Exponenta Banner

hypergeom

Гипергеометрическая функция

свернуть все на странице

Синтаксис

hypergeom(a,b,z)

Описание

пример

hypergeom(a,b,z) представляет обобщенную гипергеометрическую функцию.

Примеры

Гипергеометрическая функция для числовых и символьных аргументов

В зависимости от того, является ли вход плавающей точкой или символьный, hypergeom возвращает или символьные результаты с плавающей точкой.

Вычислите гипергеометрическую функцию для этих чисел. Поскольку эти числа являются плавающей точкой, hypergeom возвращает результаты с плавающей точкой.

A = [hypergeom([1 2], 2.5, 2),...
     hypergeom(1/3, [2 3], pi),...
     hypergeom([1 1/2], 1/3, 3*i)]
A =
  -1.2174 - 0.8330i   1.2091 + 0.0000i  -0.2028 + 0.2405i

Возвратите точные символьные результаты путем преобразования по крайней мере одних из входных параметров к символьной форме при помощи sym. Для большинства символьных (точных) входных параметров, hypergeom отвечает на неразрешенные символьные звонки.

symA = [hypergeom([1 2], 2.5, sym(2)),...
        hypergeom(1/3, [2 3], sym(pi)),...
        hypergeom([1 1/2], sym(1/3), 3*i)]
symA =
[ hypergeom([1, 2], 5/2, 2), hypergeom(1/3, [2, 3], pi), hypergeom([1/2, 1], 1/3, 3i)]

Преобразуйте символьный результат в высокую точность, с плавающей точкой при помощи vpa.

vpa(symA)
ans =
[ - 1.2174189301051728850455150601879 - 0.83304055090469367131547768563638i,...
 1.2090631887094273193917339575087,...
 - 0.20275169745081962937527290365593 + 0.24050134226872040357481317881983i]

Специальные значения гипергеометрической функции

Покажите это hypergeom возвращает специальные значения для определенных входных значений.

syms a b c d x
hypergeom([], [], x)
ans =
exp(x)
hypergeom([a b c d], [a b c d], x)
ans =
exp(x)
hypergeom(a, [], x)
ans =
1/(1 - x)^a

Покажите, что гипергеометрической функцией всегда является 1 в 0.

syms a b c d
hypergeom([a b], [c d], 0)
ans =
1

Если после отмены идентичных параметров в первых двух аргументах список верхних параметров содержит 0, получившаяся гипергеометрическая функция является постоянной со значением 1. Для получения дополнительной информации см. Алгоритмы.

hypergeom([0 0 2 3], [a 0 4], x)
ans =
1

Если после отмены идентичных параметров в первых двух аргументах верхние параметры содержат отрицательное целое число, больше, чем самое большое отрицательное целое число в более низких параметрах, гипергеометрическая функция является полиномом.

hypergeom([-4 -2 3], [-3 1 4], x)
ans =
(3*x^2)/5 - 2*x + 1

Гипергеометрические функции уменьшают до других специальных функций для определенных входных значений.

hypergeom([1], [a], x)
hypergeom([a], [a, b], x)
ans =
(exp(x/2)*whittakerM(1 - a/2, a/2 - 1/2, -x))/(-x)^(a/2)
 
ans =
 x^(1/2 - b/2)*gamma(b)*besseli(b - 1, 2*x^(1/2))

Обработка выражений, которые содержат гипергеометрические функции

Много символьных функций, такой как diff и taylor, обработайте выражения, содержащие hypergeom.

Дифференцируйте это выражение, содержащее гипергеометрическую функцию.

syms a b c d x
diff(1/x*hypergeom([a b],[c d],x), x)
ans =
(a*b*hypergeom([a + 1, b + 1], [c + 1, d + 1], x))/(c*d*x)...
 - hypergeom([a, b], [c, d], x)/x^2

Вычислите Ряд Тейлора этой гипергеометрической функции.

taylor(hypergeom([1 2],3,x), x)
ans =
(2*x^5)/7 + x^4/3 + (2*x^3)/5 + x^2/2 + (2*x)/3 + 1

Входные параметры

свернуть все

Верхние параметры гипергеометрической функции в виде номера, переменной, символьного выражения, символьной функции или вектора.

Более низкие параметры гипергеометрической функции в виде номера, переменной, символьного выражения, символьной функции или вектора.

Введите в виде номера, вектора, матрицы, или массива, или символьного числа, переменной, массива, функции или выражения.

