Ряд Фурье

О серийных моделях Фурье

Ряд Фурье является суммой синусоидальных и косинусных функций, которая описывает периодический сигнал. Это представлено или в тригонометрической форме или в экспоненциальной форме. Тулбокс обеспечивает эту тригонометрическую серийную форму Фурье

$y = a_{0} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \cos (i w x) + b_{i} \sin (i w x)$

где модели a₀, константа (точка пересечения), термин в данных и сопоставлен с i = 0 терминов косинуса, w, является основной частотой сигнала, n, являются количеством терминов (гармоники) в ряду и 1 ≤ n ≤ 8.

Для получения дополнительной информации о ряде Фурье, обратитесь к Фурье - анализу и фильтрации посредством Фурье-преобразования.

Подбирайте модели Фурье в интерактивном режиме

Откройте приложение Curve Fitting путем ввода cftool. В качестве альтернативы нажмите Curve Fitting на вкладке Apps.
В приложении Curve Fitting выберите данные о кривой (X data и Y data, или только Y data против индекса).
Приложение Curve Fitting создает подгонку кривой по умолчанию, Polynomial.
Измените тип модели от Polynomial к Fourier.

Можно задать следующие опции:

Выберите количество терминов: 1 к 8.
Посмотрите в панели Results, чтобы видеть термины модели, значения коэффициентов и статистику качества подгонки.
(Необязательно) Нажмите Fit Options, чтобы задать содействующие начальные значения и ограничительные границы, или изменить настройки алгоритма.
Тулбокс вычисляет оптимизированные стартовые точки для серийных моделей Фурье, на основе текущего набора данных. Можно заменить стартовые точки и задать собственные значения в Подходящем Окне параметров.
Для получения дополнительной информации о настройках см. Опции Подгонки Определения и Оптимизированные Начальные точки.

Для примера, сравнивающего библиотеку подгонка Фурье с пользовательскими уравнениями, смотрите Пользовательский Нелинейный Анализ данных ENSO.

Подбирайте Модели Фурье Используя подходящую Функцию

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как использовать fit функция, чтобы подбирать модель Фурье к данным.

Модель библиотеки Фурье является входным параметром к fit и fittype функции. Задайте тип модели fourier сопровождаемый количеством терминов, например, 'fourier1' к 'fourier8' .

Этот пример соответствует данным о Южном Эль-Ниньо колебании (ENSO). Данные ENSO состоят из ежемесячных усредненных различий в атмосферном давлении между островом Пасхи и Дарвином, Австралия. Это различие управляет торговыми ветрами в южном полушарии.

Данные ENSO являются явно периодическими, который предполагает, что они могут быть описаны рядом Фурье. Используйте серийные модели Фурье, чтобы искать периодичность.

Соответствуйте 2D термину модель Фурье

Загрузите некоторые данные и соответствуйте 2D термину модель Фурье.

load enso;
f = fit(month,pressure,'fourier2')

f = 
     General model Fourier2:
     f(x) =  a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w) + 
               a2*cos(2*x*w) + b2*sin(2*x*w)
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       a0 =       10.63  (10.23, 11.03)
       a1 =       2.923  (2.27, 3.576)
       b1 =       1.059  (0.01593, 2.101)
       a2 =     -0.5052  (-1.086, 0.07532)
       b2 =      0.2187  (-0.4202, 0.8576)
       w =      0.5258  (0.5222, 0.5294)

plot(f,month,pressure)

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type line. These objects represent data, fitted curve.

Доверительные границы на a2 и b2 перекрестный нуль. Для линейных членов вы не можете быть уверены, что эти коэффициенты отличаются от нуля, таким образом, они не помогают с подгонкой. Это означает, что эти две модели термина, вероятно, не лучше, чем одна модель термина.

Измерьте период

w термин является мерой периода. 2*pi/w преобразует в период в месяцах, потому что период sin() и cos() 2*pi .

w = f.w

w = 0.5258

2*pi/w

ans = 11.9497

w очень близко к 12 месяцам, указывая на ежегодный период. Заметьте, что это выглядит правильным на графике с peaks на расстоянии приблизительно в 12 месяцев.

Подбирайте модель Фурье с восемью терминами

f2 = fit(month,pressure,'fourier8')

f2 = 
     General model Fourier8:
     f2(x) = 
               a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w) + 
               a2*cos(2*x*w) + b2*sin(2*x*w) + a3*cos(3*x*w) + b3*sin(3*x*w) + 
               a4*cos(4*x*w) + b4*sin(4*x*w) + a5*cos(5*x*w) + b5*sin(5*x*w) + 
               a6*cos(6*x*w) + b6*sin(6*x*w) + a7*cos(7*x*w) + b7*sin(7*x*w) + 
               a8*cos(8*x*w) + b8*sin(8*x*w)
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       a0 =       10.63  (10.28, 10.97)
       a1 =      0.5668  (0.07981, 1.054)
       b1 =      0.1969  (-0.2929, 0.6867)
       a2 =      -1.203  (-1.69, -0.7161)
       b2 =     -0.8087  (-1.311, -0.3065)
       a3 =      0.9321  (0.4277, 1.436)
       b3 =      0.7602  (0.2587, 1.262)
       a4 =     -0.6653  (-1.152, -0.1788)
       b4 =     -0.2038  (-0.703, 0.2954)
       a5 =    -0.02919  (-0.5158, 0.4575)
       b5 =     -0.3701  (-0.8594, 0.1192)
       a6 =    -0.04856  (-0.5482, 0.4511)
       b6 =     -0.1368  (-0.6317, 0.3581)
       a7 =       2.811  (2.174, 3.449)
       b7 =       1.334  (0.3686, 2.3)
       a8 =     0.07979  (-0.4329, 0.5925)
       b8 =     -0.1076  (-0.6037, 0.3885)
       w =     0.07527  (0.07476, 0.07578)

plot(f2,month,pressure)

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type line. These objects represent data, fitted curve.

