ellipj

Эллиптические функции Якоби

Синтаксис

[SN,CN,DN]
= ellipj(U,M)

[SN,CN,DN]
= ellipj(U,M,tol)

Описание

пример

[SN,CN,DN] = ellipj(U,M) возвращает эллиптические функции Якоби SNCN , и DN оцененный для соответствующих элементов аргумента U и параметр M. Входные параметры U и M должен быть одного размера, или любой U или M должен быть скаляр.

пример

[SN,CN,DN] = ellipj(U,M,tol) вычисляет эллиптические функции Якоби с точностью tol. Значение по умолчанию tol eps. Увеличьте tol для менее точного, но более быстро вычисленного ответа.

Примеры

свернуть все

Нахождение эллиптических функций Якоби

Скрипт Open Live Script

Ищите эллиптические функции Якоби для U = 0.5 и M = 0.25.

[s,c,d] = ellipj(0.5,0.25)

s = 0.4751

c = 0.8799

d = 0.9714

Графическое изображение эллиптических функций Якоби

Скрипт Open Live Script

Постройте эллиптические функции Якоби для -5≤U≤5 и M = 0.7.

M = 0.7;
U = -5:0.01:5;
[S,C,D] = ellipj(U,M);
plot(U,S,U,C,U,D);
legend('SN','CN','DN','Location','best')
grid on
title('Jacobi Elliptic Functions sn,cn,dn')

Figure contains an axes object. The axes object with title Jacobi Elliptic Functions sn,cn,dn contains 3 objects of type line. These objects represent SN, CN, DN.

Генерация Объемной поверхностной диаграммы Якоби Эллиптическая Функция sn

Скрипт Open Live Script

Сгенерируйте объемную поверхностную диаграмму Якоби эллиптическая функция sn для позволенной области значений M и -5≤U≤5.

[M,U] = meshgrid(0:0.1:1,-5:0.1:5);
S = ellipj(U,M);
surf(U,M,S)
xlabel('U')
ylabel('M')
zlabel('sn')
title('Surface Plot of Jacobi Elliptic Function sn')

Figure contains an axes object. The axes object with title Surface Plot of Jacobi Elliptic Function sn contains an object of type surface.

Более быстрые вычисления эллиптических интегралов Якоби путем изменения допуска

Скрипт Open Live Script

Значение по умолчанию tol eps. Найдите время выполнения со значением по умолчанию для произвольного M использование tic и toc. Увеличьте tol на коэффициент 1 000 и находят время выполнения. Сравните время выполнения.

tic
ellipj(0.253,0.937)

ans = 0.2479

toc

Elapsed time is 0.047464 seconds.

tic
ellipj(0.253,0.937,eps*1000)

ans = 0.2479

toc

Elapsed time is 0.009228 seconds.

ellipj запуски значительно быстрее, когда допуск значительно увеличен.

Входные параметры

свернуть все

`U` — Входной массив
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

Входной массив, заданный как скалярный, векторный, матричный или многомерный массив. U ограничивается вещественными значениями. Если U является нескалярным, M должен быть скаляр или нескалярное одного размера с U.

Типы данных: single | double

`M` — Входной массив
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

Входной массив, заданный как скалярный, векторный, матричный или многомерный массив. M может принять значения 0 ≤ m ≤1. Если M нескалярное, U должен быть скаляр или нескалярное одного размера с M. Сопоставьте другие значения M в эту область значений с помощью преобразований, описанных в [1], уравнения 16.10 и 16.11.

Типы данных: single | double

`tol` — Точность результата
`eps` (значение по умолчанию) | неотрицательное вещественное число

Точность результата в виде неотрицательного вещественного числа. Значение по умолчанию eps.

Выходные аргументы

свернуть все

`SN` — Эллиптическая функция Якоби sn
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

Эллиптическая функция Якоби sn, возвращенный как скаляр, вектор, матрица или многомерный массив.

`CN` — Эллиптическая функция Якоби cn
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

Эллиптическая функция Якоби cn, возвращенный как скаляр, вектор, матрица или многомерный массив.

`DN` — Эллиптическая функция Якоби dn
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

Эллиптическая функция Якоби dn, возвращенный как скаляр, вектор, матрица или многомерный массив.

