Подбирайте переключающую Маркова модель динамической регрессии к данным
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,Y)Mdl динамической регрессии. estimate подбирает модель к данным об ответе Y, и инициализирует процедуру оценки путем обработки значений параметров полностью заданной переключающей Маркова модели Mdl0 динамической регрессии как начальные значения. estimate использует версию алгоритма максимизации ожидания (EM), описанного Гамильтоном [3].
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,Y,Name,Value)'IterationPlot',true отображает график логарифмической правдоподобности по сравнению с шагом итерации, после того, как алгоритм остановится.
Считайте переключающую Маркова модель динамической регрессии с двумя состояниями послевоенных США действительным темпом роста GDP, как оценено в [1].
Создайте частично заданную модель для оценки
Создайте переключающую Маркова модель динамической регрессии для наивного средства оценки путем определения дискретной цепи Маркова с двумя состояниями с неизвестной матрицей перехода и AR (0) (постоянный только) подмодели для обоих режимов. Пометьте режимы.
P = NaN(2); mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]); mdl = arima(0,0,0); Mdl = msVAR(mc,[mdl; mdl]);
Mdl частично заданный msVAR объект. NaN- ценные элементы Switch и SubModels свойства указывают на допускающие оценку параметры.
Создайте полностью заданную модель, содержащую начальную стоимость
Процедура оценки требует начальных значений для всех допускающих оценку параметров. Создайте полностью заданную переключающую Маркова модель динамической регрессии, которая имеет ту же структуру как Mdl, но установленный все допускающие оценку параметры на начальные значения. Этот пример использует произвольные начальные значения.
P0 = 0.5*ones(2); mc0 = dtmc(P0,'StateNames',Mdl.StateNames); mdl01 = arima('Constant',1,'Variance',1); mdl02 = arima('Constant',-1,'Variance',1); Mdl0 = msVAR(mc0,[mdl01; mdl02]);
Mdl0 полностью заданный msVAR объект.
Загрузите и предварительно обработайте данные
Загрузите набор данных GDP США.
load Data_GDPData содержит ежеквартальные измерения США действительный GDP в период 1947:Q1–2005:Q2. Период оценки в [1] является 1947:Q2–2004:Q2. Для получения дополнительной информации о наборе данных введите Description в командной строке.
Преобразуйте данные к ряду годового показателя:
Преобразование данных к ежеквартальному уровню в период оценки
Пересчитывание на год ежеквартальных уровней
qrate = diff(Data(2:230))./Data(2:229); % Quarterly rate arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1); % Annualized rate
Оценочная модель
Соответствуйте модели Mdl к серии arate годового показателя. Задайте Mdl0 как модель, содержащая начальные допускающие оценку значения параметров.
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,arate);
EstMdl предполагаемое (полностью заданный) переключающая Маркова модель динамической регрессии. EstMdl.Switch предполагаемая модель дискретной цепи Маркова (dtmc объект), и EstMdl.Submodels вектор из предполагаемых одномерных моделей VAR (0) (varm объекты.
Отобразите предполагаемые динамические модели состояния специфичные.
EstMdlExp = EstMdl.Submodels(1)
EstMdlExp =
varm with properties:
Description: "1-Dimensional VAR(0) Model"
SeriesNames: "Y1"
NumSeries: 1
P: 0
Constant: 4.90146
AR: {}
Trend: 0
Beta: [1×0 matrix]
Covariance: 12.087
EstMdlRec = EstMdl.Submodels(2)
EstMdlRec =
varm with properties:
Description: "1-Dimensional VAR(0) Model"
SeriesNames: "Y1"
NumSeries: 1
P: 0
Constant: 0.0084884
AR: {}
Trend: 0
Beta: [1×0 matrix]
Covariance: 12.6876
Отобразите предполагаемую матрицу переходов.