Измерьте период

w = f2.w

w = 0.0753

(2*pi)/w

ans = 83.4736

С f2 модель, период w приблизительно 7 лет.

Исследуйте условия

Ищите коэффициенты с самой большой величиной, чтобы найти самые важные термины.

a7 и b7 являются самыми большими. Посмотрите на a7 уравнение члена в модели: a7*cos(7*x*w). 7*w == 7/7 = цикл 1 года. a7 и b7 укажите, что ежегодный цикл является самым сильным.
Точно так же a1 и b1 термины дают 7/1, указывая на семилетний цикл.
a2 и b2 термины являются циклом 3,5 лет (7/2). Это более сильно, чем 7-летний цикл потому что a2 и b2 коэффициенты имеют большую величину, чем a1 и b1.
a3 и b3 довольно сильные выражения, указывающие на 7/3 или цикл 2,3 лет.
Меньшие термины менее важны для подгонки, таковы как a6, b6, a5, и b5.

Как правило, нагревание Эль-Ниньо происходит в неправильных интервалах двух - семи лет и длится девять месяцев к двум годам. Средняя длина периода составляет пять лет. Результаты модели отражают некоторые из этих периодов.

Установите стартовые точки

Тулбокс вычисляет оптимизированные стартовые точки для подгонок Фурье, на основе текущего набора данных. Серийные модели Фурье особенно чувствительны к начальным точкам, и оптимизированные значения могут быть точными только для нескольких терминов в связанных уравнениях. Можно заменить стартовые точки и задать собственные значения.

После исследования терминов и графиков, похоже, что 4-летний цикл может присутствовать. Попытайтесь подтвердить это установкой w. Получите значение для w, где 8 лет = 96 месяцев.

w = (2*pi)/96

w = 0.0654

Найдите порядок записей для коэффициентов в модели ('f2') при помощи coeffnames функция.

coeffnames(f2)

ans = 18x1 cell
    {'a0'}
    {'a1'}
    {'b1'}
    {'a2'}
    {'b2'}
    {'a3'}
    {'b3'}
    {'a4'}
    {'b4'}
    {'a5'}
    {'b5'}
    {'a6'}
    {'b6'}
    {'a7'}
    {'b7'}
    {'a8'}
    {'b8'}
    {'w' }

Получите текущие содействующие значения.

coeffs = coeffvalues(f2)

coeffs = 1×18

   10.6261    0.5668    0.1969   -1.2031   -0.8087    0.9321    0.7602   -0.6653   -0.2038   -0.0292   -0.3701   -0.0486   -0.1368    2.8112    1.3344    0.0798   -0.1076    0.0753

Установите последний коэффициент, w, к 0,065.

coeffs(:,18) = w

coeffs = 1×18

   10.6261    0.5668    0.1969   -1.2031   -0.8087    0.9321    0.7602   -0.6653   -0.2038   -0.0292   -0.3701   -0.0486   -0.1368    2.8112    1.3344    0.0798   -0.1076    0.0654

Установите стартовые точки для коэффициентов с помощью нового значения для w.

f3 = fit(month,pressure,'fourier8', 'StartPoint', coeffs);

Постройте обе подгонки, чтобы видеть что новое значение для w в f3 не производит лучшую подгонку, чем f2 .

plot(f3,month,pressure)
hold on
plot(f2, 'b')
hold off
legend( 'Data', 'f3', 'f2')

Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type line. These objects represent Data, f3, f2.

Найдите, что Фурье соответствует опциям

Найдите доступные подходящие опции с помощью fitoptions(modelname), где modelname тип модели fourier сопровождаемый количеством терминов, например, 'fourier1' к 'fourier8' .

fitoptions('fourier8')

ans =

        Normalize: 'off'
          Exclude: []
          Weights: []
           Method: 'NonlinearLeastSquares'
           Robust: 'Off'
       StartPoint: [1x0 double]
            Lower: [1x0 double]
            Upper: [1x0 double]
        Algorithm: 'Trust-Region'
    DiffMinChange: 1.0000e-08
    DiffMaxChange: 0.1000
          Display: 'Notify'
      MaxFunEvals: 600
          MaxIter: 400
           TolFun: 1.0000e-06
             TolX: 1.0000e-06

Если вы хотите изменить подходящие опции, такие как содействующие начальные значения, и ограничительные границы, подходящие для ваших данных, или изменить настройки алгоритма, видят опции для NonlinearLeastSquares на fitoptions страница с описанием.

Смотрите также

fit | fittype | fitoptions

Документация