Выберите Between Curve Fitting и Distribution Fitting

Аппроксимирование кривыми и подбор кривой распределения являются различными типами анализа данных.

Curve Fitting

В следующих экспериментальных данных переменным предиктором является time, время после приема пищи препарата. Переменной отклика является conc, концентрация препарата в кровотоке. Примите что только данные об ответе conc затронут экспериментальной ошибкой.

time = [ 0.1   0.1   0.3   0.3   1.3   1.7   2.1   2.6   3.9   3.9 ...
         5.1   5.6   6.2   6.4   7.7   8.1   8.2   8.9   9.0   9.5 ...
         9.6  10.2  10.3  10.8  11.2  11.2  11.2  11.7  12.1  12.3 ...
        12.3  13.1  13.2  13.4  13.7  14.0  14.3  15.4  16.1  16.1 ...
        16.4  16.4  16.7  16.7  17.5  17.6  18.1  18.5  19.3  19.7]';
conc = [0.01  0.08  0.13  0.16  0.55  0.90  1.11  1.62  1.79  1.59 ...
        1.83  1.68  2.09  2.17  2.66  2.08  2.26  1.65  1.70  2.39 ...
        2.08  2.02  1.65  1.96  1.91  1.30  1.62  1.57  1.32  1.56 ...
        1.36  1.05  1.29  1.32  1.20  1.10  0.88  0.63  0.69  0.69 ...
        0.49  0.53  0.42  0.48  0.41  0.27  0.36  0.33  0.17  0.20]';

Предположим, что вы хотите смоделировать концентрацию крови в зависимости от времени. Постройте conc против time.

plot(time,conc,'o');
xlabel('Time');
ylabel('Blood Concentration');

Примите тот conc следует за 2D параметром кривая Weibull в зависимости от time. Кривая Weibull имеет форму и параметры

где $$a$$ горизонтальное масштабирование, $$b$$ параметр формы, и $$c$$ вертикальное масштабирование.

Подбирайте модель Weibull с помощью нелинейного метода наименьших квадратов.

modelFun =  @(p,x) p(3) .* (x./p(1)).^(p(2)-1) .* exp(-(x./p(1)).^p(2));
startingVals = [10 2 5];
nlModel = fitnlm(time,conc,modelFun,startingVals);

Постройте кривую Weibull на данные.

xgrid = linspace(0,20,100)';
line(xgrid,predict(nlModel,xgrid),'Color','r');

Подбиравшая модель Weibull проблематична. fitnlm принимает, что экспериментальные ошибки являются дополнением и прибывают из симметричного распределения с постоянным отклонением. Однако график рассеивания показывает, что ошибочное отклонение пропорционально высоте кривой. Кроме того, дополнение, симметричные ошибки подразумевают, что отрицательное измерение концентрации крови возможно.

Более реалистическое предположение - то, что мультипликативные ошибки симметричны на логарифмической шкале. Под тем предположением соответствуйте кривой Weibull к данным путем взятия журнала обеих сторон. Используйте нелинейный метод наименьших квадратов, чтобы соответствовать кривой:

nlModel2 = fitnlm(time,log(conc),@(p,x) log(modelFun(p,x)),startingVals);

Добавьте новую кривую в существующий график.

line(xgrid,exp(predict(nlModel2,xgrid)),'Color',[0 .5 0],'LineStyle','--');
legend({'Raw Data','Additive Errors Model','Multiplicative Errors Model'});

Объект модели nlModel2 содержит оценки точности. Лучшая практика должна проверять качество подгонки модели. Например, сделайте остаточные графики на логарифмической шкале, чтобы проверять предположение о постоянном отклонении для мультипликативных ошибок.

В этом примере, с помощью мультипликативной ошибочной модели оказывает мало влияния на предсказания модели. Для примера, где тип модели оказывает больше влияния, смотрите Ловушки в Том, чтобы подбирать Нелинейные Модели путем Преобразования к Линейности.

Функции для Curve Fitting

Подбор кривой распределения

Предположим, что вы хотите смоделировать распределение времени жизни электрической детали. Переменная life измеряет время к отказу для 50 идентичных электрических компонентов.

life = [ 6.2 16.1 16.3 19.0 12.2  8.1  8.8  5.9  7.3  8.2 ...
        16.1 12.8  9.8 11.3  5.1 10.8  6.7  1.2  8.3  2.3 ...
         4.3  2.9 14.8  4.6  3.1 13.6 14.5  5.2  5.7  6.5 ...
         5.3  6.4  3.5 11.4  9.3 12.4 18.3 15.9  4.0 10.4 ...
         8.7  3.0 12.1  3.9  6.5  3.4  8.5  0.9  9.9  7.9]';

Визуализируйте данные с гистограммой.

binWidth = 2;
lastVal = ceil(max(life));
binEdges = 0:binWidth:lastVal+1;
h = histogram(life,binEdges);
xlabel('Time to Failure');
ylabel('Frequency');
ylim([0 10]);

Поскольку пожизненные данные часто следуют за распределением Weibull, один подход может быть должен использовать кривую Weibull из предыдущего примера аппроксимирования кривыми, чтобы соответствовать гистограмме. Чтобы попробовать этот подход, преобразуйте гистограмму в набор точек (x, y), где x является центром интервала, и y является высотой интервала, и затем соответствуйте кривой к тем точкам.

counts = histcounts(life,binEdges);
binCtrs = binEdges(1:end-1) + binWidth/2;
h.FaceColor = [.9 .9 .9];
hold on
plot(binCtrs,counts,'o');
hold off

Подбор кривой кривой к гистограмме, однако, проблематичен и обычно не рекомендуемый.

Для многих параметрических распределений наибольшее правдоподобие является лучшим способом оценить параметры, потому что оно избегает этих проблем. PDF Weibull имеет почти ту же форму как кривая Weibull:

Однако $$b/a$$ заменяет масштабный коэффициент $$c$$ потому что функция должна объединяться к 1. Чтобы соответствовать распределению Weibull к данным с помощью наибольшего правдоподобия, используйте fitdist и задайте 'Weibull' как имя распределения. В отличие от наименьших квадратов, наибольшее правдоподобие находит PDF Weibull что лучшие соответствия масштабированная гистограмма, не минимизируя сумму различий в квадрате между PDF и высотами панели.

pd = fitdist(life,'Weibull');

Постройте масштабированную гистограмму данных и наложите подходящую PDF.

h = histogram(life,binEdges,'Normalization','pdf','FaceColor',[.9 .9 .9]);
xlabel('Time to Failure');
ylabel('Probability Density');
ylim([0 0.1]);
xgrid = linspace(0,20,100)';
pdfEst = pdf(pd,xgrid);
line(xgrid,pdfEst)

Лучшая практика должна проверять качество подгонки модели.

Несмотря на то, что подбор кривой кривой к гистограмме обычно не рекомендуется, процесс соответствующий в некоторых случаях. Для примера сочтите целесообразным Пользовательские дистрибутивы.

Функции для подбора кривой распределения