EstP = EstMdl.Switch.P
EstP = 2×2
0.9088 0.0912
0.2303 0.7697
Отобразите сводные данные оценки, содержащие оценки параметра и выводы.
summarize(EstMdl)
Description
1-Dimensional msVAR Model with 2 Submodels
Switch
Estimated Transition Matrix:
0.909 0.091
0.230 0.770
Fit
Effective Sample Size: 228
Number of Estimated Parameters: 2
Number of Constrained Parameters: 0
LogLikelihood: -639.496
AIC: 1282.992
BIC: 1289.851
Submodels
Estimate StandardError TStatistic PValue
_________ _____________ __________ ___________
State 1 Constant(1) 4.9015 0.23023 21.289 1.4301e-100
State 2 Constant(1) 0.0084884 0.2359 0.035983 0.9713
Рассмотрите модель и данные в Оценочной Модели Динамической регрессии Переключения Маркова.
Создайте частично заданную модель для оценки.
P = NaN(2); mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]); mdl = arima(0,0,0); Mdl = msVAR(mc,[mdl; mdl]);
Создайте полностью заданную модель, содержащую начальные значения параметров для процедуры оценки.
P0 = 0.5*ones(2); mc0 = dtmc(P0,'StateNames',Mdl.StateNames); mdl01 = arima('Constant',1,'Variance',1); mdl02 = arima('Constant',-1,'Variance',1); Mdl0 = msVAR(mc0,[mdl01; mdl02]);
Загрузите и предварительно обработайте данные.
load Data_GDP
qrate = diff(Data(2:230))./Data(2:229);
arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1); Подбирайте модель к данным. Постройте логарифмическую правдоподобность по сравнению с шагом итерации, когда процедура оценки завершит работу.
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,arate,'IterationPlot',true);
Оцените точность оценки с помощью симулированных данных из известного генерирующего данные процесса (DGP). Этот пример использует произвольные значения параметров.
Создайте модель для DGP
Создайте полностью заданную, модель дискретной цепи Маркова с двумя состояниями для переключающегося механизма.
P = [0.7 0.3; 0.1 0.9]; mc = dtmc(P);
Для каждого состояния создайте полностью заданную модель AR (1) для процесса ответа.
% Constants C1 = 5; C2 = -2; % Autoregression coefficients AR1 = 0.4; AR2 = 0.2; % Variances V1 = 4; V2 = 2; % AR Submodels dgp1 = arima('Constant',C1,'AR',AR1,'Variance',V1); dgp2 = arima('Constant',C2,'AR',AR2,'Variance',V2);
Создайте полностью заданную переключающую Маркова модель динамической регрессии для DGP.
DGP = msVAR(mc,[dgp1,dgp2]);
Симулируйте пути к ответу от DGP
Сгенерируйте 10 случайных путей к ответу длины 1000 от DGP.
rng(1); % For reproducibility N = 10; n = 1000; Data = simulate(DGP,n,'Numpaths',N);
Data 1000 10 матрица симулированных откликов.
Создайте модель для оценки
Создайте частично заданную переключающую Маркова модель динамической регрессии, которая имеет ту же структуру как генерирующий данные процесс, но задайте неизвестный переход матричные и неизвестные коэффициенты подмодели.
PEst = NaN(2); mcEst = dtmc(PEst); mdl = arima(1,0,0); Mdl = msVAR(mcEst,[mdl; mdl]);
Создайте модель, содержащую начальную стоимость
Создайте полностью заданную переключающую Маркова модель динамической регрессии, которая имеет ту же структуру как Mdl, но установленный все допускающие оценку параметры на начальные значения.
P0 = 0.5*ones(2); mc0 = dtmc(P0); mdl01 = arima('Constant',1,'AR',0.5,'Variance',2); mdl02 = arima('Constant',-1,'AR',0.5,'Variance',1); Mdl0 = msVAR(mc0,[mdl01,mdl02]);
Оцените модели
Подбирайте модель к каждому симулированному пути. Для каждого пути постройте логарифмическую правдоподобность в каждой итерации алгоритма EM.
c1 = zeros(N,1); c2 = zeros(N,1); v1 = zeros(N,1); v2 = zeros(N,1); ar1 = zeros(N,1); ar2 = zeros(N,1); PStack = zeros(2,2,N); figure hold on for i = 1:N EstModel = estimate(Mdl,Mdl0,Data(:,i),'IterationPlot',true); c1(i) = EstModel.Submodels(1).Constant; c2(i) = EstModel.Submodels(2).Constant; v1(i) = EstModel.Submodels(1).Covariance; v2(i) = EstModel.Submodels(2).Covariance; ar1(i) = EstModel.Submodels(1).AR{1}; ar2(i) = EstModel.Submodels(2).AR{1}; PStack(:,:,i) = EstModel.Switch.P; end hold off
Оцените точность
Вычислите среднее значение Монте-Карло каждого предполагаемого параметра.
c1Mean = mean(c1); c2Mean = mean(c2); v1Mean = mean(v1); v2Mean = mean(v2); ar1Mean = mean(ar1); ar2Mean = mean(ar2); PMean = mean(PStack,3);
Сравните параметры населения с соответствующими оценками Монте-Карло.
DGPvsEstimate = [...
C1 c1Mean
C2 c2Mean
V1 v1Mean
V2 v2Mean
AR1 ar1Mean
AR2 ar2Mean]DGPvsEstimate = 6×2
5.0000 5.0260
-2.0000 -1.9615
4.0000 3.9710
2.0000 1.9903
0.4000 0.4061
0.2000 0.2017
P
P = 2×2
0.7000 0.3000
0.1000 0.9000
PEstimate = PMean
PEstimate = 2×2
0.7065 0.2935
0.1023 0.8977
Рассмотрите данные в Оценочной Модели Динамической регрессии Переключения Маркова, но примите, что период интереса является 1960:Q1–2004:Q2. Кроме того, рассмотрите добавление авторегрессивного термина к каждой подмодели.
Создайте частично заданную переключающую Маркова модель динамической регрессии для оценки. Задайте AR (1) подмодели.
P = NaN(2); mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]); mdl = arima(1,0,0); Mdl = msVAR(mc,[mdl; mdl]);
Поскольку подмодели являются AR (1), каждый требует, чтобы одно преддемонстрационное наблюдение инициализировало свой динамический компонент для оценки.
Создайте модель, содержащую начальные значения параметров для процедуры оценки.
P0 = 0.5*ones(2); mc0 = dtmc(P0,'StateNames',Mdl.StateNames); mdl01 = arima('Constant',1,'Variance',1,'AR',0.001); mdl02 = arima('Constant',-1,'Variance',1,'AR',0.001); Mdl0 = msVAR(mc0,[mdl01; mdl02]);
Загрузите данные. Преобразуйте целый набор к ряду годового показателя.
load Data_GDP
qrate = diff(Data)./Data(1:(end - 1));
arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1);Идентифицируйте периоды расчета предварительной выборки и оценки с помощью дат, сопоставленных с рядом годового показателя. Поскольку преобразование применяет первое различие, необходимо исключить первую дату наблюдения из исходной выборки.
dates = datetime(dates(2:end),'ConvertFrom','datenum',... 'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US'); estPrd = datetime(["1960:Q2" "2004:Q2"],'InputFormat','yyyy:QQQ',... 'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US'); idxEst = isbetween(dates,estPrd(1),estPrd(2)); idxPre = dates < estPrd(1); % The presample is the previous quarter.
Подбирайте модель к выборочным данным оценки. Задайте преддемонстрационное наблюдение и постройте логарифмическую правдоподобность в каждой итерации, когда процедура оценки завершит работу.
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,arate(idxEst),'Y0',arate(idxPre),... 'IterationPlot',true);
Рассмотрите модель и данные в Оценочной Модели Динамической регрессии Переключения Маркова.
Создайте частично заданную модель для оценки.
P = NaN(2); mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]); mdl = arima(0,0,0); Mdl = msVAR(mc,[mdl; mdl]);
Создайте полностью заданную модель, содержащую начальные значения параметров для процедуры оценки.
P0 = 0.5*ones(2); mc0 = dtmc(P0,'StateNames',Mdl.StateNames); mdl01 = arima('Constant',1,'Variance',1); mdl02 = arima('Constant',-1,'Variance',1); Mdl0 = msVAR(mc0,[mdl01; mdl02]);
Загрузите и предварительно обработайте данные.
load Data_GDP
qrate = diff(Data(2:230))./Data(2:229);
arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1); Подбирайте модель к данным. Возвратите ожидаемые сглаживавшие вероятности состояния и логарифмическую правдоподобность, когда алгоритм остановится.
