c Коэффициент для specifyCoefficients

c Коэффициент для `specifyCoefficients`

Обзор c Коэффициента

Эта тема описывает, как записать коэффициенту c в уравнениях такой как

$m \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} + d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

Тема применяется к рекомендуемому рабочему процессу за включение коэффициентов в вашем использовании модели specifyCoefficients.

Для 2D систем, c тензор с 4N² элементы. Для 3-D систем, c тензор с 9N² элементы. Для определения элементов тензора см. Определение c Элементов Tensor. N является количеством уравнений, смотрите уравнения, которые Можно Решить Используя Тулбокс УЧП.

Записать коэффициенту c для включения в модель PDE через specifyCoefficients, дайте c как любое из следующего:

Если c является постоянным, дайте вектор-столбец, представляющий элементы в тензоре.
Если c не является постоянным, дайте указатель на функцию. Функция должна иметь форму
```
ccoeffunction(location,state)
```
solvepde или solvepdeeig передайте location и state структуры к ccoeffunction. Функция должна возвратить матрицу размера N 1 Nr, где:
- N 1 является длиной вектора, представляющего c коэффициент. Существует несколько возможных значений N 1, подробный в Некоторых c Векторах Может Быть Коротким. Для 2D геометрии, 1 ≤ N 1 ≤ 4N², и для 3-D геометрии, 1 ≤ N 1 ≤ 9N².
- Nr является числом точек в месте, которое передает решатель. Nr равен длине location.x или любой другой location поле . Функция должна оценить c в этих точках.

Определение c Элементов Tensor

Для 2D систем, обозначения $\nabla \cdot (c \otimes \nabla u)$ представляет N-by-1 матрица с (i, 1) - компонент

$\sum_{j = 1}^{N} (\frac{\partial}{\partial x} c_{i, j, 1, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x} c_{i, j, 1, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial y} c_{i, j, 2, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} c_{i, j, 2, 2} \frac{\partial}{\partial y}) u_{j}$

Для 3-D систем, обозначения $\nabla \cdot (c \otimes \nabla u)$ представляет N-by-1 матрица с (i, 1) - компонент

$\begin{array}{l} \sum_{j = 1}^{N} (\frac{\partial}{\partial x} c_{i, j, 1, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x} c_{i, j, 1, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial x} c_{i, j, 1, 3} \frac{\partial}{\partial z}) u_{j} \\ + \sum_{j = 1}^{N} (\frac{\partial}{\partial y} c_{i, j, 2, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} c_{i, j, 2, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial y} c_{i, j, 2, 3} \frac{\partial}{\partial z}) u_{j} \\ + \sum_{j = 1}^{N} (\frac{\partial}{\partial z} c_{i, j, 3, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial z} c_{i, j, 3, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z} c_{i, j, 3, 3} \frac{\partial}{\partial z}) u_{j} \end{array}$

Все представления c коэффициент начинается с “выравнивания” тензора к матрице. Для 2D систем N-by-N-by-2-by-2 тензор сглаживается к матрице 2N-by-2N, где матрицей является логически N-by-N матрица блоков 2 на 2.

$(\begin{matrix} c (1, 1, 1, 1) & c (1, 1, 1, 2) & c (1, 2, 1, 1) & c (1, 2, 1, 2) & \dots & c (1, N, 1, 1) & c (1, N, 1, 2) \\ c (1, 1, 2, 1) & c (1, 1, 2, 2) & c (1, 2, 2, 1) & c (1, 2, 2, 2) & \dots & c (1, N, 2, 1) & c (1, N, 2, 2) \\ c (2, 1, 1, 1) & c (2, 1, 1, 2) & c (2, 2, 1, 1) & c (2, 2, 1, 2) & \dots & c (2, N, 1, 1) & c (2, N, 1, 2) \\ c (2, 1, 2, 1) & c (2, 1, 2, 2) & c (2, 2, 2, 1) & c (2, 2, 2, 2) & \dots & c (2, N, 2, 1) & c (2, N, 2, 2) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ c (N, 1, 1, 1) & c (N, 1, 1, 2) & c (N, 2, 1, 1) & c (N, 2, 1, 2) & \dots & c (N, N, 1, 1) & c (N, N, 1, 2) \\ c (N, 1, 2, 1) & c (N, 1, 2, 2) & c (N, 2, 2, 1) & c (N, 2, 2, 2) & \dots & c (N, N, 2, 1) & c (N, N, 2, 2) \end{matrix})$

Для 3-D систем N-by-N-by-3-by-3 тензор сглаживается к матрице 3N-by-3N, где матрицей является логически N-by-N матрица 3х3 блоков.

$(\begin{matrix} c (1, 1, 1, 1) & c (1, 1, 1, 2) & c (1, 1, 1, 3) & c (1, 2, 1, 1) & c (1, 2, 1, 2) & c (1, 2, 1, 3) & \dots & c (1, N, 1, 1) & c (1, N, 1, 2) & c (1, N, 1, 3) \\ c (1, 1, 2, 1) & c (1, 1, 2, 2) & c (1, 1, 2, 3) & c (1, 2, 2, 1) & c (1, 2, 2, 2) & c (1, 2, 2, 3) & \dots & c (1, N, 2, 1) & c (1, N, 2, 2) & c (1, N, 2, 3) \\ c (1, 1, 3, 1) & c (1, 1, 3, 2) & c (1, 1, 3, 3) & c (1, 2, 3, 1) & c (1, 2, 3, 2) & c (1, 2, 3, 3) & \dots & c (1, N, 3, 1) & c (1, N, 3, 2) & c (1, N, 3, 3) \\ c (2, 1, 1, 1) & c (2, 1, 1, 2) & c (2, 1, 1, 3) & c (2, 2, 1, 1) & c (2, 2, 1, 2) & c (2, 2, 1, 3) & \dots & c (2, N, 1, 1) & c (2, N, 1, 2) & c (2, N, 1, 3) \\ c (2, 1, 2, 1) & c (2, 1, 2, 2) & c (2, 1, 2, 3) & c (2, 2, 2, 1) & c (2, 2, 2, 2) & c (2, 2, 2, 3) & \dots & c (2, N, 2, 1) & c (2, N, 2, 2) & c (2, N, 2, 3) \\ c (2, 1, 3, 1) & c (2, 1, 3, 2) & c (2, 1, 3, 3) & c (2, 2, 3, 1) & c (2, 2, 3, 2) & c (2, 2, 3, 3) & \dots & c (2, N, 3, 1) & c (2, N, 3, 2) & c (2, N, 3, 3) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c (N, 1, 1, 1) & c (N, 1, 1, 2) & c (N, 1, 1, 3) & c (N, 2, 1, 1) & c (N, 2, 1, 2) & c (N, 2, 1, 3) & \dots & c (N, N, 1, 1) & c (N, N, 1, 2) & c (N, N, 1, 3) \\ c (N, 1, 2, 1) & c (N, 1, 2, 2) & c (N, 1, 2, 3) & c (N, 2, 2, 1) & c (N, 2, 2, 2) & c (N, 2, 2, 3) & \dots & c (N, N, 2, 1) & c (N, N, 2, 2) & c (N, N, 2, 3) \\ c (N, 1, 3, 1) & c (N, 1, 3, 2) & c (N, 1, 3, 3) & c (N, 2, 3, 1) & c (N, 2, 3, 2) & c (N, 2, 3, 3) & \dots & c (N, N, 3, 1) & c (N, N, 3, 2) & c (N, N, 3, 3) \end{matrix})$

Эти матрицы далее сглажены в вектор-столбец. Сначала N-by-N матрицы и 3х3 блоков 2 на 2 преобразовывается в "векторы" из и 3х3 блоков 2 на 2. Затем блоки превращены в векторы обычным постолбцовым способом.

