Линейные матричные неравенства

Линейные Матричные Неравенства (LMIs) и методы LMI появились в качестве мощных Design Tool в областях в пределах от разработки управления к системе идентификации и проектирования конструкций. Три фактора делают обращение методов LMI:

  • Множество технических требований проекта и ограничений может быть описано как LMIs.

  • После того, как сформулированный в терминах LMIs, задача может быть решена точно эффективными выпуклыми алгоритмами оптимизации (см. Решатели LMI).

  • В то время как большинство проблем с несколькими ограничениями или целями испытывает недостаток в аналитических решениях в терминах матричных уравнений, они часто остаются послушными в среде LMI. Это делает основанный на LMI проект ценной альтернативой классическим “аналитическим” методам.

См. [9] для хорошего введения в концепции LMI. Программное обеспечение Robust Control Toolbox™ спроектировано как легкий и прогрессивный шлюз к новому и быстрорастущему полю LMIs:

  • Для пользователей, которые иногда должны решать задачи LMI, Редактор LMI и учебное введение в концепции LMI и решатели LMI предусматривают быстрое и легкое решение задач.

  • Для более опытных пользователей LMI, LMI Lab, предлагает богатую, гибкую, и полностью программируемую среду, чтобы разработать настроенные основанные на LMI инструменты.

Функции LMI

Функциональность LMI Robust Control Toolbox служит двум целям:

  • Обеспечьте современные инструменты для основанного на LMI анализа и проектирования устойчивых систем управления

  • Предложите гибкую и удобную для пользователя среду, чтобы задать и решить общие задачи LMI (LMI Lab)

Примеры основанных на LMI инструментов анализа и проектирования включают

  • Функции, чтобы анализировать устойчивую устойчивость и эффективность неопределенных систем различными параметрами (popov)

  • Функции, чтобы спроектировать устойчивое управление с соединением H2, H , и цели размещения полюса (h2hinfsyn)

  • Функции для синтезирования устойчивого запланированного на усиление H контроллеры (hinfgs)

Для пользователей, заинтересованных разработкой их собственных приложений, LMI Lab обеспечивает и полностью программируемую среду общего назначения, чтобы задать и решить фактически любую задачу LMI. Обратите внимание на то, что осциллограф этого средства ни в коем случае не ограничивается ориентированными на управление приложениями.

Примечание

Программное обеспечение Robust Control Toolbox реализует современные решатели LMI внутренней точки. В то время как эти решатели значительно быстрее, чем классические выпуклые алгоритмы оптимизации, необходимо иметь в виду, что сложность расчетов LMI может вырасти быстро с проблемным порядком (количество состояний). Например, количество операций, требуемых решить уравнение Riccati, является o (n3) где n является размерностью состояния, в то время как стоимость решения эквивалентного “LMI” неравенства Riccati является o (n6).

LMIs и проблемы LMI

Линейное матричное неравенство (LMI) является любым ограничением формы

A (x) : = A 0 + x 1A1  + ... + xNAN  < 0(1)

где

  • x = (x1..., xN), вектор из неизвестных скаляров (переменные решения или оптимизации)

  • A0..., AN дают симметричные матрицы

  • <0 обозначает “определенное отрицание”, i.e., самое большое собственное значение (x) отрицательно

Обратите внимание на то, что ограничения (x)> 0 и (x) <B (x) являются особыми случаями  уравнения 1, поскольку они могут быть переписаны как –A (x) <0 и (x) – B (x) <0, соответственно.

LMI  уравнения 1 является выпуклым ограничением на x, поскольку (y) <0 и (z) <0 подразумевают это A(y+z2)<0. В результате

  • Его набор решения, названный выполнимым набором, является выпуклым подмножеством RN

  • Нахождение решения x  уравнения 1, если таковые имеются, является выпуклой задачей оптимизации.

Выпуклость имеет важное последствие: даже при том, что  уравнение 1 не имеет никакого аналитического решения в целом, оно может быть решено численно с гарантиями нахождения решения, когда каждый существует. Обратите внимание на то, что система ограничений LMI может рассматриваться как один LMI с тех пор

{A1(x)<0AK(x)<0

эквивалентно

A(x):=diag(A1(x),,AK(x))<0

где diag (A1(x)..., AK (x)), обозначает блочно диагональную матрицу с
A1(x)..., AK (x) на его диагонали. Следовательно несколько ограничений LMI могут быть наложены на вектор из переменных решения x, не уничтожая выпуклость.

В большинстве приложений управления LMIs естественно не возникают в канонической форме  уравнения 1, а скорее в форме

L (X1..., Xn) <R (X1..., Xn)

где L(.) и R(.) являются аффинными функциями некоторых структурированных матричных переменных X1..., Xn. Простым примером является неравенство Ляпунова

ATX + XA < 0(2)

где неизвестной X является симметрическая матрица. Определение x1..., xN как независимые скалярные записи X, эта LMI могла быть переписана в форме  уравнения 1. Все же это более удобно и эффективно описать его в своем естественном  уравнении 2 формы, которое является подходом, проявленным в LMI Lab.

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте