pmtm

Оценка спектральной плотности мощности методом multitaper

Описание

пример

pxx = pmtm(x) возвращает оценку спектральной плотности мощности (PSD) мультизаострения Томсона, pxx, из входного сигнала x использование Дискретных Вытянутых Сфероидальных Последовательностей (Slepian) как заострения.

пример

pxx = pmtm(x,'Tapers',tapertype) задает тип заострений, чтобы использовать при вычислении мультизаострения оценка PSD. Можно задать 'Tapers', tapertype пара "имя-значение" где угодно после x в вызове функции.

пример

pxx = pmtm(x,nw) использует продукт полуполосы пропускания времени nw управлять разрешением частоты при вычислении оценочного использования PSD заострения Slepian.

пример

pxx = pmtm(x,m,'Tapers','sine') задает количество заострений или весов усреднения, чтобы применяться при вычислении оценки PSD с помощью Заострений Синуса.

пример

pxx = pmtm(___,nfft) использование nfft дискретное преобразование Фурье (ДПФ) указывает в сочетании с любым из предыдущих синтаксисов. Если nfft больше длины сигнала, x дополнен нулем к длине nfft. Если nfft меньше длины сигнала, сигнал перенесен nfft по модулю.

[pxx,w] = pmtm(___) возвращает вектор с нормированными частотами в который pxx вычисляется.

пример

[pxx,f] = pmtm(___,fs) возвращает вектор частоты, f, в циклах в единицу времени. fs должен следовать за x, nw (или m для заострений синуса), и nfft в вызове функции. Чтобы ввести частоту дискретизации и все еще использовать значения по умолчанию предыдущих аргументов, задайте эти аргументы как пустые, [].

[pxx,w] = pmtm(x,nw,w) возвращает мультизаострение оценка PSD, вычисленная с помощью последовательностей Slepian на нормированных частотах, заданных в w. Векторный w должен содержать по крайней мере два элемента.

пример

[pxx,w] = pmtm(x,m,'Tapers','sine',w) возвращает мультизаострение оценка PSD, вычисленная с помощью заострений синуса на нормированных частотах, заданных в w. Векторный w должен содержать по крайней мере два элемента.

пример

[pxx,f] = pmtm(___,f,fs) вычисляет мультизаострение оценка PSD на частотах, заданных в f. Векторный f должен содержать по крайней мере два элемента в тех же модулях как частота дискретизации fs.

пример

[___] = pmtm(___,freqrange) возвращает мультизаострение оценка PSD по частотному диапазону, заданному freqrange.

пример

[___,pxxc] = pmtm(___,'ConfidenceLevel',probability) возвращает probability × 100% доверительных интервалов для PSD оценивают в pxxc.

пример

[___] = pmtm(___,'DropLastTaper',dropflag) задает ли pmtm пропускает последнее заострение Slepian при вычислении мультизаострения оценка PSD.

пример

[___] = pmtm(___,method) комбинирует индивидуума заостренные оценки PSD с помощью метода, заданного в method. Этот синтаксис применяется только к заострениям Slepian.

пример

[___] = pmtm(x,e,v,___) использует заострения Slepian в e и собственные значения в v вычислить PSD. Использование dpss получить e и v.

пример

[___] = pmtm(x,dpss_params,___) использует массив ячеек dpss_params передать входные параметры dpss. Этот синтаксис применяется только к заострениям Slepian.

пример

pmtm(___) без выходных аргументов строит мультизаострение оценка PSD в окне текущей фигуры.

Примеры

свернуть все

Получите мультизаострение оценка PSD входного сигнала, состоящего из синусоиды дискретного времени с угловой частотой π/4 рад/отсчет с дополнением N (0,1) белый шум.

Создайте синусоиду с угловой частотой π/4 рад/отсчет с дополнением N (0,1) белый шум. Сигнал является 320 выборками в длине. Получите мультизаострение оценка PSD с помощью продукта полуполосы пропускания времени по умолчанию 4 и длина ДПФ. Количество по умолчанию точек ДПФ 512. Поскольку сигнал с действительным знаком, оценка PSD является односторонней и в оценке PSD существуют точки 512/2+1.

n = 0:319;
x = cos(pi/4*n)+randn(size(n));
pxx = pmtm(x);

Постройте мультизаострение оценка PSD.

pmtm(x)

Figure contains an axes object. The axes object with title Thomson Multitaper Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Сгенерируйте 2 048 выборок двухканального сигнала, встроенного в дополнение N (0,1) белый Гауссов шум.

