Распределение Пуассона

Обзор

Распределение Пуассона является семейством кривых с одним параметром, которое моделирует число раз, которое имеет место случайное событие. Это распределение подходит для приложений, которые включают подсчет числа раз, которое случайное событие имеет место в заданном количестве времени, расстоянии, области, и так далее. Примеры приложения, которые включают распределения Пуассона, включают количество нажатий кнопки Счетчика Гейгера в секунду, количество людей, идущих в хранилище через час и количество пакетов, потерянных по сети в минуту.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с распределением Пуассона.

Создайте объект PoissonDistribution вероятностного распределения путем строения распределения вероятности к выборочным данным или настройкой значений параметров. Затем используйте объектные функции, чтобы вычислять распределение, сгенерировать случайные числа, и так далее.
Работа с распределением Пуассона в интерактивном режиме при помощи приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать объектные функции.
Используйте специфичные для распределения функции (poisscdf, poisspdf, poissinv, poisstat, poissfit, poissrnd) с заданными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принять параметры нескольких распределений Пуассона.
Используйте типовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('Poisson') и параметры.

Параметры

Распределение Пуассона использует следующий параметр.

Параметр	Описание	Поддержка
`lambda`(λ)	Среднее значение	$λ \geq 0$

Параметр λ также равен отклонению распределения Пуассона.

Сумма двух случайных переменных Пуассона параметрами λ ₁ и λ ₂ является случайной переменной Пуассона параметром λ = λ ₁ + λ ₂ .

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (PDF) распределения Пуассона

$f (x | λ) = \frac{λ^{x}}{x!} e^{- λ}; x = 0, 1, 2, \dots, \infty .$

Результатом является вероятность точно случаев x случайного события. Для дискретных распределений PDF также известна как функцию вероятностной меры (pmf).

Для примера смотрите, Вычисляют Распределение Пуассона PDF.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) распределения Пуассона

$p = F (x | λ) = e^{- λ} \sum_{i = 0}^{f l o o r (x)} \frac{λ^{i}}{i!} .$

Результатом является вероятность при большинстве случаев x случайного события.

Для примера смотрите, Вычисляют Распределение Пуассона cdf.

Примеры

Вычислите Распределение Пуассона PDF

Скрипт Open Live Script

Вычислите PDF распределения Пуассона параметром lambda = 4.

x = 0:15;
y = poisspdf(x,4);

Постройте PDF с панелями ширины 1.

figure
bar(x,y,1)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type bar.

Вычислите Распределение Пуассона cdf

Скрипт Open Live Script

Вычислите cdf распределения Пуассона параметром lambda = 4.

x = 0:15;
y = poisscdf(x,4);

Постройте cdf.

figure
stairs(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type stair.

Сравните Пуассона и Нормальное распределение pdfs

Скрипт Open Live Script

Когда lambda является большим, распределение Пуассона может быть аппроксимировано нормальным распределением со средним lambda и отклонение lambda.

Вычислите PDF распределения Пуассона параметром lambda = 50.

lambda = 50;
x1 = 0:100;
y1 = poisspdf(x1,lambda);

Вычислите PDF соответствующего нормального распределения.

mu = lambda;
sigma = sqrt(lambda);
x2 = 0:0.1:100;
y2 = normpdf(x2,mu,sigma);

Постройте pdfs на той же оси.

figure
bar(x1,y1,1)
hold on
plot(x2,y2,'LineWidth',2)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Poisson and Normal pdfs')
legend('Poisson Distribution','Normal Distribution','location','northwest')
hold off

Figure contains an axes object. The axes object with title Poisson and Normal pdfs contains 2 objects of type bar, line. These objects represent Poisson Distribution, Normal Distribution.

PDF нормального распределения тесно аппроксимирует PDF распределения Пуассона.

Связанные распределения

Биномиальное распределение — биномиальное распределение является дискретным распределением 2D параметра, которое считает количество успехов в N независимыми испытаниями с вероятностью успеха p. Распределение Пуассона является ограничивающим случаем биномиального распределения, куда бесконечность подходов N и p переходят к нулю в то время как N p = λ. Смотрите Сравнивают Распределение Бинома и Пуассона pdfs.
Экспоненциальное распределение — экспоненциальное распределение является непрерывным распределением с одним параметром, которое имеет параметр μ (среднее значение). Количества моделей распределения Пуассона числа раз случайное событие происходят в заданном количестве времени. В такой модели количество времени между случаями моделируется экспоненциальным распределением со средним значением $\frac{1}{λ}$ .
Нормальное распределение — нормальное распределение является непрерывным распределением 2D параметра, которое имеет параметры μ (среднее значение) и σ (стандартное отклонение). Когда λ является большим, распределение Пуассона может быть аппроксимировано нормальным распределением с μ = λ и σ² = λ. Смотрите Сравнивают Пуассона и Нормальное распределение pdfs.

Ссылки

[1] Abramowitz, Милтон, и Ирен А. Стегун, руководство редакторов Математических функций: С Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. 9. Дуврская печать.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Дуврские Книги по Математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр Publ, 2013.

[2] Devroye, Люк. Неоднородная Генерация случайных переменных. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, Merran, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические Распределения. 2-й редактор Нью-Йорк: Дж. Вайли, 1993.

[4] Загрузчик, Кэтрин. Быстрый и точный расчет биномиальных вероятностей. 9 июля 2000.

Документация