То В этом примере показано, как использовать два различных метода, чтобы калибровать стохастическую модель энергозависимости SABR с рынка, подразумевало Нормальные колебания (Bachelier) с отрицательными забастовками. Оба подхода используют SABR аналитический калькулятор цен. Когда Beta параметр SABR модель обнуляется, модель является моделью Normal SABR, которая позволяет вычислять подразумеваемые Нормальные колебания для отрицательных забастовок.
Настройте подразумеваемые Нормальные колебания гипотетического рынка для европейского swaptions в области значений забастовок перед калибровкой. swaptions истекают за один год от Settle дата и имеет подкачки 2D года как базовый инструмент. Уровни описываются в десятичных числах. Рынок подразумевал, что Нормальные колебания преобразованы от пунктов до десятичных чисел. (Изменение модулей влияет на численное значение и интерпретацию Alpha параметр в SABR модель.)
% Load the market implied Normal volatility data for swaptions expiring in one year. Settle = datetime(2020, 4, 24); ExerciseDate = datetime(2021, 4, 24); Basis = 1; ZeroDates = Settle + [calmonths([3 6 9]) calyears([1 2 3 4 5 ... 6 7 10 15 20])]'; ZeroRates = [-.54 -.57 -.60 -.62 -.67 -.67 -.65 -.61 ... -.56 -.51 -.36 -.19 -.10]'/100; Compounding = 1; ZeroCurve = ratecurve("zero",Settle,ZeroDates,ZeroRates,'Compounding',Compounding); ATMStrike = -0.70/100; MarketStrikes = ATMStrike + ((-0.5:0.25:1.5)')./100; MarketVolatilities = [29.89 25.47 23.21 26.17 29.59 33.12 37.81 41.88 46.24]'/10000; % At the time of Settle, define the underlying forward rate and the at-the-money volatility. CurrentForwardValue = MarketStrikes(3)
CurrentForwardValue = -0.0070
ATMVolatility = MarketVolatilities(3)
ATMVolatility = 0.0023
Alpha\rho, и Nu НепосредственноМожно калибровать Alpha\rho, и Nu параметры непосредственно. Установите значение Beta параметр, чтобы обнулить для того, чтобы позволить отрицательные уровни в SABR модель (Нормальный SABR). После того, как вы фиксируете значение \beta), вы соответствуете параметрам \alpha), \rho), и \nu) непосредственно. Функция Optimization Toolbox™ lsqnonlin генерирует значения параметров, которые минимизируют квадратичную невязку между волатильностью рынка и колебаниями, вычисленными SABR аналитический калькулятор цен.
% Define the predetermined Beta Beta1 = 0; % Setting Beta to zero allows negative rates for Normal volatilities % Calibrate Alpha, Rho, and Nu objFun = @(X) MarketVolatilities - ... volatilities(finpricer("Analytic", 'Model', ... finmodel("SABR", 'Alpha', X(1), 'Beta', Beta1, 'Rho', X(2), ... 'Nu', X(3), 'VolatilityType', 'Normal'), 'DiscountCurve', ZeroCurve), ... ExerciseDate, CurrentForwardValue, MarketStrikes); % If necessary, adjust the tolerances and stopping criteria for lsqnonlin X = lsqnonlin(objFun, [ATMVolatility 0 0.5], [0 -1 0], [Inf 1 Inf]);
Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the value of the optimality tolerance.
Alpha1 = X(1); Rho1 = X(2); Nu1 = X(3);
Другой метод должен использовать альтернативный калибровочный метод. Как в первом методе, вы устанавливаете значение \beta) обнулять, чтобы позволить отрицательные уровни. Однако после фиксации значения \beta), вы соответствуете параметрам \rho) и \nu) непосредственно, в то время как \alpha) подразумевается с рынка энергозависимость в деньгах. Калиброванное использование моделей этого метода производит колебания в деньгах, которые равны рыночным котировкам. Этот подход может быть полезным, когда колебания в деньгах заключаются в кавычки наиболее часто и важны для соответствия. Подразумевать \alpha) с рынка Нормальная энергозависимость в деньгах (), решите следующий кубический полином для \alpha), и выбор самый маленький положительный действительный корень. Это похоже на подход, используемый для допущения \alpha) с рынка в деньгах Черная энергозависимость [2]. Однако обратите внимание, что следующее выражение, которое используется для Нормальных колебаний, отличается от выражения, которое используется для Черных колебаний.