  • Первый канал состоит из двух синусоид с нормированными частотами π/3 и π/5 рад/отсчета. Первая синусоида имеет дважды амплитуду второго.

  • Второй канал имеет нормированную частоту π/4 рад/отсчета.

Используйте метод мультизаострения, чтобы оценить PSD сигнала на интервале с 1024 выборками от 0.1π рад/отсчет к 0.4π рад/отсчет. Используйте 13 заострений синуса, взвешенных одинаково.

n = (0:2047)';

x = [sin(pi./[3 5].*n)*[2 1]' sin(pi/4*n)] + randn(length(n),2);

w = linspace(0.1,0.4,1024);

ntp = 13;
pmtm(x,ntp,'Tapers','sine',w*pi)

Figure contains an axes object. The axes object with title Thomson Multitaper Power Spectral Density Estimate contains 2 objects of type line.

Повторите расчет, но теперь взвесьте 13 заострений в линейном порядке убывания. Можно поместить 'Tapers','sine' пара "имя-значение" где угодно после x в вызове функции.

pmtm(x,(ntp:-1:1)/sum(1:ntp),w*pi,'Tapers','sine')

Figure contains an axes object. The axes object with title Thomson Multitaper Power Spectral Density Estimate contains 2 objects of type line.

Повторите расчет, но теперь используйте 13 заострений Slepian и задайте продукт полуполосы пропускания времени 7,5.

nw = 7.5;

pmtm(x,{nw,ntp},w*pi)

Figure contains an axes object. The axes object with title Thomson Multitaper Power Spectral Density Estimate contains 2 objects of type line.

Повторите расчет, но теперь задайте частоту дискретизации 2 кГц.

fs = 2e3;

pmtm(x,{nw,ntp},w*(fs/2),fs)

Figure contains an axes object. The axes object with title Thomson Multitaper Power Spectral Density Estimate contains 2 objects of type line.

Получите мультизаострение оценка PSD с продуктом полуполосы пропускания требуемого времени.

Создайте синусоиду с угловой частотой π/4 рад/отсчет с дополнением N (0,1) белый шум. Сигнал является 320 выборками в длине. Получите мультизаострение оценка PSD с продуктом полуполосы пропускания времени 2,5. Полоса пропускания разрешения [-2.5π/320,2.5π/320] рад/отсчет. Количество по умолчанию точек ДПФ 512. Поскольку сигнал с действительным знаком, оценка PSD является односторонней и в оценке PSD существуют точки 512/2+1.

n = 0:319;
x = cos(pi/4*n)+randn(size(n));
pmtm(x,2.5)

Figure contains an axes object. The axes object with title Thomson Multitaper Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Получите мультизаострение оценка PSD входного сигнала, состоящего из синусоиды дискретного времени с угловой частотой π/4 рад/отсчет с дополнением N (0,1) белый шум. Используйте длину ДПФ, равную длине сигнала.

Создайте синусоиду с угловой частотой π/4 рад/отсчет с дополнением N (0,1) белый шум. Сигнал является 320 выборками в длине. Получите мультизаострение оценка PSD с продуктом полуполосы пропускания времени 3 и длина ДПФ, равная длине сигнала. Поскольку сигнал с действительным знаком, односторонняя оценка PSD возвращена по умолчанию с длиной, равной 320/2+1.

n = 0:319;
x = cos(pi/4*n)+randn(size(n));
pmtm(x,3,length(x))

Figure contains an axes object. The axes object with title Thomson Multitaper Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Получите мультизаострение оценка PSD сигнала, произведенного на уровне 1 кГц. Сигнал является синусоидой на 100 Гц в дополнении N (0,1) белый шум. Длительность сигнала составляет 2 с. Используйте продукт полуполосы пропускания времени 3 и длина ДПФ, равная длине сигнала.

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2-1/fs;
x = cos(2*pi*100*t)+randn(size(t));
[pxx,f] = pmtm(x,3,length(x),fs);

Постройте мультизаострение оценка PSD.

pmtm(x,3,length(x),fs)

Figure contains an axes object. The axes object with title Thomson Multitaper Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Получите мультизаострение оценка PSD, где индивидуум заострился, прямым спектральным оценкам дают равный вес в среднем значении.

Получите мультизаострение оценка PSD сигнала, произведенного на уровне 1 кГц. Сигнал является синусоидой на 100 Гц в дополнении N (0,1) белый шум. Длительность сигнала составляет 2 с. Используйте продукт полуполосы пропускания времени 3 и длина ДПФ, равная длине сигнала. Используйте 'unity' опция, чтобы дать равный вес в среднем значении каждому индивидууму заострилась прямые спектральные оценки.

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2-1/fs;
x = cos(2*pi*100*t)+randn(size(t));
[pxx,f] = pmtm(x,3,length(x),fs,'unity');

Постройте мультизаострение оценка PSD.

pmtm(x,3,length(x),fs,'unity')

Figure contains an axes object. The axes object with title Thomson Multitaper Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Этот пример исследует концентрации частотного диапазона последовательностей DPSS. Пример производит мультизаострение оценка PSD входного сигнала путем предварительного вычисления последовательностей Slepian и выбора только тех больше чем с 99% их энергии, сконцентрированной в полосе пропускания разрешения.

Сигнал является синусоидой на 100 Гц в дополнении N (0,1) белый шум. Длительность сигнала составляет 2 секунды.

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2-1/fs;
x = cos(2*pi*100*t)+randn(size(t));

Установите продукт полуполосы пропускания времени на 3,5. Для длины сигнала 2 000 выборок и интервала выборки 0,001 секунд, это приводит к полосе пропускания разрешения [–1.75,1.75] Гц. Вычислите первые 10 последовательностей Slepian и исследуйте их концентрации частоты в заданной полосе пропускания разрешения.

[e,v] = dpss(length(x),3.5,10);
lv = length(v);

stem(1:lv,v,'filled')
ylim([0 1.2])
title('Proportion of Energy in [-w,w] of k-th Slepian Sequence')

Figure contains an axes object. The axes object with title Proportion of Energy in [-w,w] of k-th Slepian Sequence contains an object of type stem.

Определите количество последовательностей Slepian с энергетическими концентрациями, больше, чем 99%. Используя выбранные последовательности DPSS, получите мультизаострение оценка PSD. Установите 'DropLastTaper' к false использовать все выбранные заострения.

hold on
plot([1 lv],0.99*[1 1])
hold off

Figure contains an axes object. The axes object with title Proportion of Energy in [-w,w] of k-th Slepian Sequence contains 2 objects of type stem, line.

idx = find(v>0.99,1,'last')
idx = 5
[pxx,f] = pmtm(x,e(:,1:idx),v(1:idx),length(x),fs,'DropLastTaper',false);

Постройте мультизаострение оценка PSD.

pmtm(x,e(:,1:idx),v(1:idx),length(x),fs,'DropLastTaper',false)

Figure contains an axes object. The axes object with title Thomson Multitaper Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Получите мультизаострение оценка PSD синусоиды на 100 Гц в дополнении N (0,1) шум. Данные производятся на уровне 1 кГц. Используйте 'centered' опция, чтобы получить сосредоточенный DC PSD.

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2-1/fs;
x = cos(2*pi*100*t)+randn(size(t));
[pxx,f] = pmtm(x,3.5,length(x),fs,'centered');

Постройте сосредоточенную DC оценку PSD.

pmtm(x,3.5,length(x),fs,'centered')

Figure contains an axes object. The axes object with title Power Spectral Density contains an object of type line.

Следующий пример иллюстрирует использование доверительных границ с мультизаострением оценка PSD. В то время как не необходимое условие для статистического значения, частот в мультизаострении PSD оценивают, где более низкая доверительная граница превышает верхнюю доверительную границу для окружения оценок PSD, ясно указывают на значительные колебания во временных рядах.

Создайте сигнал, состоящий из суперпозиции синусоид на 150 Гц и на 100 Гц в аддитивном белом N (0,1) шум. Амплитуда этих двух синусоид равняется 1. Частота дискретизации составляет 1 кГц. Сигнал составляет 2 с в длительности.

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2-1/fs;
x = cos(2*pi*100*t)+cos(2*pi*150*t)+randn(size(t));

Получите мультизаострение оценка PSD с 95%-доверительными-границами. Постройте оценку PSD наряду с доверительным интервалом и увеличьте масштаб необходимой области частоты около 100 и 150 Гц.

[pxx,f,pxxc] = pmtm(x,3.5,length(x),fs,'ConfidenceLevel',0.95);

plot(f,10*log10(pxx))
hold on
plot(f,10*log10(pxxc),'r-.')
xlim([85 175])
xlabel('Hz')
ylabel('dB')
title('Multitaper PSD Estimate with 95%-Confidence Bounds')

Figure contains an axes object. The axes object with title Multitaper PSD Estimate with 95%-Confidence Bounds contains 3 objects of type line.

Более низкая доверительная граница в мгновенной близости 100 и 150 Гц значительно выше верхней доверительной границы вне близости 100 и 150 Гц.

Сгенерируйте 1 024 выборки многоканального сигнала, состоящего из трех синусоид в дополнении N(0,1) белый Гауссов шум. Частоты синусоид π/2, π/3, и π/4 рад/отсчет. Оцените PSD сигнала с помощью метода мультизаострения Томсона и постройте его.

N = 1024;
n = 0:N-1;

w = pi./[2;3;4];
x = cos(w*n)' + randn(length(n),3);

pmtm(x)

Figure contains an axes object. The axes object with title Thomson Multitaper Power Spectral Density Estimate contains 3 objects of type line.

Входные параметры

свернуть все

Входной сигнал в виде строки или вектор-столбца, или как матрица. Если x матрица, затем ее столбцы обработаны как независимые каналы.

Пример: cos(pi/4*(0:159))+randn(1,160) одноканальный сигнал вектора-строки.

Пример: cos(pi./[4;2]*(0:159))'+randn(160,2) двухканальный сигнал.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да

Тип заострения в виде 'slepian' или 'sine'.

Можно задать 'Tapers', tapertype пара "имя-значение" где угодно после x в вызове функции.

Типы данных: char | string

Продукт полуполосы пропускания времени в виде положительной скалярной величины. pmtm использование 2 × nw – 1 Slepian заостряется в оценке PSD. Типичный выбор для nw 2, 5/2, 3, 7/2, или 4.

В мультизаострении спектральная оценка пользователь задает полосу пропускания разрешения оценки мультизаострения [–W, W] где W = k/NΔt для некоторого маленького k> 1. Эквивалентно, W является некоторым маленьким кратным разрешение частоты ДПФ. Продуктом полуполосы пропускания времени является продукт полуполосы пропускания разрешения и количества отсчетов во входном сигнале, N. Количество Slepian заостряется, чьи преобразования Фурье хорошо сконцентрированы в [–W, W] (собственные значения близко к единице) 2NW – 1.

Номер заострения синуса или усреднение весов в виде целочисленного скаляра или вектора.

  • Если m скаляр, он обозначает количество заострений синуса, используемых в качестве окон данных при вычислении оценки PSD. Заострения синуса взвешиваются однородно.

  • Если m вектор, он обозначает, что веса раньше составляли в среднем заострения синуса при вычислении оценки PSD. Длина m указывает на количество заострений, чтобы использовать. Элементы m должен добавить к 1.

Типы данных: single | double

Количество ДПФ указывает в виде положительного целого числа. Для входного сигнала с действительным знаком, x, оценка PSD, pxx имеет длину (nfft/2 + 1), если nfft является четным, и (nfft + 1)/2, если nfft является нечетным. Для входного сигнала с комплексным знаком, x, оценка PSD всегда имеет длину nfft. Если nfft задан как пустой, nfft по умолчанию используется.

Типы данных: single | double

Частота дискретизации в виде положительной скалярной величины. Частота дискретизации является количеством отсчетов в единицу времени. Если модуль времени является секундами, то частота дискретизации имеет модули Гц.

Нормированные частоты в виде строки или вектор-столбца по крайней мере с двумя элементами. Нормированные частоты находятся в рад/отсчете.

Пример: w = [pi/4 pi/2]

Типы данных: double

Частоты в виде строки или вектор-столбца по крайней мере с двумя элементами. Частоты находятся в циклах в единицу времени. Единица времени задана частотой дискретизации, fs. Если fs имеет модули выборок/секунда, затем f имеет модули Гц.

Пример: fs = 1000; f = [100 200]

Типы данных: double

Отметьте указание, уронить ли или сохранить последнюю последовательность DPSS в виде логического. Значением по умолчанию является true и pmtm пропускает последнее заострение. В оценке мультизаострения первое 2NW – 1 последовательность DPSS имеет собственные значения близко к единице. Если вы используете меньше, чем 2NW – 1 последовательность, вероятно, что все заострения имеют собственные значения близко к 1, и можно задать dropflag как false сохранить последнее заострение.

Веса на индивидууме заострились оценки PSD в виде одного из 'adapt', 'eigen', или 'unity'. Значением по умолчанию являются адаптивные зависимые частотой веса Томсона, 'adapt'. Вычисление этих весов детализировано на стр 368–370 в [2]. 'eigen' веса метода каждый заостренный PSD оценивают собственным значением (концентрация частоты) соответствующего заострения Slepian. 'unity' веса метода каждый заостренный PSD оценивают одинаково.

DPSS (Slepian) последовательности в виде матрицы. Если x имеет длину N, затем e имеет строки N. Матричный e выход dpss.

Собственные значения для DPSS (Slepian) последовательности в виде вектор-столбца. Собственные значения для последовательностей DPSS указывают на пропорцию энергии последовательности, сконцентрированной в полосе пропускания разрешения, [–W, W]. Область значений собственных значений лежит в интервале (0, 1) и обычно первое 2NW – 1 собственное значение близко к 1 и затем уменьшается к 0. Векторный v выход dpss.

Входные параметры для dpssВ виде массива ячеек. Первый входной параметр к dpss длина последовательностей DPSS и не использована от dpss_params потому что это получено из длины x.

Пример: pmtm(randn(1000,1),{2.5,3}) вычисляет PSD случайной последовательности с помощью первых 3 последовательностей Slepian с продуктом полуполосы пропускания времени 2.5.

Частотный диапазон для PSD оценивает в виде того 'onesided', 'twosided', или 'centered'. Значением по умолчанию является 'onesided' для вещественных сигналов и 'twosided' для сигналов с комплексным знаком. Частотные диапазоны, соответствующие каждой опции,

  • 'onesided' — возвращает одностороннюю оценку PSD входного сигнала с действительным знаком, x. Если nfft является четным, pxx имеет длину nfft/2 + 1 и вычисляется на интервале [0, π] рад/отсчет. Если nfft является нечетным, длина pxx (nfft + 1)/2 и интервал [0, π), рад/отсчет. Когда fs опционально задан, соответствующие интервалы [0, fs/2] циклы/единица времени и [0, fs/2) циклы/единица времени для четной и нечетной длины nfft соответственно.

  • 'twosided' — возвращает двухстороннюю оценку PSD или для входа с комплексным знаком или для с действительным знаком, x. В этом случае, pxx имеет длину nfft и вычисляется на интервале [0,2π), рад/отсчет. Когда fs опционально задан, интервал [0, fs) циклы/единица времени.

  • 'centered' — возвращает двухстороннюю оценку PSD в центре или для входа с комплексным знаком или для с действительным знаком, x. В этом случае, pxx имеет длину nfft и вычисляется на интервале (–π, π] рад/отсчет для даже длины nfft и (–π, π) рад/отсчет для нечетной длины nfft. Когда fs опционально задан, соответствующие интервалы (–fs/2, fs/2] циклы/единица времени и (–fs/2, fs/2) циклы/единица времени для четной и нечетной длины nfft соответственно.

Вероятность покрытия для истинного PSD в виде скаляра в области значений (0,1). Выход, pxxc, содержит нижние и верхние границы probability × 100%-я оценка интервала для истинного PSD.

Выходные аргументы

свернуть все

Оценка PSD, возвращенная как неотрицательный вектор-столбец с действительным знаком или матрица. Каждый столбец pxx оценка PSD соответствующего столбца x. Модули оценки PSD находятся в единицах величины в квадрате данных временных рядов на модульную частоту. Например, если входные данные находятся в вольтах, оценка PSD находится в модулях вольт в квадрате на модульную частоту. Какое-то время ряд в вольтах, если вы принимаете сопротивление 1 Ω и задаете частоту дискретизации в герц, оценка PSD, находится в ваттах на герц.

Типы данных: single | double

Нормированные частоты, возвращенные как вектор-столбец с действительным знаком. Если pxx односторонняя оценка PSD, w охватывает интервал [0, π] если nfft является четным и [0, π), если nfft является нечетным. Если pxx двухсторонняя оценка PSD, w охватывает интервал [0,2π). Для сосредоточенной DC оценки PSD, w охватывает интервал (–π, π] для даже nfft и (–π, π) для нечетного nfft.

