Создайте матрицу выборочных данных y со столбцами, которые являются константами плюс случайные нормальные воздействия со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

y = meshgrid(1:5);
rng default; % For reproducibility
y = y + normrnd(0,1,5,5)

y = 5×5

    1.5377    0.6923    1.6501    3.7950    5.6715
    2.8339    1.5664    6.0349    3.8759    3.7925
   -1.2588    2.3426    3.7254    5.4897    5.7172
    1.8622    5.5784    2.9369    5.4090    6.6302
    1.3188    4.7694    3.7147    5.4172    5.4889

Выполните однофакторный дисперсионный анализ.

p = anova1(y)

p = 0.0023

Таблица ANOVA показывает изменение между группами (Columns) и изменение в группах (Error). SS сумма квадратов и df степени свободы. Общие степени свободы являются общим количеством наблюдений минус одно, которое равняется 25 - 1 = 24. Степени свободы между группами являются количеством групп минус одна, которая равняется 5 - 1 = 4. Степени свободы в группах являются общими степенями свободы минус между степенями свободы групп, который равняется 24 - 4 = 20.

MS среднеквадратическая ошибка, которая является SS/df для каждого источника изменения. F-статистическая-величина является отношением среднеквадратических ошибок (13.4309/2.2204). P-значение является вероятностью, что тестовая статистическая величина может принять значение, больше, чем значение вычисленной тестовой статистической величины, i.e., P (F> 6.05). Маленькое p-значение 0,0023 указывает, что различия между средними значениями столбца являются значительными.

Введите выборочные данные.

strength = [82 86 79 83 84 85 86 87 74 82 ...
            78 75 76 77 79 79 77 78 82 79];
alloy = {'st','st','st','st','st','st','st','st',...
         'al1','al1','al1','al1','al1','al1',...
         'al2','al2','al2','al2','al2','al2'};

Данные от исследования упругости стержней из разного материала взятые в Хогге (1987). Векторная сила измеряет прогиб стержней в тысячных частях дюйма менее чем 3 000 фунтов силы. Векторный сплав идентифицирует каждый луч как сталь ('st'), сплав 1 ('al1'), или сплав 2 ('al2'). Несмотря на то, что сплав сортируется в этом примере, сгруппированные переменные не должны быть отсортированы.

Протестируйте нулевую гипотезу, что стальные балки равны в силе лучам, сделанным из двух более дорогих сплавов. Выключите отображение фигуры и возвратите результаты Дисперсионного Анализа в массив ячеек.

[p,tbl] = anova1(strength,alloy,'off')

p = 1.5264e-04

tbl=4×6 cell array
  Columns 1 through 5

    {'Source'}    {'SS'      }    {'df'}    {'MS'      }    {'F'       }
    {'Groups'}    {[184.8000]}    {[ 2]}    {[ 92.4000]}    {[ 15.4000]}
    {'Error' }    {[102.0000]}    {[17]}    {[  6.0000]}    {0x0 double}
    {'Total' }    {[286.8000]}    {[19]}    {0x0 double}    {0x0 double}

  Column 6

    {'Prob>F'    }
    {[1.5264e-04]}
    {0x0 double  }
    {0x0 double  }

Общие степени свободы являются общим количеством наблюдений минус одно, которое является $20-1=19$. Степени свободы между группами являются количеством групп минус одна, которая является $3-1=2$. Степени свободы в группах являются общими степенями свободы минус между степенями свободы групп, который является $19-2=17$.

MS среднеквадратическая ошибка, которая является SS/df для каждого источника изменения. F-статистическая-величина является отношением среднеквадратических ошибок. P-значение является вероятностью, что тестовая статистическая величина может принять значение, больше, чем, или равняться значению тестовой статистической величины. P-значение 1.5264e-04 предлагает отклонение нулевой гипотезы.

Можно получить значения в таблице ANOVA путем индексации в массив ячеек. Сохраните значение F-статистической-величины и p-значение в новых переменных Fstat и pvalue.

Fstat = tbl{2,5}

Fstat = 15.4000

pvalue = tbl{2,6}

pvalue = 1.5264e-04

Введите выборочные данные.

strength = [82 86 79 83 84 85 86 87 74 82 ...
            78 75 76 77 79 79 77 78 82 79];
alloy = {'st','st','st','st','st','st','st','st',...
         'al1','al1','al1','al1','al1','al1',...
         'al2','al2','al2','al2','al2','al2'};

Данные от исследования упругости стержней из разного материала взятые в Хогге (1987). Векторная сила измеряет прогиб стержней в тысячных частях дюйма менее чем 3 000 фунтов силы. Векторный сплав идентифицирует каждый луч как сталь (st), сплав 1 (al1), или сплав 2 (al2). Несмотря на то, что сплав сортируется в этом примере, сгруппированные переменные не должны быть отсортированы.

Выполните однофакторный дисперсионный анализ с помощью anova1. Возвратите структуру stats, который содержит статистику multcompare потребности в выполнении Нескольких Сравнений.

[~,~,stats] = anova1(strength,alloy);

Маленькое p-значение 0,0002 предполагает, что прочность стержней различная.

Выполните сравнения средней прочности материала стержней.

[c,~,~,gnames] = multcompare(stats);

Отобразите результаты сравнения с соответствующими названиями группы.

[gnames(c(:,1)), gnames(c(:,2)), num2cell(c(:,3:6))]

ans=3×6 cell array
  Columns 1 through 5

    {'st' }    {'al1'}    {[ 3.6064]}    {[ 7]}    {[10.3936]}
    {'st' }    {'al2'}    {[ 1.6064]}    {[ 5]}    {[ 8.3936]}
    {'al1'}    {'al2'}    {[-5.6280]}    {[-2]}    {[ 1.6280]}

  Column 6

    {[1.6831e-04]}
    {[    0.0040]}
    {[    0.3560]}

Первые два столбца показывают пару групп, которые сравнены. Четвертый столбец показывает различие между предполагаемыми средними значениями группы. Третьи и пятые колонны показывают нижние и верхние пределы для 95% доверительных интервалов истинного различия средних значений. Шестой столбец показывает p-значение для гипотезы, что истинное различие средних значений для соответствующих групп равно нулю.

Первые две строки показывают, что оба сравнения, вовлекающие первую группу (сталь), уверены интервалы, которые не включают нуль. Поскольку соответствующие p-значения (1.6831e-04 и 0.0040, соответственно) малы, те различия являются значительными.

Третья строка показывает, что различия в силе между двумя сплавами не являются значительными. 95%-й доверительный интервал для различия [-5.6 1.6], таким образом, вы не можете отклонить гипотезу, что истинным различием является нуль. Соответствующее p-значение 0,3560 в шестом столбце подтверждает этот результат.

На рисунке синяя панель представляет интервал сравнения для средней прочности материала для стали. Красные панели представляют интервалы сравнения для средней прочности материала для сплава 1 и сплава 2. Ни одна из красных панелей не перекрывается с синей панелью, которая указывает, что средняя прочность материала для стали существенно отличается от того из сплава 1 и сплава 2. Подтвердить значительную разницу путем нажатия на панели, которые представляют сплав 1 и 2.