% Define the predetermined Beta Beta2 = 0; % Setting Beta to zero allows negative rates for Normal volatilities % Year fraction from Settle date to option maturity T = yearfrac(Settle, ExerciseDate, Basis); % This function solves the SABR at-the-money volatility equation as a % polynomial of Alpha alpharootsNormal = @(Rho,Nu) roots([... Beta2.*(Beta2 - 2)*T/24/CurrentForwardValue^(2 - 2*Beta2) ... Rho*Beta2*Nu*T/4/CurrentForwardValue^(1 - Beta2) ... (1 + (2 - 3*Rho^2)*Nu^2*T/24) ... -ATMVolatility*CurrentForwardValue^(-Beta2)]); % This function converts at-the-money volatility into Alpha by picking the % smallest positive real root atmNormalVol2SabrAlpha = @(Rho,Nu) min(real(arrayfun(@(x) ... x*(x>0) + realmax*(x<0 || abs(imag(x))>1e-6), alpharootsNormal(Rho,Nu)))); % Calibrate Rho and Nu (while converting at-the-money volatility into Alpha % using atmNormalVol2SabrAlpha) objFun = @(X) MarketVolatilities - ... volatilities(finpricer("Analytic", 'Model', ... finmodel("SABR", 'Alpha', atmNormalVol2SabrAlpha(X(1), X(2)), ... 'Beta', Beta2, 'Rho', X(1), 'Nu', X(2), 'VolatilityType', 'Normal'), ... 'DiscountCurve', ZeroCurve), ... ExerciseDate, CurrentForwardValue, MarketStrikes); % If necessary, adjust the tolerances and stopping criteria for lsqnonlin X = lsqnonlin(objFun, [0 0.5], [-1 0], [1 Inf]);
Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the value of the optimality tolerance.
Rho2 = X(1); Nu2 = X(2); % Obtain final Alpha from at-the-money volatility using calibrated parameters Alpha2 = atmNormalVol2SabrAlpha(Rho2, Nu2); % Display calibrated parameters C = {Alpha1 Beta1 Rho1 Nu1;Alpha2 Beta2 Rho2 Nu2}; format; CalibratedPrameters = cell2table(C,... 'VariableNames',{'Alpha' 'Beta' 'Rho' 'Nu'},... 'RowNames',{'Method 1';'Method 2'})
CalibratedPrameters=2×4 table
Alpha Beta Rho Nu
_________ ____ _________ _______
Method 1 0.0023279 0 -0.010078 0.63538
Method 2 0.0022389 0 -0.019029 0.66368
Используйте калиброванные модели, чтобы вычислить новые колебания в любом значении забастовки, включая отрицательные забастовки.
Вычислите колебания для моделей, калиброванных с помощью Метода 1 и Метода 2, затем постройте результаты. Модель, калиброванная с помощью Метода 2, воспроизводит рынок энергозависимость в деньгах (отмеченный кругом) точно.
PlottingStrikes = (min(MarketStrikes)-0.0025:0.0001:max(MarketStrikes)+0.0025)'; % Compute volatilities for model calibrated by Method 1 SABR_Model_Method_1 = finmodel("SABR", ... 'Alpha', Alpha1, 'Beta', Beta1, 'Rho', Rho1, 'Nu', Nu1, ... 'VolatilityType', 'Normal'); ComputedVols1 = volatilities(finpricer("Analytic", ... 'Model', SABR_Model_Method_1, 'DiscountCurve', ZeroCurve), ... ExerciseDate, CurrentForwardValue, PlottingStrikes); % Compute volatilities for model calibrated by Method 2 SABR_Model_Method_2 = finmodel("SABR", ... 'Alpha', Alpha2, 'Beta', Beta2, 'Rho', Rho2, 'Nu', Nu2, ... 'VolatilityType', 'Normal'); ComputedVols2 = volatilities(finpricer("Analytic", ... 'Model', SABR_Model_Method_2, 'DiscountCurve', ZeroCurve), ... ExerciseDate, CurrentForwardValue, PlottingStrikes); figure; plot(MarketStrikes,MarketVolatilities*10000,'xk',... PlottingStrikes,ComputedVols1*10000,'b', ... PlottingStrikes,ComputedVols2*10000,'r', ... CurrentForwardValue,ATMVolatility*10000,'ok',... 'MarkerSize',10); h = gca; line([0,0],[min(h.YLim),max(h.YLim)],'LineStyle','--'); xlabel('Strike', 'FontWeight', 'bold'); ylabel('Implied Normal Volatility (bps)', 'FontWeight', 'bold'); legend('Market Volatilities', 'Normal SABR Model (Method 1)', ... 'Normal SABR Model (Method 2)', 'At-the-money volatility', ... 'Location', 'northwest');
[1] Хейган, Патрик С., глубокий Кумар, Эндрю С. Лесниевский и Диана Э. Лесничий. "Управляя риском улыбки". Журнал Wilmott, (январь 2002):84-108.
[2] Запад, Грем. "Калибровка Модели SABR на Неликвидных Рынках". Прикладные Математические Финансы. 12, № 4 (декабрь 2005): 371–385.