Типы данных: double

Циклические частоты, возвращенные как вектор-столбец с действительным знаком. Для односторонней оценки PSD, f охватывает интервал [0, fs/2], когда nfft является четным и [0, fs/2) когда nfft является нечетным. Для двухсторонней оценки PSD, f охватывает интервал [0, fs). Для сосредоточенной DC оценки PSD, f охватывает интервал (–fs/2, fs/2] циклы/единица времени для даже длины nfft и (–fs/2, fs/2) циклы/единица времени для нечетной длины nfft.

Типы данных: double | single

Доверительные границы, возвращенные как матрица с элементами с действительным знаком. Размер строки матрицы равен длине оценки PSD, pxx. pxxc имеет вдвое больше столбцов как pxx. Нечетные столбцы содержат нижние границы доверительных интервалов, и четные столбцы содержат верхние границы. Таким образом, pxxc(m,2*n-1) более низкая доверительная граница и pxxc(m,2*n) верхняя доверительная граница, соответствующая оценке pxx(m,n). Вероятность покрытия доверительных интервалов определяется значением probability входной параметр.

Типы данных: single | double

Больше о

свернуть все

Мультизаострение Томсона спектральная оценка

Периодограмма не является сопоставимым средством оценки истинной спектральной плотности мощности (PSD) широкого смысла стационарный процесс. Чтобы уменьшать изменчивость в периодограмме — и таким образом произвести сопоставимую оценку PSD — средние значения метода мультизаострения изменили полученное использование периодограмм семейства взаимно ортогональных окон или tapers. В дополнение к взаимной ортогональности заострения также имеют оптимальные свойства концентрации частоты времени. И ортогональность и концентрация частоты времени заострений очень важны для успеха метода мультизаострения. Смотрите Дискретные Вытянутые Сфероидальные Последовательности (Slepian) для краткого описания последовательностей Slepian, используемых в методе мультизаострения Томсона.

Метод мультизаострения использует измененные периодограммы K, каждое полученное использование различной последовательности Slepian как окно. Пусть

Sk(f)=Δt|n=0N1gk(n)x(n)ej2πfnΔt|2

обозначьте модифицированную периодограмму, полученную с k th последовательность Slepian, gk (n). В его самой простой форме метод мультизаострения просто составляет в среднем измененные периодограммы K, чтобы произвести мультизаострение оценка PSD:

S(MT)(f)=1Kk=0K1Sk(f).

Подход мультизаострения Томсона, введенный в [4], напоминает перекрытый метод усреднения сегмента валлийцев в тех обоих средних значениях приблизительно некоррелированые оценки PSD. Однако два подхода отличаются по тому, как они производят эти некоррелированые оценки PSD. Метод мультизаострения использует целый сигнал в каждой модифицированной периодограмме. Ортогональность заострений Slepian декоррелирует различные модифицированные периодограммы. Подход валлийцев использует сегменты сигнала в каждой модифицированной периодограмме, и сегментация декоррелирует различные модифицированные периодограммы.

Уравнение для S(MT)(f) соответствует 'unity' опция в pmtm. Однако, как объяснено в Дискретных Вытянутых Сфероидальных Последовательностях (Slepian), последовательности Slepian не обладают равной энергетической концентрацией в диапазоне частот интереса. Чем выше порядок последовательности Slepian, тем менее сконцентрированная энергия последовательности находится в полосе [–W, W] с концентрацией, данной собственным значением. Следовательно, это может быть выгодно, чтобы использовать собственные значения, чтобы взвесить измененные периодограммы K до усреднения. Это соответствует 'eigen' опция в pmtm.

Используя собственные значения последовательности, чтобы произвести взвешенное среднее модифицированных периодограмм составляет свойства концентрации частоты последовательностей Slepian. Однако это не составляет взаимодействие между спектральной плотностью мощности вероятностного процесса и концентрацией частоты последовательностей Slepian. А именно, области частоты, где вероятностный процесс имеет мало силы, менее надежно оцениваются в модифицированных периодограммах с помощью последовательностей Slepian высшего порядка. Это приводит доводы в пользу зависимого частотой адаптивного процесса, который считает не только для концентрации частоты последовательности Slepian, но также и для распределения электроэнергии во временных рядах. Это адаптивное взвешивание соответствует 'adapt' опция в pmtm и значение по умолчанию для вычисления оценки мультизаострения.

