Уравнения можно решить Используя тулбокс УЧП

Partial Differential Equation Toolbox™ решает скалярные уравнения формы

$m \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} + d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

и уравнения собственного значения формы

$\begin{array}{l} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = λ d u \\ или \\ - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = λ^{2} m u \end{array}$

Для скалярных УЧП существует два варианта граничных условий для каждого ребра или поверхности:

Дирихле — На ребре или поверхности, решение u удовлетворяет уравнению
hu = r,
где h и r могут быть функциями пробела (x, y, и, в 3-D случае, z), решение u, и время. Часто, вы берете h = 1 и устанавливаете r на соответствующее значение.
Обобщенные Неймановы граничные условия — На ребре или поверхности решение u удовлетворяют уравнению
$\vec{n} \cdot (c \nabla u) + q u = g$
$\vec{n}$ исходящий нормальный модуль. q и g являются функциями, определяемыми на ∂ Ω и могут быть функциями x, y, и, в 3-D случае, z, решении u, и, для зависящих от времени уравнений, время.

Тулбокс также решает системы уравнений формы

$m \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} + d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

и системы собственного значения формы

$\begin{array}{l} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = λ d u \\ или \\ - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = λ^{2} m u \end{array}$

Система УЧП с компонентами N является связанными УЧП N с двойными граничными условиями. Скалярные УЧП - те с N = 1, означая всего один УЧП. Системы УЧП обычно означают N > 1. Документация иногда называет системы многомерными УЧП или УЧП с векторным решением u. Во всех случаях системы УЧП имеют одну геометрию и mesh. Это - только N, количество уравнений, которые могут варьироваться.

Коэффициенты m, d, c, a и f могут быть функциями местоположения (x, y, и, в 3-D, z), и, за исключением задач о собственных значениях, они также, могут быть функциями решения u или его градиент. Для задач о собственных значениях коэффициенты не могут зависеть от решения u или его градиент.

Для скалярных уравнений все коэффициенты кроме c являются скаляром. Коэффициент c представляет матрицу 2 на 2 в 2D геометрии или 3х3 матрицу в 3-D геометрии. Для систем уравнений N коэффициентами m, d, и является N-by-N матрицы, f является N-by-1 вектор, и c является тензором 2N-by-2N (2D геометрия) или тензором 3N-by-3N (3-D геометрия). Для значения $c \otimes u$ , см. c Коэффициент для specifyCoefficients.

Когда и m и d является 0, УЧП является стационарным. Когда или m или d являются ненулевыми, проблема является зависящей от времени. Когда любой коэффициент зависит от решения u или его градиент, проблема называется нелинейная.

Для систем УЧП существуют обобщенные версии Дирихле и Неймановых граничных условий:

hu = r представляет матрицу h, умножающую вектор решения u и равняющуюся вектору r.
$n \cdot (c \otimes \nabla u) + q u = g$ . Для 2D систем, обозначения $n \cdot (c \otimes \nabla u)$ означает N-by-1 матрица с (i, 1) - компонент
$\sum_{j = 1}^{N} (\cos (α) c_{i, j, 1, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \cos (α) c_{i, j, 1, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \sin (α) c_{i, j, 2, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \sin (α) c_{i, j, 2, 2} \frac{\partial}{\partial y}) u_{j}$
где исходящий вектор нормали контура $n = (\cos (α), \sin (α))$ .
Для 3-D систем, обозначения $n \cdot (c \otimes \nabla u)$ означает N-by-1 вектор с (i, 1) - компонент
$\begin{array}{l} \sum_{j = 1}^{N} (\sin (φ) \cos (θ) c_{i, j, 1, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \sin (φ) \cos (θ) c_{i, j, 1, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \sin (φ) \cos (θ) c_{i, j, 1, 3} \frac{\partial}{\partial z}) u_{j} \\ + \sum_{j = 1}^{N} (\sin (φ) \sin (θ) c_{i, j, 2, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \sin (φ) \sin (θ) c_{i, j, 2, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \sin (φ) \sin (θ) c_{i, j, 2, 3} \frac{\partial}{\partial z}) u_{j} \\ + \sum_{j = 1}^{N} (\cos (θ) c_{i, j, 3, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \cos (θ) c_{i, j, 3, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \cos (θ) c_{i, j, 3, 3} \frac{\partial}{\partial z}) u_{j} \end{array}$
где исходящий вектор нормали контура $n = (\sin (φ) \cos (θ), \sin (φ) \sin (θ), \cos (φ))$ .
Для каждого ребра или сегмента поверхности, существуют в общей сложности граничные условия N.

Документация

Уравнения можно решить Используя тулбокс УЧП

Похожие темы

Документация Partial Differential Equation Toolbox

Поддержка