Вектор коэффициентов c относится к тензору c можно следующим образом. Для 2D систем,

$(\begin{matrix} c (1) & c (3) & c (4 N + 1) & c (4 N + 3) & \dots & c (4 N (N - 1) + 1) & c (4 N (N - 1) + 3) \\ c (2) & c (4) & c (4 N + 2) & c (4 N + 4) & \dots & c (4 N (N - 1) + 2) & c (4 N (N - 1) + 4) \\ c (5) & c (7) & c (4 N + 5) & c (4 N + 7) & \dots & c (4 N (N - 1) + 5) & c (4 N (N - 1) + 7) \\ c (6) & c (8) & c (4 N + 6) & c (4 N + 8) & \dots & c (4 N (N - 1) + 6) & c (4 N (N - 1) + 8) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ c (4 N - 3) & c (4 N - 1) & c (8 N - 3) & c (8 N - 1) & \dots & c (4 N^{2} - 3) & c (4 N^{2} - 1) \\ c (4 N - 2) & c (4 N) & c (8 N - 2) & c (8 N) & \dots & c (4 N^{2} - 2) & c (4 N^{2}) \end{matrix})$

Коэффициентом c (i, j, k, l) является последовательно (4N (j –1) + 4i + 2l + k – 6) векторного c.

Для 3-D систем,

$(\begin{matrix} c (1) & c (4) & c (7) & c (9 N + 1) & c (9 N + 4) & c (9 N + 7) & \dots & c (9 N (N - 1) + 1) & c (9 N (N - 1) + 4) & c (9 N (N - 1) + 7) \\ c (2) & c (5) & c (8) & c (9 N + 2) & c (9 N + 5) & c (9 N + 8) & \dots & c (9 N (N - 1) + 2) & c (9 N (N - 1) + 5) & c (9 N (N - 1) + 8) \\ c (3) & c (6) & c (9) & c (9 N + 3) & c (9 N + 6) & c (9 N + 9) & \dots & c (9 N (N - 1) + 3) & c (9 N (N - 1) + 6) & c (9 N (N - 1) + 9) \\ c (10) & c (13) & c (16) & c (9 N + 10) & c (9 N + 13) & c (9 N + 16) & \dots & c (9 N (N - 1) + 10) & c (9 N (N - 1) + 13) & c (9 N (N - 1) + 16) \\ c (11) & c (14) & c (17) & c (9 N + 11) & c (9 N + 14) & c (9 N + 17) & \dots & c (9 N (N - 1) + 11) & c (9 N (N - 1) + 14) & c (9 N (N - 1) + 17) \\ c (12) & c (15) & c (18) & c (9 N + 12) & c (9 N + 15) & c (9 N + 18) & \dots & c (9 N (N - 1) + 12) & c (9 N (N - 1) + 15) & c (9 N (N - 1) + 18) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c (9 N - 8) & c (9 N - 5) & c (9 N - 2) & c (18 N - 8) & c (18 N - 5) & c (18 N - 2) & \dots & c (9 N^{2} - 8) & c (9 N^{2} - 5) & c (9 N^{2} - 2) \\ c (9 N - 7) & c (9 N - 4) & c (9 N - 1) & c (18 N - 7) & c (18 N - 4) & c (18 N - 1) & \dots & c (9 N^{2} - 7) & c (9 N^{2} - 4) & c (9 N^{2} - 1) \\ c (9 N - 6) & c (9 N - 3) & c (9 N) & c (18 N - 6) & c (18 N - 3) & c (18 N) & \dots & c (9 N^{2} - 6) & c (9 N^{2} - 3) & c (9 N^{2}) \end{matrix})$

Коэффициентом c (i, j, k, l) является последовательно (9N (j –1) + 9i + 3l + k – 12) векторного c.

Некоторые c Векторы Могут Быть Короткими

Часто, ваш тензор c имеет структуру, такой как симметричную или диагональ блока. Во многих случаях можно представлять c использование меньшего вектора, чем один с 4N² компоненты для 2D или 9N² компоненты для 3-D. Следующие разделы дают возможности.

2D Системы
3-D Системы

2D Системы

Скаляр c, 2D Системы
Двухэлементный Вектор-столбец c, 2D Системы
Трехэлементный Вектор-столбец c, 2D Системы
Четырехэлементный Вектор-столбец c, 2D Системы
Вектор-столбец N-элемента c, 2D Системы
Вектор-столбец 2N-элемента c, 2D Системы
Вектор-столбец 3N-элемента c, 2D Системы
Вектор-столбец 4N-элемента c, 2D Системы
2 Н (2N+1)/2-Element Вектор-столбец c, 2D Системы
4 Н²- Вектор-столбец элемента c, 2D Системы

Скаляр c, 2D Системы. Программное обеспечение интерпретирует скалярный c как диагональную матрицу, с c (i, i, 1,1) и c (i, i, 2,2) равный скаляру и всем другим записям 0.

$(\begin{matrix} c & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c \end{matrix})$

Двухэлементный Вектор-столбец c, 2D Системы. Программное обеспечение интерпретирует двухэлементный вектор-столбец c как диагональная матрица, с c (i, i, 1,1) и c (i, i, 2,2) как эти две записи и все другие записи 0.

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & c (2) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (1) & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (2) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c (2) \end{matrix})$

Трехэлементный Вектор-столбец c, 2D Системы. Программное обеспечение интерпретирует трехэлементный вектор-столбец c как симметричная матрица диагонали блока, с c (i, i, 1,1) = c (1), c (i, i, 2,2) = c (3), и c (i, i, 1,2) = c (i, i, 2,1) = c (2).

$(\begin{matrix} c (1) & c (2) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ c (2) & c (3) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (1) & c (2) & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (2) & c (3) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (1) & c (2) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (2) & c (3) \end{matrix})$

Четырехэлементный Вектор-столбец c, 2D Системы. Программное обеспечение интерпретирует четырехэлементный вектор-столбец c как матрица диагонали блока.

$(\begin{matrix} c (1) & c (3) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ c (2) & c (4) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (1) & c (3) & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (2) & c (4) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (1) & c (3) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (2) & c (4) \end{matrix})$

Вектор-столбец N-элемента c, 2D Системы. Программное обеспечение интерпретирует N - вектор-столбец элемента c как диагональная матрица.

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & c (1) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (2) & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (2) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (N) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c (N) \end{matrix})$

Внимание

Если N = 2, 3, или 4, 2-, 3-, или форма вектор-столбца с 4 элементами более приоритетен по сравнению с N - форма элемента. Например, если N = 3, и у вас есть матрица c формы

$(\begin{matrix} c 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c 3 \end{matrix})$

вы не можете использовать N - форма элемента c. Вместо этого необходимо использовать форму 2N-элемента. Если вы даете c как векторный [c1;c2;c3], программное обеспечение интерпретирует c как форма с 3 элементами:

$(\begin{matrix} c 1 & c 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ c 2 & c 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c 1 & c 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c 2 & c 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c 1 & c 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c 2 & c 3 \end{matrix})$

Вместо этого используйте форму 2N-элемента [c1;c1;c2;c2;c3;c3].

Вектор-столбец 2N-элемента c, 2D Системы. Программное обеспечение интерпретирует вектор-столбец 2N-элемента c как диагональная матрица.

