meijerG

Синтаксис

Описание

пример

meijerG(a,b,c,d,z) возвращает G-функцию Майера. meijerG поэлементно в z. Входные параметры aBC, и d векторы, которые могут быть пустыми, как в meijerG([], [], 3.2, [], 1).

Примеры

свернуть все

syms x
meijerG(3, [], [], 2, 5)
ans =
    25

Вызвать meijerG когда z массив. meijerG поэлементные действия.

a = 2;
z = [1 2 3];
meijerG(a, [], [], [], z)
ans =
    0.3679    1.2131    2.1496

Преобразуйте числовой вход в символьное использование формы sym, и найдите G-функцию Майера. Для определенных символьных входных параметров, meijerG возвращает точный символьный выходной параметр с помощью других функций.

meijerG(sym(2), [], [], [], sym(3))
ans =
3*exp(-1/3)
meijerG(sym(2/5), [], sym(1/2), [], sym(3))
ans =
(2^(4/5)*3^(1/2)*gamma(1/10))/80

Для символьных переменных или выражений, meijerG возвращает выходной параметр в терминах простых или специальных функций.

syms a b c d z
f = meijerG(a,b,c,d,z)
f =
(gamma(c - a + 1)*(1/z)^(1 - a)*hypergeom([c - a + 1, d - a + 1],...
 b - a + 1, 1/z))/(gamma(b - a + 1)*gamma(a - d))

Замените значениями переменные при помощи subs, и преобразуйте значения, чтобы удвоиться при помощи double.

fVal = subs(f, [a b c d z], [1.2 3 5 7 9])
fVal =
(266*9^(1/5)*hypergeom([24/5, 34/5], 14/5, 1/9))/(25*gamma(-29/5))
double(fVal)
ans =
   5.7586e+03

Вычислите fVal к более высокому использованию точности vpa.

vpa(fVal)
ans =
5758.5946416377834597597497022199

Покажите отношения между meijerG и более простые функции для данных значений параметров.

Покажите это когда aB, и d пусты, и c = 0то meijerG уменьшает до exp(-z).

syms z
meijerG([], [], 0, [], z)
ans =
exp(-z)

Покажите это когда aB, и d пусты, и c = [1/2 -1/2]то meijerG уменьшает до 2 кВ (1,2z1/2).

meijerG([], [], [1/2 -1/2], [], z)
ans =
2*besselk(1, 2*z^(1/2))

Постройте действительные и мнимые значения G-функции Майера для значений b и z, где a = [-2 2] и c и d пусты. Заполните контуры установкой Fill к on.

syms b z
f = meijerG([-2 2], b, [], [], z);

subplot(2,2,1)
fcontour(real(f),'Fill','on')
title('Real Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')

subplot(2,2,2)
fcontour(imag(f),'Fill','on')
title('Imag. Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')

Входные параметры

свернуть все

Введите в виде номера или вектора, или символьного числа, переменной, вектора, функции или выражения.

Введите в виде номера или вектора, или символьного числа, переменной, вектора, функции или выражения.

Введите в виде номера или вектора, или символьного числа, переменной, вектора, функции или выражения.

Введите в виде номера или вектора, или символьного числа, переменной, вектора, функции или выражения.

Введите в виде номера или вектора, или символьного числа, переменной, вектора, функции или выражения.

Больше о

свернуть все

G-функция Майера

meijerG([a1,…,an], [an + 1,…,ap], [b1,…,bm], [bm + 1,…,bq], z) Майера G-функции общая функция, которая включает другие специальные функции как конкретные ситуации и задана как

Gp,qm,n(a1,,apb1,,bq|z)=12πi(j=1mΓ(bjs))(j=1nΓ(1aj+s))(j=m+1qΓ(1bj+s))(j=n+1pΓ(ajs))zsds.

Алгоритмы

Для meijerG([a1,…,an], [an + 1,…,ap], [b1,…,bm], [bm + 1,…,bq], z) Майера G-функции, для ai ∊ (a1, …, an) и bj ∊ (b1, …, bm), никакая пара параметров ai − bj должен отличаться положительным целым числом.

