Линейные модели Смешанных Эффектов

Линейные модели смешанных эффектов являются расширениями моделей линейной регрессии для данных, которые собраны и получены в итоге в группах. Эти модели описывают отношение между переменной отклика и независимыми переменными с коэффициентами, которые могут варьироваться относительно одной или нескольких сгруппированных переменных. Модель смешанных эффектов состоит из двух частей, зафиксированных эффектов и случайных эффектов. Термины фиксированных эффектов обычно являются обычной частью линейной регрессии, и случайные эффекты сопоставлены с отдельными экспериментальными модулями, чертившими наугад от населения. Случайные эффекты имеют предшествующие распределения, тогда как фиксированные эффекты не делают. Модели смешанных эффектов могут представлять структуру ковариации, связанную с группировкой данных путем соединения общих случайных эффектов к наблюдениям, которые имеют тот же уровень сгруппированной переменной. Стандартная форма линейной модели смешанных эффектов

$y = \underset{f i x e d}{\underset{︸}{X β}} + \underset{r a n d o m}{\underset{︸}{Z b}} + \underset{e r r o r}{\underset{︸}{ε}},$

где

y является n-by-1 вектор отклика, и n является количеством наблюдений.
X является n-by-p, фиксированные эффекты проектируют матрицу.
β является p-by-1 вектор фиксированных эффектов.
Z является n-by-q, случайные эффекты проектируют матрицу.
b является q-by-1 вектор случайных эффектов.
ε является n-by-1 вектор ошибок наблюдения.

Предположения для линейной модели смешанных эффектов:

Вектор случайных эффектов, b, и вектор ошибок, ε, имеет следующие предшествующие распределения:

$\begin{array}{l} b ~ N (0, σ^{2} D (θ)), \\ ε ~ N (0, σ {}^{2}I), \end{array}$
где D является симметричной и положительной полуопределенной матрицей, параметрированной компонентом отклонения векторный θ, I является n-by-n единичная матрица и σ² ошибочное отклонение.
Вектор случайных эффектов, b, и вектор ошибок, ε, независим друг от друга.

Модели смешанных эффектов также называются многоуровневыми моделями или иерархическими моделями в зависимости от контекста. Модели смешанных эффектов являются более общим термином, чем последние два. Модели смешанных эффектов могут включать факторы, которые являются не обязательно многоуровневыми или иерархическими, например, пересеченные факторы. Именно поэтому смешанные эффекты являются терминологией, предпочтенной здесь. Иногда модели смешанных эффектов описываются как многоуровневые модели регрессии (первый уровень и группирующиеся модели уровня), которые являются подходящими одновременно. Например, варьирование или случайная модель точки пересечения, с одним непрерывным переменным предиктором x и одна сгруппированная переменная с уровнями M, могут быть описаны как

$\begin{array}{l} y_{i m} = β_{0 m} + β_{1} x_{i m} + ε_{i m}, i = 1, 2, .., n, m = 1, 2, ..., M, ε_{i m} ~ N (0, σ^{2}), \\ β_{0 m} = β_{00} + b_{0 m}, b_{0 m} ~ N (0, σ_{0}^{2}), \end{array}$

где y_{, im} соответствует данным для наблюдения i и группа m, n, является общим количеством наблюдений, и _b0m и ε_im независимы друг от друга. После замены параметрами уровня группы в модели первого уровня модель для вектора отклика становится

$y_{i m} = \underset{f i x e d e f f e c t s}{\underset{︸}{β_{00} + β_{1} x_{i m}}} + \underset{r a n d o m e f f e c t s}{\underset{︸}{b_{0 m}}} + ε_{i m} .$

Случайная точка пересечения и наклонная модель с одним непрерывным переменным предиктором x, где оба точка пересечения и наклон варьируются независимо сгруппированной переменной с уровнями M,

$\begin{array}{l} y_{i m} = β_{0 m} + β_{1 m} x_{i m} + ε_{i m}, i = 1, 2, ..., n, m = 1, 2, ..., M, ε_{i m} ~ N (0, σ^{2}), \\ β_{0 m} = β_{00} + b_{0 m}, b_{0 m} ~ N (0, σ_{0}^{2}), \\ β_{1 m} = β_{10} + b_{1 m}, b_{1 m} ~ N (0, σ_{1}^{2}), \end{array}$

или

$b_{m} = (\begin{array}{l} b_{0 m} \\ b_{1 m} \end{array}) ~ N (0, (\begin{matrix} σ_{0}^{2} & 0 \\ 0 & σ_{1}^{2} \end{matrix})) .$

Вы можете также коррелировать случайные эффекты. В общем случае для модели со случайной точкой пересечения и наклоном, распределение случайных эффектов

$b_{m} = (\begin{array}{l} b_{0 m} \\ b_{1 m} \end{array}) ~ N (0, σ {}^{2}D (θ)),$

где D является симметричной и положительной полуопределенной матрицей 2 на 2, параметрированной компонентом отклонения векторный θ.

После замены параметрами уровня группы в модели первого уровня модель для вектора отклика

$y_{i m} = \underset{f i x e d e f f e c t s}{\underset{︸}{β_{00} + β_{10} x_{i m}}} + \underset{r a n d o m e f f e c t s}{\underset{︸}{b_{0 m} + b_{1 m} x_{i m}}} + ε_{i m}, i = 1, 2, ..., n, m = 1, 2, ..., M .$

Если вы описываете переменную уровня группы, x _im, в термине случайных эффектов z _im, эта модель

$y_{i m} = \underset{f i x e d e f f e c t s}{\underset{︸}{β_{00} + β_{10} x_{i m}}} + \underset{r a n d o m e f f e c t s}{\underset{︸}{b_{0 m} + b_{1 m} z_{i m}}} + ε_{i m}, i = 1, 2, ..., n, m = 1, 2, ..., M .$

В этом случае те же термины появляются и в матрице проекта фиксированных эффектов и в матрице проекта случайных эффектов. Каждый _zim и _xim соответствуют уровню m сгруппированной переменной.

Также возможно объяснить больше изменений уровня группы путем добавления большего количества переменных предикторов уровня группы. Случайная точка пересечения и случайно-наклонная модель с одним непрерывным переменным предиктором x, где оба точка пересечения и наклон варьируются независимо сгруппированной переменной с уровнями M и одним переменным предиктором уровня группы v _m,

$\begin{array}{l} y_{i m} = β_{0 i m} + β_{1 i m} x_{i m} + ε_{i m}, i = 1, 2, ..., n, m = 1, 2, ..., M, ε_{i m} ~ N (0, σ^{2}), \\ β_{0 i m} = β_{00} + β_{01} v_{i m} + b_{0 m}, b_{0 m} ~ N (0, σ_{0}^{2}), \\ β_{1 i m} = β_{10} + β_{11} v_{i m} + b_{1 m}, b_{1 m} ~ N (0, σ_{1}^{2}) . \end{array}$

Эта модель приводит к основным эффектам предиктора уровня группы и период взаимодействия между переменными предикторами первого уровня и переменными предикторами уровня группы в модели для переменной отклика как

$\begin{array}{l} y_{i m} = β_{00} + β_{01} v_{i m} + b_{0 m} + (β_{10} + β_{11} v_{i m} + b_{1 m}) x_{i m} + ε_{i m}, i = 1, 2, ..., n, m = 1, 2, ..., M, \\ = \underset{f i x e d e f f e c t s}{\underset{︸}{β_{00} + β_{10} x_{i m} + β_{01} v_{i m} + β_{11} v_{i m} x_{i m}}} + \underset{r a n d o m e f f e c t s}{\underset{︸}{b_{0 m} + b_{1 m} x_{i m}}} + ε_{i m} . \end{array}$

Термин β _11vmx_im часто называется взаимодействием перекрестного уровня во многих учебниках по многоуровневым моделям. Модель для переменной отклика y может быть описана как

$\begin{array}{l} y_{i m} = [\begin{matrix} 1 & x_{1}_{i m} & v_{i m} & v_{i m} x_{1 i m} \end{matrix}] [\begin{matrix} β_{00} \\ β_{10} \\ β_{01} \\ β_{11} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & x_{1 i m} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{0 m} \\ b_{1 m} \end{matrix}] + ε_{i m}, i = 1, 2, ..., n, m = 1, 2, ..., M, \end{array}$

который соответствует стандартной форме, данной ранее,

$y = X β + Z b + ε .$

В общем случае, если существуют сгруппированные переменные R, и m (r, i) показывает уровень сгруппированной переменной r для наблюдения i, то модель для переменной отклика для наблюдения i

$y_{i} = x_{i}^{T} β + \sum_{r = 1}^{R} z_{i r} b_{m (r, i)}^{(r)} + ε_{i}, i = 1, 2, ..., n,$

где β является p-by-1 вектор фиксированных эффектов, b^(r)_{m (r, i)} является q (r)-by-1 вектор случайных эффектов для the rth сгруппированной переменной и уровня m (r, i), и ε_{, i} является остаточным членом 1 на 1 для наблюдения i.

Ссылки

[1] Pinherio, J. C. и Д. М. Бэйтс. Модели смешанных эффектов в S и S-PLUS. Статистика и ряд вычисления, Спрингер, 2004.

[2] Hariharan, S. и Дж. Х. Роджерс. “Процедуры оценки для Иерархических Линейных Моделей”. Многоуровневое Моделирование Образовательных Данных (А. А. Коннелл и Д. Б. Маккоак, редакторы). Шарлотта, NC: Information Age Publishing, Inc., 2008.

[3] Hox, J. Многоуровневый анализ, методы и приложения. Lawrence Erlbaum Associates, Inc., 2002

[4] Snidjers, T. и Р. Боскер. Многоуровневый анализ. Таузенд-Оукс, CA: мудрые публикации, 1999.

[5] Джелмен, А. и Дж. Хилл. Анализ данных Используя Регрессию и Многоуровневые/Иерархические Модели. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, 2007.

Документация

Линейные модели Смешанных Эффектов

Ссылки

Смотрите также

Похожие темы

Документация Statistics and Machine Learning Toolbox

Поддержка