Минимизируйте энергию кусочной линейной системы массового Spring Используя коническое программирование, основанное на проблеме

В этом примере показано, как использовать подход, основанный на проблеме, чтобы найти положение равновесия массово-пружинной системы, висящей от двух точек привязки. Пружины имеют кусочные линейные растяжимые силы. Система состоит из n массы в двух измерениях. Масса i соединяется с пружинами i и i+1. Спрингс 1 и n+1 также соединяются, чтобы разделить точки привязки. В этом случае, продолжительность нулевой силы пружины i положительная длина l(i), и пружина генерирует силу k(i)q когда расширено к длине q+l(i). Проблема состоит в том, чтобы найти минимальную настройку потенциальной энергии масс, куда потенциальная энергия прибывает из силы тяжести и из протяжения нелинейных пружин. Равновесие происходит в минимальной энергетической настройке.

Этот рисунок показывает пять пружин и четыре массы, приостановленные от двух точек привязки.

Потенциальная энергия массы m на высоте h mgh, где g ускорение свободного падения на Земле. Кроме того, потенциальная энергия идеальной линейной пружины с коэффициентом упругости k расширенный к длине q kq2/2. В текущей модели пружина не идеальна, но это имеет ненулевую продолжительность отдыха l.

Математический базис этого примера прибывает от Лобо, Vandenberghe, Бойда и Лебрета [1]. Для основанной на решателе версии этого примера смотрите, Минимизируют энергию Кусочной Линейной Системы массового Spring Используя Коническое Программирование, Основанное на решателе.

Математическая формулировка

Местоположение массы i x(i), с горизонтальной координатой x1(i) и вертикальная координата x2(i). Масса i имеет потенциальную энергию из-за серьезности gm(i)x2(i). Потенциальная энергия пружиной i k(i)(d(i)-l(i))2/2, где d(i) продолжительность пружины между массой i и масса i-1. Возьмите точку привязки 1 в качестве положения массы 0 и точки привязки 2 как положение массы n+1. Предыдущее энергетическое вычисление показывает что потенциальная энергия пружины i

Energy(i)=k(i)(x(i)-x(i-1)-l(i))22.

При переформулировании этой проблемы потенциальной энергии, когда коническая проблема программирования второго порядка требует введения некоторых новых переменных, как описано в Лобо [1]. Создание переменных t(i) равняйтесь квадратному корню из термина Energy(i).

t(i)=k(i)(x(i)-x(i-1)-l(i))22.

Пусть e будьте модульным вектор-столбцом [01]то x2(i)=eTx(i). Проблема становится

minx,t(igm(i)eTx(i)+t2).               (1)

Теперь рассмотрите t как свободная векторная переменная, не данная предыдущим уравнением для t(i). Включите отношение между x(i) и t(i) в новом наборе конических ограничений

x(i)-x(i-1)-l(i)2k(i)t(i).   (2)

Целевая функция еще не линейна в своих переменных, как требуется для coneprog. Введите новую скалярную переменную y. Заметьте, что неравенство t2y эквивалентно неравенству

[2t1-y]1+y                               . (3)

Теперь проблема состоит в том, чтобы минимизировать

minx,t,y(igm(i)eTx(i)+y)                     (4)

подвергните коническим ограничениям на x(i) и t(i) перечисленный в (2) и дополнительное коническое ограничение (3). Коническое ограничение (3) гарантирует это t2y. Поэтому проблема (4) эквивалентна проблеме (1).

Целевая функция и конические ограничения в проблеме (4) подходят для решения с coneprog.

MATLAB® Formulation

Задайте шесть коэффициентов упругости k, шесть констант длины l, и пять масс m.

k = 40*(1:6);
l = [1 1/2 1 2 1 1/2];
m = [2 1 3 2 1];
g = 9.807;

Задайте переменные оптимизации, соответствующие математическим переменным задачи. Для простоты, устанавливает точки привязки, когда две действующих массы указывают x(1,:) и x(end,:). Эта формулировка позволяет каждую пружину простираться между двумя массами.

nmass = length(m) + 2;
% k and l have nmass-1 elements
% m has nmass - 2 elements
x = optimvar('x',[nmass,2]);
t = optimvar('t',nmass-1,'LowerBound',0);
y = optimvar('y','LowerBound',0);

Создайте задачу оптимизации и установите целевую функцию на выражение в (4).

prob = optimproblem;
obj = dot(x(2:(end-1),2),m)*g + y;
prob.Objective = obj;

Создайте конические ограничения, соответствующие выражению (2).

conecons = optimineq(nmass - 1);
for ii = 1:(nmass-1)
    conecons(ii) = norm(x(ii+1,:) - x(ii,:)) - l(ii) <= sqrt(2/k(ii))*t(ii);
end
prob.Constraints.conecons = conecons;

Задайте точки привязки anchor0 и anchorn. Создайте ограничения равенства, указывающие, что две действующих массы конца расположены в точках привязки.

anchor0 = [0 5];
anchorn = [5 4];
anchorcons = optimeq(2,2);
anchorcons(1,:) = x(1,:) == anchor0;
anchorcons(2,:) = x(end,:) == anchorn;
prob.Constraints.anchorcons = anchorcons;

Создайте коническое ограничение, соответствующее выражению (3).

ycone = norm([2*t;(1-y)]) <= 1 + y;
prob.Constraints.ycone = ycone;

Решите задачу

Формулировка задачи завершена. Решите задачу путем вызова solve.

[sol,fval,eflag,output] = solve(prob);
Solving problem using coneprog.
Optimal solution found.

Постройте точки решения и привязки.

plot(sol.x(2:(nmass-1),1),sol.x(2:(nmass-1),2),'ro')
hold on
plot([sol.x(1,1),sol.x(end,1)],[sol.x(1,2),sol.x(end,2)],'ks')
plot(sol.x(:,1),sol.x(:,2),'b--')
legend('Calculated points','Anchor points','Springs','Location',"best")
xlim([sol.x(1,1)-0.5,sol.x(end,1)+0.5])
ylim([min(sol.x(:,2))-0.5,max(sol.x(:,2))+0.5])
hold off

Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type line. These objects represent Calculated points, Anchor points, Springs.

Можно изменить значения параметров mL, и k чтобы видеть, как они влияют на решение. Можно также изменить количество масс; код берет количество масс из данных, которыми вы снабжаете.

Ссылки

[1] Лобо, Мигель Соуза, Lieven Vandenberghe, Стивен Бойд и Эрве Лебре. “Приложения Программирования Конуса Второго порядка”. Линейная алгебра и Ее Приложения 284, № 1-3 (ноябрь 1998): 193–228. https://doi.org/10.1016/S0024-3795(98)10032-0.

Смотрите также

Похожие темы