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & c (2) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (3) & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (4) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (2 N - 1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c (2 N) \end{matrix})$

Внимание

Если N = 2, форма с 4 элементами более приоритетна по сравнению с формой 2N-элемента. Например, если ваша матрица c

$(\begin{matrix} c 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c 4 \end{matrix})$

вы не можете дать c как [c1;c2;c3;c4], потому что программное обеспечение интерпретирует этот вектор как форму с 4 элементами

$(\begin{matrix} c 1 & c 3 & 0 & 0 \\ c 2 & c 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c 1 & c 3 \\ 0 & 0 & c 2 & c 4 \end{matrix})$

Вместо этого используйте форму 3N-элемента [c1;0;c2;c3;0;c4] или 4N-элемент формирует [c1;0;0;c2;c3;0;0;c4].

Вектор-столбец 3N-элемента c, 2D Системы. Программное обеспечение интерпретирует вектор-столбец 3N-элемента c как симметричная матрица диагонали блока.

$(\begin{matrix} c (1) & c (2) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ c (2) & c (3) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (4) & c (5) & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (5) & c (6) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (3 N - 2) & c (3 N - 1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (3 N - 1) & c (3 N) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l) последовательно (3i + k + l – 4) векторного c.

Вектор-столбец 4N-элемента c, 2D Системы. Программное обеспечение интерпретирует вектор-столбец 4N-элемента c как матрица диагонали блока.

$(\begin{matrix} c (1) & c (3) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ c (2) & c (4) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (5) & c (7) & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (6) & c (8) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (4 N - 3) & c (4 N - 1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (4 N - 2) & c (4 N) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l) последовательно (4i + 2l + k – 6) векторного c.

2 Н (2N+1)/2-Element Вектор-столбец c, 2D Системы. Программное обеспечение интерпретирует 2N (2N+1)/2-element вектор-столбец c как симметрическая матрица. В следующей схеме, • означает, что запись симметрична.

$(\begin{matrix} c (1) & c (2) & c (4) & c (6) & \dots & c ((N - 1) (2 N - 1) + 1) & c ((N - 1) (2 N - 1) + 3) \\ • & c (3) & c (5) & c (7) & \dots & c ((N - 1) (2 N - 1) + 2) & c ((N - 1) (2 N - 1) + 4) \\ • & • & c (8) & c (9) & \dots & c ((N - 1) (2 N - 1) + 5) & c ((N - 1) (2 N - 1) + 7) \\ • & • & • & c (10) & \dots & c ((N - 1) (2 N - 1) + 6) & c ((N - 1) (2 N - 1) + 8) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ • & • & • & • & \dots & c (N (2 N + 1) - 2) & c (N (2 N + 1) - 1) \\ • & • & • & • & \dots & • & c (N (2 N + 1)) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l), для i < j, последовательно (2j² – 3j + 4i + 2l + k – 5) векторного c. Для i = j, коэффициент c (i, j, k, l) последовательно (2i² + i + l + k – 4) векторного c.

4 Н²- Вектор-столбец элемента c, 2D Системы. Программное обеспечение интерпретирует 4N²- вектор-столбец элемента c как матрица.

Коэффициентом c (i, j, k, l) является последовательно (4N (j –1) + 4i + 2l + k – 6) векторного c.

3-D Системы

Скаляр c, 3-D Системы
Трехэлементный Вектор-столбец c, 3-D Системы
Вектор-столбец с шестью элементами c, 3-D Системы
Вектор-столбец с девятью элементами c, 3-D Системы
Вектор-столбец N-элемента c, 3-D Системы
Вектор-столбец 3N-элемента c, 3-D Системы
Вектор-столбец 6N-элемента c, 3-D Системы
Вектор-столбец 9N-элемента c, 3-D Системы
3 Н (3N+1)/2-Element Вектор-столбец c, 3-D Системы
9 Н²- Вектор-столбец элемента c, 3-D Системы

Скаляр c, 3-D Системы. Программное обеспечение интерпретирует скалярный c как диагональную матрицу, с c (i, i, 1,1), c (i, i, 2,2), и c (i, i, 3,3) равный скаляру и всем другим записям 0.