Больше о

свернуть все

Эллиптические функции Якоби

Эллиптические функции Якоби заданы в терминах интеграла

$u = \int_{0}^{ϕ} \frac{d θ}{\sqrt{1 - m \sin^{2} θ}} .$

То

$s n (u) = \sin ϕ, c n (u) = \cos ϕ, d n (u) = \sqrt{1 - m \sin^{2} ϕ} .$

Некоторые определения эллиптических функций используют эллиптический модуль k или модульный угол α вместо параметра m. Они связаны

$k^{2} = m = \sin^{2} a .$

Эллиптические функции Якоби выполняют много математических тождеств. Для хорошей выборки см. [1].

Алгоритмы

ellipj вычисляет эллиптические функции Якоби с помощью метода арифметически-среднегеометрического из [1]. Это запускается с триплета чисел

$a_{0} = 1, b_{0} = \sqrt{1 - m}, c_{0} = \sqrt{m} .$

ellipj вычисляет последовательное использование итераций

$\begin{array}{l} a_{i} = \frac{1}{2} (a_{i - 1} + b_{i - 1}) \\ b_{i} = (^{a_{i - 1} b_{i - 1}) \frac{1}{2}} \\ c_{i} = \frac{1}{2} (a_{i - 1} - b_{i - 1}) . \end{array}$

Затем это вычисляет амплитуды в использовании радианов

$\sin (2 ϕ_{n - 1} - ϕ_{n}) = \frac{c_{n}}{a_{n}} \sin (ϕ_{n}),$

стараться разворачивает фазы правильно. Эллиптические функции Якоби затем просто

$\begin{array}{l} s n (u) = \sin ϕ_{0} \\ c n (u) = \cos ϕ_{0} \\ d n (u) = \sqrt{1 - m \cdot s n {(u)}^{2}} . \end{array}$

Ссылки

[1] Abramowitz, M. и я. А. Стегун, руководство математических функций, Дуврские публикации, 1965, 17.6.

Расширенные возможности

Основанная на потоке среда
Запустите код в фоновом режиме с помощью MATLAB® `backgroundPool` или ускорьте код с Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool`.

Эта функция полностью поддерживает основанные на потоке среды. Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска в Основанной на потоке Среде.

Смотрите также

ellipke

Представлено до R2006a

Документация

ellipj

Синтаксис

Описание

Примеры

Нахождение эллиптических функций Якоби

Графическое изображение эллиптических функций Якоби

Генерация Объемной поверхностной диаграммы Якоби Эллиптическая Функция sn

Более быстрые вычисления эллиптических интегралов Якоби путем изменения допуска

Входные параметры

`U` — Входной массив
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

`M` — Входной массив
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

`tol` — Точность результата
`eps` (значение по умолчанию) | неотрицательное вещественное число

Выходные аргументы

`SN` — Эллиптическая функция Якоби sn
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

`CN` — Эллиптическая функция Якоби cn
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

`DN` — Эллиптическая функция Якоби dn
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

Больше о

Эллиптические функции Якоби

Алгоритмы

Ссылки

Расширенные возможности

Основанная на потоке среда
Запустите код в фоновом режиме с помощью MATLAB® `backgroundPool` или ускорьте код с Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool`.

Смотрите также

Документация MATLAB

Поддержка

Документация

ellipj

Синтаксис

Описание

Примеры

Нахождение эллиптических функций Якоби

Графическое изображение эллиптических функций Якоби

Генерация Объемной поверхностной диаграммы Якоби Эллиптическая Функция sn

Более быстрые вычисления эллиптических интегралов Якоби путем изменения допуска

Входные параметры

U — Входной массив скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

M — Входной массив скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

tol — Точность результата eps (значение по умолчанию) | неотрицательное вещественное число

Выходные аргументы

SN — Эллиптическая функция Якоби sn скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

CN — Эллиптическая функция Якоби cn скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

DN — Эллиптическая функция Якоби dn скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

Больше о

Эллиптические функции Якоби

Алгоритмы

Ссылки

Расширенные возможности

Основанная на потоке среда Запустите код в фоновом режиме с помощью MATLAB® backgroundPool или ускорьте код с Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.

Смотрите также

Документация MATLAB

Поддержка

`U` — Входной массив
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

`M` — Входной массив
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

`tol` — Точность результата
`eps` (значение по умолчанию) | неотрицательное вещественное число

`SN` — Эллиптическая функция Якоби sn
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

`CN` — Эллиптическая функция Якоби cn
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

`DN` — Эллиптическая функция Якоби dn
скаляр | вектор | матрица | многомерный массив

Основанная на потоке среда
Запустите код в фоновом режиме с помощью MATLAB® `backgroundPool` или ускорьте код с Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool`.