Проблема минимизации

Рассмотрите задачу минимизации следующей целевой функции:

Создайте задачу оптимизации, представляющую эти переменные и выражение целевой функции.

prob = optimproblem;
x = optimvar('x',2);
y = optimvar('y',2);
fun1 = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
fun2 = exp(-sum((x - y).^2))*exp(-exp(-y(1)))*sech(y(2));
prob.Objective = fun1 - fun2;

Минимизация подвергается нелинейному ограничению $$x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2\le 4$$.

prob.Constraints.cons = sum(x.^2 + y.^2) <= 4;

Решите задачу и исследуйте процесс решения

Решите задачу, начинающую с начальной точки.

init.x = [-1;2];
init.y = [1;-1];
[xproblem,fvalproblem,exitflagproblem,outputproblem] = solve(prob,init);

Solving problem using fmincon.

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

disp(fvalproblem)

   -0.5500

disp(outputproblem.funcCount)

    77

disp(outputproblem.iterations)

    46

output структура показывает тот solve вызовы fmincon, который требует, чтобы 77 вычислений функции и 46 итераций решили задачу. Значением целевой функции в решении является fvalproblem = -0.55.

Решите задачу без автоматического дифференцирования

Чтобы определить увеличение эффективности от автоматического дифференцирования, установите solve аргументы пары "имя-значение", чтобы использовать градиенты конечной разности вместо этого.

[xfd,fvalfd,exitflagfd,outputfd] = solve(prob,init,...
    "ObjectiveDerivative",'finite-differences',"ConstraintDerivative",'finite-differences');

Solving problem using fmincon.

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

disp(fvalfd)

   -0.5500

disp(outputfd.funcCount)

   264

disp(outputfd.iterations)

    46

Используя конечную разность приближение градиента вызывает solve взять 269 вычислений функции по сравнению с 77. Количество итераций является почти тем же самым, как значение целевой функции, о котором сообщают, в решении. Точки конечного решения являются тем же самым к точности отображения.

disp([xproblem.x,xproblem.y])

    0.8671    1.0433
    0.7505    0.5140

disp([xfd.x,xfd.y])

    0.8671    1.0433
    0.7505    0.5140

Таким образом, основной эффект автоматического дифференцирования в оптимизации состоит в том, чтобы понизить количество вычислений функции.