Больше о

свернуть все

Обобщенная гипергеометрическая функция

Обобщенная гипергеометрическая функция порядка p, q определяется следующим образом.

Fpq(a;b;z)=Fpq(a1,…,aj,…,ap;b1,…,bk,…,bq;z)=∑n=0∞((a1)n…(aj)n…(ap)n(b1)n…(bk)n…(bq)n)(znn!).

Здесь a = [a 1, a 2..., a p] и b = [b 1, b 2..., b q] является векторами из длин p и q, соответственно.

(a) k и (b) k является символами Pochhammer.

Для пустых векторов a и b, hypergeom определяется следующим образом.

F0q(;b;z)=∑k=0∞1(b1)k(b2)k…(bq)k(zkk!)Fp0(a;;z)=∑k=0∞(a1)k(a2)k…(ap)k(zkk!)F00(;;z)=∑k=0∞(zkk!)=ez.

Символ Pochhammer

(x)n=Γ(x+n)Γ(x).

Если n является положительным целым числом, то (x) n = x (x + 1)... (x + n - 1).

Алгоритмы

Гипергеометрическая функция

Fpq(a;b;z)=Fpq(a1,…,aj,…,ap;b1,…,bk,…,bq;z)=∑n=0∞((a1)n…(aj)n…(ap)n(b1)n…(bk)n…(bq)n)(znn!).

  • Гипергеометрическая функция имеет критерии сходимости:

    • Сходится если p ≤ q и |z | < ∞.

    • Сходится если p = q + 1 и |z | < 1. Для |z | > = 1, ряд отличается и задан аналитическим продолжением.

    • Отличается если p > q + 1 и z ≠ 0. Здесь, ряд задан асимптотическим расширением p F q (a; b;) вокруг z = 0. Разрез является положительной вещественной осью.

  • Функция является полиномом, названным гипергеометрическим полиномом, если какой-либо aj является неположительным целым числом.

  • Функция не определена:

    • Если какой-либо bk является неположительным целым числом, таким образом, что bk > aj, где aj является также неположительным целым числом, потому что деление 0 происходит

    • Если какой-либо bk является неположительным целым числом, и никакой aj не является неположительным целым числом

  • Функция уменьшала порядок, когда верхние и более низкие значения параметров равны и отменяют. Если значения r верхних и более низких параметров равны (то есть, a = [a 1, …, a p - r, c 1, …, c r], b = [b 1, …, b q - r, c 1, …, c r]), то порядок (p, q) p F q (a; b;), уменьшается до (p - r, q - r):

    Fpq(a1,…,ap−r,c1,…,cr;b1,…,bq−r,c1,…,cr;z)=Fp−rq−r(a1,…,ap−r;b1,…,bq−r;z)

    Это правило применяется, даже если какой-либо i c является нулем или отрицательным целым числом [2].

  • p F q (a; b;), симметрично. Таким образом, это не зависит от порядка a 1, a 2, … в a или b 1, b 2, … в b.

  • U(z)=Fpq(a;b;z) удовлетворяет дифференциальному уравнению в z

    [δ(δ+b−1)−z(δ+a)]U(z)=0,  δ=z∂∂z.

    Здесь, (δ + a) представляет

    ∏i=1p(δ+ai).

    И (δ + b) представляет

    ∏j=1q(δ+bj).

    Таким образом порядком этого дифференциального уравнения является max (p, q + 1), и гипергеометрическая функция является только одним из своих решений. Если p < q + 1, это дифференциальное уравнение имеет регулярную сингулярность в z = 0 и неправильную сингулярность в z = ∞. Если p = q + 1, точки, z = 0, z = 1, и z = ∞ является регулярной сингулярностью, который объясняет свойства сходимости гипергеометрического ряда.

  • Гипергеометрическая функция имеет эти специальные значения:

    • p F p (a; a;) = 0F0 (;; z) = ez.

    • p F q (a; b;) = 1, если список верхних параметров a содержит больше 0s, чем список более низких параметров b.

    • p F q (a; b; = 1.

Ссылки

[1] Oberhettinger, F. “Гипергеометрические функции”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

[2] Люк, Y.L. "Специальные функции и их приближения", издание 1, Academic Press, Нью-Йорк, 1969.

[3] Прудников, A.P., Yu.A. Брычков и О.И. Маричев, "Интегралы и ряд", издание 3: более специальные функции, Гордон и нарушение, 1990.

Смотрите также

| | |

Представлено до R2006a

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка