Реализуйте на вид Несвязанную регрессию

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как включать внешние данные для нескольких исследований на вид несвязанной регрессии (SUR). Ответ и внешний ряд являются случайными путями от стандартного Распределения Гаусса.

В на вид несвязанной регрессии (SUR) каждая переменная отклика является функцией подмножества внешнего ряда, но не любой эндогенной переменной. Таким образом, для $j = 1, . ., n$ и $t = 1, . . ., T$ , модель для ответа $j$ в период $t$

$y_{j t} = a_{j} + b_{j 1} x_{k_{1} t} + b_{j 2} x_{k_{2} t} + . . . + b_{j k_{j}} x_{k_{j} t} + ε_{j t}$

Индексы коэффициентов регрессии и внешних предикторов указывают что:

Можно сопоставить каждый ответ с различным подмножеством внешних предикторов.
Ряд ответа не может совместно использовать точки пересечения или коэффициенты регрессии.

SUR вмещает инновационную корреляцию внутрипериода, но инновационную независимость межпериода, i.e.,

$E (ε_{i t} ε_{j s} | X) = {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0; & t \neq s, i \neq j \\ σ_{i j}; & i \neq j, t = s \\ σ_{i}^{2} > 0; & i = j, t = s \end{array} .$

Симулируйте данные из истинной модели

Предположим, что истинная модель

$\begin{array}{l} y_{1 t} = 1 + 2 x_{1 t} - 1.5 x_{2 t} + 0.5 x_{3 t} + 0.75 x_{4 t} + ε_{1 t} \\ y_{2 t} = - 1 + 4 x_{1 t} + 2.5 x_{2 t} - 1.75 x_{3 t} - 0.05 x_{4 t} + ε_{2 t} \\ y_{3 t} = 0.5 - 2 x_{1 t} + 0.5 x_{2 t} - 1.5 x_{3 t} + 0.7 x_{4 t} + ε_{3 t} \end{array},$

где $ε_{j t}$ , $j = 1, . . ., n$ многомерные Гауссовы случайные переменные каждый имеющий средний нуль и совместно имеющий ковариационную матрицу

$Σ = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 & 0.5 & - 0.05 \\ 0.5 & 1 & 0.25 \\ - 0.05 & 0.25 & 1 \end{array}]$

Предположим, что пути представляют различные эконометрические измерения, e.g. запас возвращается.

Симулируйте четыре внешних пути к предиктору от стандартного Распределения Гаусса.

rng(1);   % For reproducibility
n = 3;    % Number of response series 
nExo = 4; % Number of exogenous series
T = 100;
X = randn(100,nExo);

mvregress, рабочая лошадь estimate, требует, чтобы вы ввели внешние данные в T- 1 вектор ячейки. Ячейка $t$ из ячейки вектор матрица проекта указание на линейное соотношение внешних переменных с каждым рядом ответа в период $t$ . Однако estimate партнеры каждый предиктор к каждому ответу. В результате estimate требует данных о предикторе в матрице.

Создайте объект модели VAR, который характеризует истинную модель. Симулируйте длину 100 путей ответов из модели.

aTrue = [1; -1; 0.5];
bTrue = [[2; 4; -2] [-1.5; 2.5; 0.5] [0.5; -1.75; -1.5] [0.75; -0.05; 0.7]];
InnovCov = [1 0.5 -0.05; 0.5 1 0.25; -0.05 0.25 1];
TrueMdl = varm('Beta',bTrue,'Constant',aTrue,'Covariance',InnovCov)

TrueMdl = 
  varm with properties:

     Description: "3-Dimensional VARX(0) Model with 4 Predictors"
     SeriesNames: "Y1"  "Y2"  "Y3" 
       NumSeries: 3
               P: 0
        Constant: [1 -1 0.5]'
              AR: {}
           Trend: [3×1 vector of zeros]
            Beta: [3×4 matrix]
      Covariance: [3×3 matrix]

Y = simulate(TrueMdl,T,'X',X);

SUR Используя все предикторы для каждого ряда ответа

Создайте модель VAR, подходящую для SUR использование краткого синтаксиса varm.

Mdl1 = varm(n,0);

Mdl1 varm шаблон объекта модели, представляющий 3D модель VAR (0). В отличие от TrueMdl, ни один из коэффициентов, точек пересечения и ковариационной матрицы внутрипериода не имеет значения. Поэтому Mdl1 подходит для оценки.

Оцените коэффициенты регрессии с помощью estimate. Извлеките остаточные значения. Отобразите предполагаемую модель с помощью summarize.

[EstMdl1,~,~,E] = estimate(Mdl1,Y,'X',X);
summarize(EstMdl1)

 
   3-Dimensional VARX(0) Model with 4 Predictors
 
    Effective Sample Size: 100
    Number of Estimated Parameters: 15
    LogLikelihood: -412.026
    AIC: 854.052
    BIC: 893.129
 
                     Value      StandardError    TStatistic      PValue   
                   _________    _____________    __________    ___________

    Constant(1)      0.97898       0.11953          8.1902      2.6084e-16
    Constant(2)      -1.0644       0.10019         -10.623      2.3199e-26
    Constant(3)      0.45323       0.10123          4.4772      7.5611e-06
    Beta(1,1)         1.7686       0.11994          14.745      3.2948e-49
    Beta(2,1)         3.8576       0.10054           38.37     4.1502e-322
    Beta(3,1)        -2.2009       0.10158         -21.667     4.1715e-104
    Beta(1,2)        -1.5508       0.12345         -12.563      3.3861e-36
    Beta(2,2)         2.4407       0.10348          23.587     5.2666e-123
    Beta(3,2)        0.46414       0.10455          4.4395      9.0156e-06
    Beta(1,3)        0.69588       0.13491          5.1583      2.4922e-07
    Beta(2,3)        -1.7139       0.11308         -15.156      6.8911e-52
    Beta(3,3)        -1.6414       0.11425         -14.367      8.3713e-47
    Beta(1,4)        0.67036       0.12731          5.2654       1.399e-07
    Beta(2,4)      -0.056437       0.10672        -0.52885         0.59691
    Beta(3,4)        0.56581       0.10782          5.2476      1.5406e-07

 
   Innovations Covariance Matrix:
    1.3850    0.6673   -0.1591
    0.6673    0.9731    0.2165
   -0.1591    0.2165    0.9934

 
   Innovations Correlation Matrix:
    1.0000    0.5748   -0.1357
    0.5748    1.0000    0.2202
   -0.1357    0.2202    1.0000

EstMdl varm объект модели, содержащий предполагаемые параметры. E isa $T$ - $n$ матрица остаточных значений.

В качестве альтернативы и в этом случае, можно использовать оператор обратной косой черты на X и Y. Однако необходимо включать столбец из единиц в X для точек пересечения.

coeff = ([ones(T,1) X]\Y)

coeff = 5×3

    0.9790   -1.0644    0.4532
    1.7686    3.8576   -2.2009
   -1.5508    2.4407    0.4641
    0.6959   -1.7139   -1.6414
    0.6704   -0.0564    0.5658

coeff n- nExo + 1 матрица предполагаемых коэффициентов регрессии и точек пересечения. Предполагаемые точки пересечения находятся в первом столбце, и остальная часть матрицы содержит предполагаемые коэффициенты регрессии

Сравните все оценки с их истинными значениями.

InterceptsTbl = table(aTrue,EstMdl1.Constant,coeff(1,:)',...
    'VariableNames',["True" "estimate" "backslash"])

InterceptsTbl=3×3 table
    True    estimate    backslash
    ____    ________    _________

      1     0.97898      0.97898 
     -1     -1.0644      -1.0644 
    0.5     0.45323      0.45323

cB = coeff';
cB = cB(:);
CoefficientsTbl = table(bTrue(:),EstMdl1.Beta(:),cB((n + 1):end),...
    'VariableNames',["True" "estimate" "backslash"])

CoefficientsTbl=12×3 table
    True     estimate     backslash
    _____    _________    _________

        2       1.7686       1.7686
        4       3.8576       3.8576
       -2      -2.2009      -2.2009
     -1.5      -1.5508      -1.5508
      2.5       2.4407       2.4407
      0.5      0.46414      0.46414
      0.5      0.69588      0.69588
    -1.75      -1.7139      -1.7139
     -1.5      -1.6414      -1.6414
     0.75      0.67036      0.67036
    -0.05    -0.056437    -0.056437
      0.7      0.56581      0.56581

InnovCovTbl = table(InnovCov,EstMdl1.Covariance,...
    'VariableNames',["True" "estimate"])

InnovCovTbl=3×2 table
             True                          estimate            
    _______________________    ________________________________

        1      0.5    -0.05       1.385      0.6673    -0.15914
      0.5        1     0.25      0.6673     0.97312     0.21649
    -0.05     0.25        1    -0.15914     0.21649     0.99338

Оценки от реализации estimate и оператор обратной косой черты является тем же самым и справедливо близко к их соответствующим истинным значениям.

Один способ проверять силу отношения между предикторами и ответами состоит в том, чтобы вычислить коэффициент детерминации (i.e., часть изменения, объясненного предикторами), который является

$R^{2} = 1 - \frac{\sum_{j}^{n} {σ_{}^{ˆ}}_{ε j}^{2}}{\sum_{j}^{n} {σ_{}^{ˆ}}_{Y j}^{2}},$

где ${σ_{}^{ˆ}}_{ε j}^{2}$ предполагаемое отклонение остаточного ряда $j$ , и ${σ_{}^{ˆ}}_{Y j}^{2}$ предполагаемое отклонение ряда ответа $j$ .

R2 = 1 - sum(diag(cov(E)))/sum(diag(cov(Y)))

R2 = 0.9118

Модель SUR и данные о предикторе объясняют приблизительно 93% изменения данных об ответе.

Документация

Реализуйте на вид Несвязанную регрессию

Симулируйте данные из истинной модели

SUR Используя все предикторы для каждого ряда ответа

Смотрите также

Объекты

Функции

Похожие темы

Документация Econometrics Toolbox

Поддержка