     3    -3

Решите QEP для собственных значений, собственных векторов и чисел обусловленности с помощью polyeig.

[X,e,s] = polyeig(K,C,M)

X = 4×8

    0.1828    0.3421    0.3989    0.0621    0.3890   -0.4143   -0.4575    0.4563
    0.3530   -0.9296    0.3330   -0.8571   -0.6366   -0.2717   -0.4981    0.4985
   -0.5360   -0.0456   -0.1724    0.3509   -0.3423    0.1666   -0.5106    0.5107
    0.7448    0.1295   -0.8368   -0.3720    0.5712    0.8525   -0.5309    0.5315

Проверяйте что первое собственное значение, e(1), и первый собственный вектор, X(:,1), удовлетворите уравнению QEP. Результат близко к, но не точно, нуль.

lambda = e(1);
x = X(:,1);
(M*lambda^2 + C*lambda + K)*x

ans = 4×1
10^-13 ×

   -0.0133
   -0.0466
    0.1465
   -0.0622

Входные параметры

свернуть все

`A0,A1,...,Ap` — Квадратные содействующие матрицы (в качестве отдельных аргументов)
матрицы

Квадратные содействующие матрицы в виде отдельных аргументов. Матрицы должны все иметь тот же порядок, n.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да

Выходные аргументы

свернуть все

`e` Собственные значения
вектор

Собственные значения, возвращенные как вектор.

`X` — Собственные вектора
матрица

Собственные вектора, возвращенные в столбцах матрицы. Первым собственным вектором является X(:,1), вторым является X(:,2), и так далее.

`s` — Числа обусловленности
вектор

Числа обусловленности, возвращенные как вектор. Числа обусловленности в s соответствуйте столь же расположенным собственным значениям в e. Большие числа обусловленности указывают, что проблема близко к тому, что повторила собственные значения.

Больше о

свернуть все

Полиномиальная задача о собственных значениях

Полиномиальная задача о собственных значениях является вариантом стандартной задачи о собственных значениях, A x = λx, но вместо этого включает полиномы, а не линейные члены.

Как со стандартной задачей о собственных значениях, решение включает нахождение собственных значений и собственных векторов, которые удовлетворяют уравнению,

$(A_{0} + λ A_{1} + \dots + λ^{P} A_{p}) x = 0,$

где полиномиальная степень, p, неотрицательное целое число и A0,A1,...Ap квадратные содействующие матрицы порядка n.

Наиболее распространенная форма является квадратичной полиномиальной задачей о собственных значениях, которая является

$(A_{2} λ^{2} + A_{1} λ + A_{0}) x = 0 .$

Одно существенное различие между квадратичной задачей о собственных значениях и стандартом (или обобщенный) задача о собственных значениях - то, что может быть до 2n собственные значения с до 2n правые и левые собственные вектора. В случаях, где существуют больше, чем n собственные вектора, собственные вектора не формируют линейно независимый набор. См. [1] и [2] для более подробной информации о квадратичной задаче о собственных значениях.

Советы

polyeig обрабатывает следующие упрощенные случаи:
- p = 0, или polyeig(A), стандартная задача о собственных значениях, eig(A).
- p = 1, или polyeig(A,B), обобщенная задача о собственных значениях, eig(A,-B).
- n = 0, или polyeig(a0,a1,...,ap), стандартная полиномиальная проблема, roots([ap ... a1 a0]), где a0,a1,...,ap скаляры.

Алгоритмы

polyeig функционируйте использует QZ-разложение, чтобы найти промежуточные результаты в расчете обобщенных собственных значений. polyeig использует промежуточные результаты определить, хорошо ли собственные значения определяются. См. описания eig и qz для получения дополнительной информации.

Вычисленные решения не могут существовать или быть уникальными, и могут также быть в вычислительном отношении неточными. Если оба A0 и Ap сингулярные матрицы, затем проблема может быть плохо изложена. Если только один из A0 и Ap сингулярно, затем некоторыми собственными значениями может быть 0 или Inf.

Масштабирование A0,A1,...,Ap иметь norm(Ai) примерно равняйтесь 1 может увеличить точность polyeig. В общем случае однако эта улучшенная точность не достижима. (См. Tisseur [3] для деталей).

Ссылки

[1] Dedieu, Жан-Пьер и Франсуаз Тиссер. “Теория возмущения для гомогенных полиномиальных задач о собственных значениях”. Линейная алгебра Прикладное Издание 358, 2003, стр 71–94.

[2] Tisseur, Франсуаз и Карл Мирберджен. “Квадратичная задача о собственных значениях”. Версия SIAM. Издание 43, Номер 2, 2001, стр 235–286.

[3] Франсуаз Тиссер. “Обратная ошибка и условие полиномиальных задач о собственных значениях”. Линейная алгебра Прикладное Издание 309, 2000, стр 339–361.

Расширенные возможности

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Указания и ограничения по применению:

Базис собственных векторов может отличаться в сгенерированном коде, чем в MATLAB^®. В общем случае в собственных значениях выход, собственные значения для действительных входных параметров не сортируются так, чтобы комплексно-сопряженные пары были смежны.
Различия в собственных векторах и упорядоченном расположении собственных значений могут привести к различиям в числах обусловленности выход.
Генерация кода не поддерживает входные параметры разреженной матрицы для этой функции.

Основанная на потоке среда
Запустите код в фоновом режиме с помощью MATLAB® `backgroundPool` или ускорьте код с Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool`.

Эта функция полностью поддерживает основанные на потоке среды. Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска в Основанной на потоке Среде.

Смотрите также

condeig | eig | qz | cond

Темы

Создание и оценка многочленов

Представлено до R2006a

Документация

polyeig

Синтаксис

Описание

Примеры

Квадратичная задача о собственных значениях с массой, затуханием и матрицами жесткости

Входные параметры

`A0,A1,...,Ap` — Квадратные содействующие матрицы (в качестве отдельных аргументов)
матрицы

Выходные аргументы

`e` Собственные значения
вектор

`X` — Собственные вектора
матрица

`s` — Числа обусловленности
вектор

Больше о

Полиномиальная задача о собственных значениях

Советы

Алгоритмы

Ссылки

Расширенные возможности

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Основанная на потоке среда
Запустите код в фоновом режиме с помощью MATLAB® `backgroundPool` или ускорьте код с Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool`.

Смотрите также

Темы

Документация MATLAB

Поддержка

Документация

polyeig

Синтаксис

Описание

Примеры

Квадратичная задача о собственных значениях с массой, затуханием и матрицами жесткости

Входные параметры

A0,A1,...,Ap — Квадратные содействующие матрицы (в качестве отдельных аргументов) матрицы

Выходные аргументы

e Собственные значения вектор

X — Собственные вектора матрица

s — Числа обусловленности вектор

Больше о

Полиномиальная задача о собственных значениях

Советы

Алгоритмы

Ссылки

Расширенные возможности

Генерация кода C/C++ Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Основанная на потоке среда Запустите код в фоновом режиме с помощью MATLAB® backgroundPool или ускорьте код с Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Смотрите также

Темы

Документация MATLAB

Поддержка

`A0,A1,...,Ap` — Квадратные содействующие матрицы (в качестве отдельных аргументов)
матрицы

`e` Собственные значения
вектор

`X` — Собственные вектора
матрица

`s` — Числа обусловленности
вектор

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Основанная на потоке среда
Запустите код в фоновом режиме с помощью MATLAB® `backgroundPool` или ускорьте код с Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool`.