erfc

Дополнительная функция ошибок

Синтаксис

Описание

пример

erfc(X) представляет дополнительную функцию ошибок X, то есть, erfc(X) = 1 - erf(X).

пример

erfc(K,X) представляет повторный интеграл дополнительной функции ошибок X, то есть, erfc(K, X) = int(erfc(K - 1, y), y, X, inf).

Примеры

Дополнительная функция ошибок для с плавающей точкой и символьных чисел

В зависимости от его аргументов, erfc может возвратить или точные символьные результаты с плавающей точкой.

Вычислите дополнительную функцию ошибок для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой:

A = [erfc(1/2), erfc(1.41), erfc(sqrt(2))]
A =
    0.4795    0.0461    0.0455

Вычислите дополнительную функцию ошибок для тех же чисел, преобразованных в символьные объекты. Для большинства символьных (точных) чисел, erfc отвечает на неразрешенные символьные звонки:

symA = [erfc(sym(1/2)), erfc(sym(1.41)), erfc(sqrt(sym(2)))]
symA =
[ erfc(1/2), erfc(141/100), erfc(2^(1/2))]

Использование vpa аппроксимировать символьные результаты необходимым количеством цифр:

d = digits(10);
vpa(symA)
digits(d)
ans =
[ 0.4795001222, 0.04614756064, 0.0455002639]

Функция ошибок для переменных и выражений

Для большинства символьных переменных и выражений, erfc отвечает на неразрешенные символьные звонки.

Вычислите дополнительную функцию ошибок для x и sin(x) + x*exp(x):

syms x
f = sin(x) + x*exp(x);
erfc(x)
erfc(f)
ans =
erfc(x)
 
ans =
erfc(sin(x) + x*exp(x))

Дополнительная функция ошибок для векторов и матриц

Если входной параметр является вектором или матрицей, erfc возвращает дополнительную функцию ошибок для каждого элемента того вектора или матрицы.

Вычислите дополнительную функцию ошибок для элементов матричного M и векторный V:

M = sym([0 inf; 1/3 -inf]);
V = sym([1; -i*inf]);
erfc(M)
erfc(V)
ans =
[         1, 0]
[ erfc(1/3), 2]
 
ans =
    erfc(1)
 1 + Inf*1i

Вычислите повторный интеграл дополнительной функции ошибок для элементов V и M, и целочисленный -1:

erfc(-1, M)
erfc(-1, V)
ans =
[             2/pi^(1/2), 0]
[ (2*exp(-1/9))/pi^(1/2), 0]
 
ans =
 (2*exp(-1))/pi^(1/2)
                  Inf

Специальные значения дополнительной функции ошибок

erfc возвращает специальные значения для конкретных параметров.

Вычислите дополнительную функцию ошибок для x = 0, x = ∞, и x = – ∞. Дополнительная функция ошибок имеет специальные значения для этих параметров:

[erfc(0), erfc(Inf), erfc(-Inf)]
ans =
     1     0     2

Вычислите дополнительную функцию ошибок для комплексных бесконечностей. Использование sym преобразовывать комплексные бесконечности в символьные объекты:

[erfc(sym(i*Inf)), erfc(sym(-i*Inf))]
ans =
[ 1 - Inf*1i, 1 + Inf*1i]

Обработка выражений, которые содержат дополнительную функцию ошибок

Много функций, такой как diff и int, может обработать выражения, содержащие erfc.

Вычислите первые и вторые производные дополнительной функции ошибок:

syms x
diff(erfc(x), x)
diff(erfc(x), x, 2)
ans =
-(2*exp(-x^2))/pi^(1/2)
 
ans =
(4*x*exp(-x^2))/pi^(1/2)

Вычислите интегралы этих выражений:

syms x
int(erfc(-1, x), x)
ans =
erf(x)
int(erfc(x), x)
ans =
x*erfc(x) - exp(-x^2)/pi^(1/2)
int(erfc(2, x), x)
ans =
(x^3*erfc(x))/6 - exp(-x^2)/(6*pi^(1/2)) +...
(x*erfc(x))/4 - (x^2*exp(-x^2))/(6*pi^(1/2))

Постройте дополнительную функцию ошибок

Постройте дополнительную функцию ошибок на интервале от-5 до 5.

syms x
fplot(erfc(x),[-5 5])
grid on

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type functionline.

Входные параметры

свернуть все

Введите в виде символьного числа, переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Введите представление целого числа, больше, чем -2В виде номера, символьного числа, переменной, выражения или функции. Это аргументы может также быть вектором или матрицей чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Больше о

свернуть все

Дополнительная функция ошибок

Следующий интеграл задает дополнительную функцию ошибок:

erfc(x)=2πxet2dt=1erf(x)

Здесь erf(x) функция ошибок.

Повторный интеграл дополнительной функции ошибок

Следующий интеграл является повторным интегралом дополнительной функции ошибок:

erfc(k,x)=xerfc(k1,y)dy

Здесь, erfc(0,x)=erfc(x).

Советы

  • Вызов erfc для номера, который не является символьным объектом, вызывает MATLAB® erfc функция. Эта функция принимает действительные аргументы только. Если вы хотите вычислить дополнительную функцию ошибок для комплексного числа, используйте sym преобразовывать тот номер в символьный объект, и затем вызывать erfc для того символьного объекта.

  • Для большинства символьных (точных) чисел, erfc отвечает на неразрешенные символьные звонки. Можно аппроксимировать такие результаты использованием чисел с плавающей запятой vpa.

  • По крайней мере один входной параметр должен быть скаляром, или оба аргумента должны быть векторами или матрицами, одного размера. Если один входной параметр является скаляром, и другой является вектором или матрицей, то erfc расширяет скаляр в вектор или матрицу одного размера с другим аргументом со всеми элементами, равными тому скаляру.

Алгоритмы

Тулбокс может упростить выражения, которые содержат функции ошибок и их инверсии. Для вещественных значений x, тулбокс применяет эти правила упрощения:

  • erfinv(erf(x)) = erfinv(1 - erfc(x)) = erfcinv(1 - erf(x)) = erfcinv(erfc(x)) = x

  • erfinv(-erf(x)) = erfinv(erfc(x) - 1) = erfcinv(1 + erf(x)) = erfcinv(2 - erfc(x)) = -x

Для любого значения x, система применяет эти правила упрощения:

  • erfcinv(x) = erfinv(1 - x)

  • erfinv(-x) = -erfinv(x)

  • erfcinv(2 - x) = -erfcinv(x)

  • erf(erfinv(x)) = erfc(erfcinv(x)) = x

  • erf(erfcinv(x)) = erfc(erfinv(x)) = 1 - x

Ссылки

[1] Gautschi, W. “Функция ошибок и Интегралы Френели”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

Смотрите также

| | |

Представленный в R2011b
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте