Прогнозирование MMSE условных моделей отклонения

Что такое прогнозы MMSE?

Общая цель условного моделирования отклонения генерирует прогнозы условного процесса отклонения за будущий период времени. Таким образом, учитывая условный процесс отклонения $σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, \dots, σ_{N}^{2}$ и горизонт прогноза h, сгенерируйте предсказания для $σ_{N + 1}^{2}, σ_{N + 2}^{2}, \dots, σ_{N + h}^{2} .$

Пусть ${\hat{σ}}_{t + 1}^{2}$ обозначьте прогноз для отклонения во время t + 1, условное выражение на истории процесса до времени t, _Ht. Прогноз минимальной среднеквадратичной погрешности (MMSE) является прогнозом ${\hat{σ}}_{t + 1}^{2}$ это минимизирует условное выражение ожидаемая квадратная потеря,

$E (σ_{t + 1}^{2} - {\hat{σ}}_{t + 1}^{2} | H_{t}) .$

Минимизация этой функции потерь дает к прогнозу MMSE,

${\hat{σ}}_{t + 1}^{2} = E (σ_{t + 1}^{2} | H_{t}) = E (ε_{t + 1}^{2} | H_{t}) .$

Прогнозы EGARCH MMSE

Для модели EGARCH прогноз MMSE найден для логарифмического условного отклонения,

$\log {\hat{σ}}_{t + 1}^{2} = E (\log σ_{t + 1}^{2} | H_{t}) .$

Для условных прогнозов отклонения процессов EGARCH, forecast возвращается exponentiated MMSE регистрируют условный прогноз отклонения,

${\hat{σ}}_{t + 1}^{2} = \exp {\log {\hat{σ}}_{t + 1}^{2}} .$

Это приводит к небольшому смещению прогноза из-за неравенства Иенсена,

$E (σ_{t + 1}^{2}) \geq \exp {E (\log σ_{t + 1}^{2})} .$

Как альтернатива прогнозированию MMSE, можно провести симуляции Монте-Карло, чтобы предсказать процессы EGARCH. Симуляции Монте-Карло дают к несмещенным прогнозам для моделей EGARCH. Однако прогнозы Монте-Карло подвергаются ошибке Монте-Карло (который можно уменьшать путем увеличения объема выборки симуляции).

Как `forecast` Генерирует прогнозы MMSE

forecast функция генерирует прогнозы MMSE рекурсивно. Когда вы вызываете forecast, необходимо задать преддемонстрационные ответы Y0, и можно опционально задать преддемонстрационные условные отклонения V0 использование 'V0' аргумент пары "имя-значение". Если предсказываемая модель включает среднее смещение, сообщенное ненулевым Offset свойство, forecast вычитает термин смещения из преддемонстрационных ответов, чтобы создать преддемонстрационные инновации.

Чтобы начать предсказывать от конца наблюдаемого ряда, скажите Y, используйте последние несколько наблюдений за Y как преддемонстрационные ответы Y0 инициализировать прогноз. Минимальное количество преддемонстрационных ответов должно было инициализировать прогнозирование, хранится в свойстве Q из модели.

При определении преддемонстрационных условных отклонений V0, минимальное количество преддемонстрационных условных отклонений должно было инициализировать прогнозирование, хранится в свойстве P для GARCH (P, Q) и GJR (P, Q) модели. Для EGARCH (P, Q) модели, минимальное количество преддемонстрационных условных отклонений должно было инициализировать прогнозирование, макс. (P, Q).

Обратите внимание на то, что для всех моделей отклонения, если вы предоставляете, по крайней мере, макс. (P, Q) + преддемонстрационные наблюдения ответа P Y0, forecast выводит любые необходимые преддемонстрационные условные отклонения V0 для вас. Если вы предоставляете преддемонстрационные наблюдения, но менее, чем макс. (P, Q) + P, forecast наборы любые необходимые преддемонстрационные условные отклонения равняются безусловному отклонению модели.

Модель GARCH

forecast функция генерирует прогнозы MMSE для моделей GARCH рекурсивно.