$(\begin{matrix} c & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & c \end{matrix})$

Трехэлементный Вектор-столбец c, 3-D Системы. Программное обеспечение интерпретирует трехэлементный вектор-столбец c как диагональная матрица, с c (i, i, 1,1), c (i, i, 2,2), и c (i, i, 3,3) как эти три записи и все другие записи 0.

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (3) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (1) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c (2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & c (3) \end{matrix})$

Вектор-столбец с шестью элементами c, 3-D Системы. Программное обеспечение интерпретирует вектор-столбец с шестью элементами c как симметричная матрица диагонали блока, с

c (i, i, 1,1) = c (1)
c (i, i, 2,2) = c (3)
c (i, i, 1,2) = c (i, i, 2,1) = c (2)
c (i, i, 1,3) = c (i, i, 3,1) = c (4)
c (i, i, 2,3) = c (i, i, 3,2) = c (5)
c (i, i, 3,3) = c (6).

В следующей схеме, • означает, что запись симметрична.

$(\begin{matrix} c (1) & c (2) & c (4) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ • & c (3) & c (5) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ • & • & c (6) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (1) & c (2) & c (4) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & • & c (3) & c (5) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & • & • & c (6) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (1) & c (2) & c (4) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & • & c (3) & c (5) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & • & • & c (6) \end{matrix})$

Вектор-столбец с девятью элементами c, 3-D Системы. Программное обеспечение интерпретирует вектор-столбец с девятью элементами c как матрица диагонали блока.

$(\begin{matrix} c (1) & c (4) & c (7) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ c (2) & c (5) & c (8) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ c (3) & c (6) & c (9) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (1) & c (4) & c (7) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (2) & c (5) & c (8) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (3) & c (6) & c (9) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (1) & c (4) & c (7) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (2) & c (5) & c (8) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (3) & c (6) & c (3) \end{matrix})$

Вектор-столбец N-элемента c, 3-D Системы. Программное обеспечение интерпретирует N - вектор-столбец элемента c как диагональная матрица.

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (1) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (N) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c (N) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & c (N) \end{matrix})$

Внимание

Если N = 3, 6, или 9, 3-, 6-, или форма вектор-столбца с 9 элементами более приоритетен по сравнению с N - форма элемента. Например, если N = 3, и у вас есть матрица c формы

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) \end{matrix})$

вы не можете использовать N - форма элемента c. Если вы даете c как векторный [c1;c2;c3], программное обеспечение интерпретирует c как форма с 3 элементами:

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (3) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) \end{matrix})$

Вместо этого используйте одну из следующих форм:

Форма 6N-элемента — [c1;0;c1;0;0;c1;c2;0;c2;0;0;c2;c3;0;c3;0;0;c3]
Форма 9N-элемента — [c1;0;0;0;c1;0;0;0;c1;c2;0;0;0;c2;0;0;0;c2;c3;0;0;0;c3;0;0;0;c3]

Вектор-столбец 3N-элемента c, 3-D Системы. Программное обеспечение интерпретирует вектор-столбец 3N-элемента c как диагональная матрица.

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (3) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (4) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c (5) & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (6) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (3 N - 2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c (3 N - 1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & c (3 N) \end{matrix})$

Внимание

Если N = 3, форма с 9 элементами более приоритетна по сравнению с формой 3N-элемента. Например, если ваша матрица c

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (3) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (4) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c (5) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (6) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (7) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (8) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (9) \end{matrix})$

вы не можете дать c как [c1;c2;c3;c4;c5;c6;c7;c8;c9], потому что программное обеспечение интерпретирует этот вектор как форму с 9 элементами

$(\begin{matrix} c (1) & c (4) & c (7) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ c (2) & c (5) & c (8) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ c (3) & c (6) & c (9) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (1) & c (4) & c (7) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (2) & c (5) & c (8) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (3) & c (6) & c (9) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (1) & c (4) & c (7) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & c (5) & c (8) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) & c (6) & c (3) \end{matrix})$