Дискретные вытянутые сфероидальные последовательности (Slepian)

Деривация последовательностей Slepian проистекает из проблемной частоты дискретного времени "концентрации". Для всего 2 последовательности, ограниченные индексом 0, 1, …, N – 1, проблема ищет последовательность, имеющую максимальную концентрацию ее энергии в диапазоне частот [–W, W] с |W | <1/2Δt.

Это составляет нахождение собственных значений и соответствующих собственных векторов N-by-N самопримыкающий положительный полуопределенный оператор. Поэтому собственные значения являются действительными и неотрицательными, и собственные вектора, соответствующие отличным собственным значениям, являются взаимно ортогональными. В этой конкретной проблеме собственные значения ограничены 1, и собственное значение является мерой энергетической концентрации последовательности в интервале частоты [–W, W].

Задачей о собственных значениях дают

m=0N1sin(2πW(nm))π(nm)gk(m)=λk(N,W)gk(n),n,k=0,1,2,,N1.

Нулевой порядок последовательность DPSS, g 0, является собственным вектором, соответствующим самому большому собственному значению. Последовательность DPSS первого порядка, g 1, является собственным вектором, соответствующим следующему самому большому собственному значению, и является ортогональной к последовательности нулевого порядка. Последовательность DPSS второго порядка, g 2, является собственным вектором, соответствующим третьему по величине собственному значению, и является ортогональной к двум последовательностям DPSS более низкоуровневым. Поскольку оператором является N-by-N, существуют собственные вектора N. Однако для данной длины последовательности N и заданная полоса пропускания [–W, W], существует приблизительно 2NW – 1 последовательность DPSS с собственными значениями очень близко к единице. Используйте nw задавать NW.

Заострения синуса

Заострения синуса, альтернатива последовательностям Slepian, предложенным в [3], заданы

gk(n)=2N+1sinπknN+1,n,k=1,2,,N.

В отличие от последовательностей Slepian, заострения синуса могут быть вычислены непосредственно без потребности настроить и решить уравнение собственного значения. Это делает заострения синуса намного быстрее, чтобы вычислить. Заострения синуса имеют спектральную концентрацию близко к той из последовательностей Slepian, но не нуждаются в дополнительных параметрах, чтобы задать спектральную полосу пропускания. Полоса пропускания оценки PSD, вычисленной с помощью заострений синуса, может быть настроена локально путем изменения количества заострений с помощью m.

Сравните заострения Slepian и синуса

Сгенерируйте первые пять заострений Slepian, соответствующих продукту полуполосы пропускания времени 3. Задайте длину заострения 1 000.

N = 1000;
nw = 3;
ns = 2*(nw)-1;

tprs = dpss(N,nw,ns);
lbs = "Slepian";

Сгенерируйте первые пять заострений синуса.

n = 1:N;
k = 1:ns;

tprs(:,:,2) = sqrt(2/(N+1))*sin(pi*n'*k/(N+1));
lbs(2) = "Sine";

Постройте два набора заострений.

for kj = 1:2
    subplot(2,1,kj)
    plot(tprs(:,:,kj))
    title(lbs(kj))
    legend(append('k = ',string(k+kj-2)), ...
        'Orientation','horizontal','Location','south')
    legend('boxoff')
    ylim([-0.09 0.07])
end

Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title Slepian contains 5 objects of type line. These objects represent k = 0, k = 1, k = 2, k = 3, k = 4. Axes object 2 with title Sine contains 5 objects of type line. These objects represent k = 1, k = 2, k = 3, k = 4, k = 5.

Ссылки

[1] Маккой, Эмма Дж., Эндрю Т. Уолден и Дональд Б. Персиваль. "Мультизаострение спектральная оценка процессов закона о степени". IEEE® Транзакции на Обработке сигналов 46, № 3 (март 1998): 655–68. https://doi.org/10.1109/78.661333.

[2] Персиваль, Дональд Б. и Эндрю Т. Уолден. Спектральный анализ для физических приложений: мультизаостритесь и обычные одномерные методы. Кембридж; Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета, 1993.

[3] Riedel, Курт С. и Александр Сидоренко. “Минимальное Смещение Несколько Заострение Спектральная Оценка”. Транзакции IEEE на Обработке сигналов 43, № 1 (январь 1995): 188–95. https://doi.org/10.1109/78.365298.

[4] Томсон, Дэвид Дж. "Оценка спектра и гармонический анализ". Продолжения IEEE 70, № 9 (1982): 1055–96. https://doi.org/10.1109/PROC.1982.12433.

Представлено до R2006a