[EstMdl,SS,logL] = estimate(Mdl,Mdl0,arate);
SS 228 2 матрица ожидаемых сглаживавших вероятностей состояния; строки соответствуют периодам в выборке оценки, и столбцы соответствуют режимам. logL итоговая логарифмическая правдоподобность.
Отобразите ожидаемые сглаживавшие вероятности состояния в течение последнего периода в выборке оценки и отобразите итоговую логарифмическую правдоподобность.
SS(end,:)
ans = 1×2
0.8985 0.1015
logL
logL = -639.4962
Подгонка симулировала данные к переключающей Маркова модели динамической регрессии с подмоделями VARX. Задайте ограничения равенства для оценки. Этот пример использует произвольные значения параметров.
Создайте модель для DGP
Создайте полностью заданную, модель дискретной цепи Маркова с тремя состояниями для переключающегося механизма.
P = [0.8 0.1 0.1; 0.2 0.6 0.2; 0 0.1 0.9]; mc = dtmc(P);
Для каждого состояния создайте полностью заданную модель VARX(1) для процесса ответа. Задайте ту же константу модели и изолируйте 1 матрицу коэффициентов AR для всех подмоделей. Для каждой модели задайте различное 2 1 коэффициент регрессии для одной внешней переменной.
% Constants C = [1;-1]; % Autoregression coefficients AR = {[0.6 0.1; 0.4 0.2]}; % Regression coefficients Beta1 = [0.2;-0.4]; Beta2 = [0.6;-1.0]; Beta3 = [0.9;-1.3]; % VAR Submodels dgp = varm('Constant',C,'AR',AR,'Covariance',5*eye(2)); dgp1 = dgp; dgp1.Beta = Beta1; dgp2 = dgp; dgp2.Beta = Beta2; dgp3 = dgp; dgp3.Beta = Beta3;
Создайте полностью заданную переключающую Маркова модель динамической регрессии для DGP.
DGP = msVAR(mc,[dgp1; dgp2; dgp3]);
Симулируйте данные из DGP
Симулируйте данные для внешнего ряда путем генерации 1 000 наблюдений от Распределения Гаусса со средним значением 0 и отклонением 100.
rng(1); % For reproducibility
X = 10*randn(1000,1);Сгенерируйте случайный путь к ответу длины 1000 от DGP. Задайте симулированные внешние данные для компонентов регрессии подмодели.
Data = simulate(DGP,1000,'X',X);Data 1000 1 вектор из симулированных откликов.
Создайте модель для оценки
Создайте частично заданную переключающую Маркова модель динамической регрессии, которая имеет ту же структуру как генерирующий данные процесс, но задайте неизвестный переход матричные и неизвестные коэффициенты регрессии. Задайте истинные значения констант и содействующих матриц AR.
PEst = NaN(3); mcEst = dtmc(PEst); mdl = varm(2,1); mdl.Constant = C; mdl.AR = AR; mdl.Beta = NaN(2,1); Mdl = msVAR(mcEst,[mdl; mdl; mdl]);
Поскольку значения констант и содействующих матриц AR заданы в Mdl, estimate обрабатывает их как ограничения равенства для оценки.
Создайте модель, содержащую начальную стоимость
Создайте полностью заданную переключающую Маркова модель динамической регрессии, которая имеет ту же структуру как Mdl, но установленный все допускающие оценку параметры на начальные значения и установленные параметры с ограничениями равенства к их значениям заданы в Mdl.