Вместо этого используйте одну из следующих форм:

Форма 6N-элемента — [c1;0;c2;0;0;c3;c4;0;c5;0;0;c6;c7;0;c8;0;0;c9]
Форма 9N-элемента — [c1;0;0;0;c2;0;0;0;c3;c4;0;0;0;c5;0;0;0;c6;c7;0;0;0;c8;0;0;0;c9]

Вектор-столбец 6N-элемента c, 3-D Системы. Программное обеспечение интерпретирует вектор-столбец 6N-элемента c как симметричная матрица диагонали блока. В следующей схеме, • означает, что запись симметрична.

$(\begin{matrix} c (1) & c (2) & c (4) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ • & c (3) & c (5) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ • & • & c (6) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (7) & c (8) & c (10) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & • & c (9) & c (11) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & • & • & c (12) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (6 N - 5) & c (6 N - 4) & c (6 N - 2) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & • & c (6 N - 3) & c (6 N - 1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & • & • & c (6 N) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l) последовательно (6i + k + 1/2l (l –1) – 6) векторного c.

Вектор-столбец 9N-элемента c, 3-D Системы. Программное обеспечение интерпретирует вектор-столбец 9N-элемента c как матрица диагонали блока.

$(\begin{matrix} c (1) & c (4) & c (7) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ c (2) & c (5) & c (8) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ c (3) & c (6) & c (9) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (10) & c (13) & c (16) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (11) & c (14) & c (17) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (12) & c (15) & c (18) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (9 N - 8) & c (9 N - 5) & c (9 N - 2) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (9 N - 7) & c (9 N - 4) & c (9 N - 1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (9 N - 6) & c (9 N - 3) & c (9 N) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l) последовательно (9i + 3l + k – 12) векторного c.

3 Н (3N+1)/2-Element Вектор-столбец c, 3-D Системы. Программное обеспечение интерпретирует 3N (3N+1)/2-element вектор-столбец c как симметрическая матрица. В следующей схеме, • означает, что запись симметрична.

$(\begin{matrix} c (1) & c (2) & c (4) & c (7) & c (10) & c (13) & \dots & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 1 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 4 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 7 \\ • & c (3) & c (5) & c (8) & c (11) & c (14) & \dots & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 2 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 5 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 8 \\ • & • & c (6) & c (9) & c (12) & c (15) & \dots & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 3 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 6 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 9 \\ • & • & • & c (16) & c (17) & c (19) & \dots & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 10 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 13 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 16 \\ • & • & • & • & c (18) & c (20) & \dots & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 11 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 14 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 17 \\ • & • & • & • & • & c (21) & \dots & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 12 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 15 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 18 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ • & • & • & • & • & • & \dots & c (3 N (3 N + 1) / 2 - 5) & c (3 N (3 N + 1) / 2 - 4) & c (3 N (3 N + 1) / 2 - 2) \\ • & • & • & • & • & • & \dots & • & c (3 N (3 N + 1) / 2 - 3) & c (3 N (3 N + 1) / 2 - 1) \\ • & • & • & • & • & • & \dots & • & • & c (3 N (3 N + 1) / 2) \end{matrix})$

Коэффициентом c (i, j, k, l), для i < j, является последовательно (9 (j –1) (j –2)/2 + 6 (j –1) + 9i + 3l + k – 12) векторного c. Для i = j, коэффициент c (i, j, k, l) является последовательно (9 (i –1) (i –2)/2 + 15 (i –1) + 1/2l (l –1) + k) векторного c.

9 Н²- Вектор-столбец элемента c, 3-D Системы. Программное обеспечение интерпретирует 9N²- вектор-столбец элемента c как матрица.

Коэффициентом c (i, j, k, l) является последовательно (9N (j –1) + 9i + 3l + k – 12) векторного c.