Рассмотрите генерирующиеся прогнозы для модели GARCH(1,1), $ε_{t} = σ_{t} z_{t},$ где

$σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} σ_{t - 1}^{2} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} .$

Учитывая преддемонстрационные инновации $ε_{T}$ и преддемонстрационное условное отклонение $σ_{T}^{2},$ прогнозы рекурсивно сгенерированы можно следующим образом:

${\hat{σ}}_{T + 1}^{2} = κ + γ_{1} σ_{T}^{2} + α_{1} ε_{T}^{2}$
${\hat{σ}}_{T + 2}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2} + α_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2}$
${\hat{σ}}_{T + 3}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2} + α_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2}$

$⋮$

Обратите внимание на то, что инновации предсказаны с помощью идентичности

$E (ε_{t + 1}^{2} | H_{t}) = E (σ_{t + 1}^{2} | H_{t}) = {\hat{σ}}_{t + 1}^{2} .$

Эта рекурсия сходится к безусловному отклонению процесса,

$σ_{ε}^{2} = \frac{κ}{(1 - γ_{1} - α_{1})} .$

Модель GJR

forecast функция генерирует прогнозы MMSE для моделей GJR рекурсивно.

Рассмотрите генерирующиеся прогнозы для модели GJR(1,1), $ε_{t} = σ_{t} z_{t},$ где $σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} σ_{t - 1}^{2} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} + ξ_{1} I [ε_{t - 1} < 0] ε_{t - 1}^{2} .$ Учитывая преддемонстрационные инновации $ε_{T}$ и преддемонстрационное условное отклонение $σ_{T}^{2},$ прогнозы рекурсивно сгенерированы можно следующим образом:

${\hat{σ}}_{T + 1}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T}^{2} + α_{1} ε_{T}^{2} + ξ_{1} I [ε_{T} < 0] ε_{T}^{2}$
${\hat{σ}}_{T + 2}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2} + α_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2} + \frac{1}{2} ξ_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2}$
${\hat{σ}}_{T + 3}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2} + α_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2} + \frac{1}{2} ξ_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2}$

$⋮$

Обратите внимание на то, что ожидаемое значение индикатора является 1/2 для инновационного процесса со средним нулем и этим, инновации предсказаны с помощью идентичности

$E (ε_{t + 1}^{2} | H_{t}) = E (σ_{t + 1}^{2} | H_{t}) = {\hat{σ}}_{t + 1}^{2} .$

Эта рекурсия сходится к безусловному отклонению процесса,

$σ_{ε}^{2} = \frac{κ}{(1 - γ_{1} - α_{1} - \frac{1}{2} ξ_{1})} .$

Модель EGARCH

forecast функция генерирует прогнозы MMSE для моделей EGARCH рекурсивно. Прогнозы первоначально сгенерированы для логарифмических условных отклонений, и затем exponentiated, чтобы предсказать условные отклонения. Это приводит к небольшому смещению прогноза.

Рассмотрите генерирующиеся прогнозы для модели EGARCH(1,1), $ε_{t} = σ_{t} z_{t},$ где

$\log σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} \log σ_{t - 1}^{2} + α_{1} [| \frac{ε_{t - 1}}{σ_{t - 1}} | - E {| \frac{ε_{t - 1}}{σ_{t - 1}} |}] + ξ_{1} \frac{ε_{t - 1}}{σ_{t - 1}} .$

Форма термина ожидаемого значения зависит от выбора инновационного распределения, t Гауссова или Студента. Учитывая преддемонстрационные инновации $ε_{T}$ и преддемонстрационное условное отклонение $σ_{T}^{2},$ прогнозы рекурсивно сгенерированы можно следующим образом:

$\log {\hat{σ}}_{T + 1}^{2} = κ + γ_{1} \log σ_{T}^{2} + α_{1} [| \frac{ε_{T}}{σ_{T}} | - E {| \frac{ε_{T}}{σ_{T}} |}] + ξ_{1} \frac{ε_{T}}{σ_{T}}$
$\log {\hat{σ}}_{T + 2}^{2} = κ + γ_{1} \log {\hat{σ}}_{T + 1}^{2}$
$\log {\hat{σ}}_{T + 3}^{2} = κ + γ_{1} \log {\hat{σ}}_{T + 2}^{2}$

$⋮$

Заметьте, что будущие абсолютные стандартизированные инновации и будущие инновации каждый заменяются их ожидаемым значением. Это означает, что оба, ДУГА и термины рычагов являются нулем для всех прогнозов, которые являются условным выражением на будущих инновациях. Эта рекурсия сходится к безусловному логарифмическому отклонению процесса,

$\log σ_{ε}^{2} = \frac{κ}{(1 - γ_{1})} .$

forecast возвращает прогнозы exponentiated, $\exp {\log {\hat{σ}}_{T + 1}^{2}}, \exp {\log {\hat{σ}}_{T + 2}^{2}}, \dots,$ которые имеют предел

$\exp {\frac{κ}{(1 - γ_{1})}} .$

Смотрите также

Объекты

garch | egarch | gjr

Функции

forecast

Связанные примеры

Больше о

Прогнозирование Монте-Карло условных моделей отклонения

Документация