P0 = (1/3)*ones(3); mc0 = dtmc(P0); mdl0 = varm('Constant',C,'AR',AR,'Covariance',eye(2)); mdl01 = mdl0; mdl01.Beta = [0.1;-0.1]; mdl02 = mdl0; mdl02.Beta = [0.5;-0.5]; mdl03 = mdl0; mdl03.Beta = [1;-1]; Mdl0 = msVAR(mc0,[mdl01; mdl02; mdl03]);
Оценочная модель
Подбирайте модель к симулированным данным. Задайте внешние данные для компонента регрессии. Постройте логарифмическую правдоподобность в каждой итерации алгоритма EM.
figure EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,Data,'X',X,'IterationPlot',true);
Оцените точность
Сравните предполагаемые векторы коэффициента регрессии и матрицу перехода к их истинным значениям.
Beta1
Beta1 = 2×1
0.2000
-0.4000
Beta1Estimate = EstMdl.Submodels(1).Beta
Beta1Estimate = 2×1
0.1596
-0.4040
Beta2
Beta2 = 2×1
0.6000
-1.0000
Beta2Estimate = EstMdl.Submodels(2).Beta
Beta2Estimate = 2×1
0.5888
-0.9771
Beta3
Beta3 = 2×1
0.9000
-1.3000
Beta3Estimate = EstMdl.Submodels(3).Beta
Beta3Estimate = 2×1
0.8987
-1.2991
P
P = 3×3
0.8000 0.1000 0.1000
0.2000 0.6000 0.2000
0 0.1000 0.9000
PEstimate = EstMdl.Switch.P
PEstimate = 3×3
0.7787 0.0856 0.1357
0.1366 0.6906 0.1727
0.0086 0.0787 0.9127
В [4], гамильтоновы предостережения: "Несмотря на то, что исследователь может испытать желание использовать возможное наиболее техническое требование, всеми параметрами, изменяющимися через большое количество режимов... на практике, это обычно спрашивает больше, чем данные могут поставить". Гамильтон рекомендует бережливость модели и выборочную оценку, чтобы "ограничить особое внимание на несколько самых важных параметров, которые, вероятно, изменятся".
Генерирующие данные процессы с низкими отклонениями могут привести к трудностям в выводе состояния и последующей оценке параметра. В таких случаях рассмотрите масштабирование данных. Отклонение масштабируется квадратично.
estimate реализует версию алгоритма EM, описанного в [2], [3], и [4]. Учитывая первоначальную оценку параметров модели Mdl0, estimate выполняет итерации следующего процесса до сходимости:
Шаг ожидания — estimate применяется smooth к данным, чтобы получить выводы скрытых вероятностей состояния на каждом временном шаге и оценке полной логарифмической правдоподобности данных.
Шаг максимизации — estimate использует ожидаемые сглаживавшие вероятности от шага ожидания, чтобы взвесить данные перед обновляющимися оценками параметра в каждой подмодели.
Поверхности вероятности для плотности смеси переключающихся моделей могут содержать локальные максимумы и сингулярность [2]. Если так, самый большой локальный максимум с ненулевым отклонением модели рассматривается оценкой наибольшего правдоподобия (MLE). Если Mdl0 находится в окружении MLE, estimate обычно сходится к нему, но эта сходимость не гарантируется.
estimate указатели два типа ограничений:
Ограничения на параметры подмодели, который estimate объектная функция varm объект осуществляет на каждом шаге максимизации
Ограничения на вероятности перехода, который estimate осуществляет путем проектирования максимальной оценки матрицы перехода на ограниченное пространство параметров после каждой итерации
Ограничения на инновационные отклонения подмодели и ковариации не поддержаны. estimate вычисляет инновационные ковариации после оценки, независимо от их значений.
[2] Гамильтон, J. D. "Анализ Временных рядов Согласно Изменениям в Режиме". Журнал Эконометрики. Издание 45, 1990, стр 39–70.
[3] Гамильтон, анализ временных рядов Джеймса Д. Принстон, NJ: Издательство Принстонского университета, 1994.
[4] Гамильтон, J. D. "Макроэкономические Режимы и Сдвиги Режима". В Руководстве Макроэкономики. (Х. Ахлиг и Дж. Тейлор, редакторы). Амстердам: Elsevier, 2016.
[5] Коул, E. "Модели переключения режима: пример для индекса фондового рынка". Роттердам, NL: эконометрический институт, школа Эразмуса экономики, 2010.