Функциональная форма

Если ваш c коэффициент не является постоянным, представляйте его в зависимости от формы

ccoeff = ccoeffunction(location,state)

Передайте коэффициент specifyCoefficients как указатель на функцию, такой как

specifyCoefficients(model,'c',@ccoeffunction,...)

solvepde или solvepdeeig вычислите и заполните данные в location и state массивы структур и передача эти данные к вашей функции. Можно задать функцию так, чтобы ее выход зависел от этих данных. Можно использовать любые имена вместо location и state, но функция должна иметь точно два аргумента. Чтобы использовать дополнительные аргументы в вашей функции, перенесите свою функцию (который берет дополнительные аргументы) с анонимной функцией, которая берет только location и state аргументы. Например:

ccoeff = ...
@(location,state) myfunWithAdditionalArgs(location,state,arg1,arg2...)
specifyCoefficients(model,'c',ccoeff,...

location структура с этими полями:
- location.x
- location.y
- location.z
- location.subdomain
Поля xY, и z представляйте x - y - и z - координаты точек, для которых ваша функция вычисляет содействующие значения. subdomain поле представляет числа субдомена, которые в настоящее время применяются только к 2D моделям. Поля местоположения являются векторами-строками.
state структура с этими полями:
- state.u
- state.ux
- state.uy
- state.uz
- state.time
state.u поле представляет текущее значение решения u. state.ux, state.uy, и state.uz поля являются оценками частных производных решения (∂u / ∂ x, ∂u / ∂ y и ∂u / ∂ z) в соответствующих точках структуры местоположения. Решением и оценками градиента является N-by-Nr матрицы. state.time поле является скалярным временем представления для зависящих от времени моделей.

Ваша функция должна возвратить матрицу размера N 1 Nr, где:

N 1 является количеством коэффициентов, которые вы передаете решателю. Существует несколько возможных значений N 1, подробный в Некоторых c Векторах Может Быть Коротким. Для 2D геометрии, 1 ≤ N 1 ≤ 4N², и для 3-D геометрии, 1 ≤ N 1 ≤ 9N².
Nr является числом точек в месте, которое передает решатель. Nr равен длине location.x или любой другой location поле . Функция должна оценить c в этих точках.

Например, предположите N = 3, и у вас есть 2D геометрия. Предположим свой c матрица имеет форму

$c = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 8 \\ 1 + x^{2} + y^{2} & \frac{u (2)}{1 + u {(1)}^{2} + u {(3)}^{2}} \\ \frac{u (2)}{1 + u {(1)}^{2} + u {(3)}^{2}} & 1 + x^{2} + y^{2} \\ s_{1} (x, y) & - 1 \\ - 1 & s_{1} (x, y) \end{matrix}]$

где не включенными в список элементами является нуль. Здесь s ₁ (x, y) 5 в субдомене 1 и 10 в субдомене 2.

Этот c симметричная, блочно диагональная матрица с различными коэффициентами в каждом блоке. Таким образом, естественно представлять c как Вектор-столбец 3N-элемента c, 2D Системы:

Для той формы следующая функция является соответствующей.

function cmatrix = ccoeffunction(location,state)

n1 = 9;
nr = numel(location.x);
cmatrix = zeros(n1,nr);
cmatrix(1,:) = ones(1,nr);
cmatrix(2,:) = 2*ones(1,nr);
cmatrix(3,:) = 8*ones(1,nr);
cmatrix(4,:) = 1+location.x.^2 + location.y.^2;
cmatrix(5,:) = state.u(2,:)./(1 + state.u(1,:).^2 + state.u(3,:).^2);
cmatrix(6,:) = cmatrix(4,:);
cmatrix(7,:) = 5*location.subdomain;
cmatrix(8,:) = -ones(1,nr);
cmatrix(9,:) = cmatrix(7,:);

Включать эту функцию как ваш c коэффициент, передайте указатель на функцию @ccoeffunction:

specifyCoefficients(model,'c',@ccoeffunction,...

Документация