G-функция Майера связала комплексный криволинейный интеграл с одним из следующих типов путей к интегрированию:

  • Контур идет от - i  ∞ i  ∞ так, чтобы все полюса Γ(bjs), j = 1, …, m лжет праву пути и всем полюсам Γ(1ak+s), k = 1, …, n лжет левым пути. Интеграл сходится если c=m+np+q2>0, |arg (z) | <c  π. Если |arg (z) | = c  π, c ≥ 0, интеграл сходится абсолютно когда p = q и (ψ) <-1, где Ψ=(j=1qbj)(i=1pai). Когда pq, интеграл сходится, если вы выбираете контур так, чтобы контур указал близкий i  ∞ и - i,  ∞ имеют действительную часть удовлетворение σ (qp)σ>(ψ)+1qp2.

  • Контур является началом цикла и окончанием в и окружением всех полюсов Γ(bjs), j = 1, …, m, перемещающийся в обратном направлении, но ни один из полюсов Γ(1ak+s), k = 1, …, n. Интеграл сходится если q ≥ 1 и или p <q или p = q и |z | <1.

  • Контур является началом цикла и окончанием в - ∞ и окружение всех полюсов Γ(1ak+s), k = 1, …, n, перемещающийся в положительное направление, но ни один из полюсов Γ(bj+s), j = 1, …, m. Интеграл сходится если p ≥ 1 и любой p> q или p = q и |z |> 1.

Интеграл представляет обратное Преобразование Лапласа или, более конкретно, тип Меллин-Барнса интеграла.

Для данного набора параметров контур, выбранный в определении G-функции Майера, является тем, для которого сходится интеграл. Если интеграл сходится для нескольких контуров, всего вывода контуров к той же функции.

G-функция Майера удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка max (p, q) относительно переменной z:

((1))m+npz(i=1p(zddzai1))j=1q(zddzbj))Gp,qm,n(a1,,apb1,,bp|z)=0.

Если p <q, это дифференциальное уравнение имеет регулярную сингулярность в z = 0 и неправильную сингулярность в z = ∞. Если p = q, точки, z = 0 и z = ∞ является регулярной сингулярностью, и существует дополнительная регулярная сингулярность в z = (−1)m + n - p.

G-функция Майера представляет аналитическое продолжение гипергеометрической функции [1]. Для конкретного выбора параметров можно описать G-функцию Майера через гипергеометрическую функцию. Например, если никакие два из терминов h b, h = 1, …, m, не отличаются целым числом или нулем, и все полюса просты, то

Gp,qm,n(a1,,apb1,,bp|z)=h=1m(j=1m,jhΓ(bjbh))(j=1nΓ(1+bhaj))(j=m+1qΓ(1+bhbj))(j=n+1pΓ(ajbh))zbhpFq1(Ah;Bh;(1)pmnz).

Здесь p <q или p = q и |z | <1. A h обозначает

Ah=1+bha1,,1+bhap.

B h обозначает

Bh=1+bhb1,,1+bhb(h1),1+bhbh+1,,1+bhbq.

G-функции Майера различными параметрами могут представлять ту же функцию.

  • G-функция Майера симметрична относительно параметров. Изменение порядка в каждом из следующих списков векторов не изменяет получившуюся G-функцию Майера: [a 1, …, a n], [a n + 1, …, a p], [b 1, …, b m], [b m + 1, …, b q].

  • Если z не является отрицательным вещественным числом и z ≠ 0, функция удовлетворяет следующей идентичности:

    Gp,qm,n(a1,,apb1,,bq|z)=Gq,pn,m(1b1,,1bp1a1,,1ap|1z).

    .

  • Если 0 <n <p и r = a 1 - a p является целым числом, функция удовлетворяет следующей идентичности:

    Gp,qm,n(a1,a2,,ap1,apb1,b2,,bq1,bq|z)=Gp,qm,n(ap,a2,,ap1,a1b1,b2,,bq1,bq|z).

    .

  • Если 0 <m <q и r = b 1 - b q является целым числом, функция удовлетворяет следующей идентичности:

    Gp,qm,n(a1,a2,,ap1,apb1,b2,,bq1,bq|z)=(1)γGp,qm,n(a1,a2,,ap1,apbq,b2,,bq1,b1|z).

    .

Согласно этим правилам, meijerG вызов функции может возвратить meijerG модифицированными входными параметрами.

Ссылки

[1] Люк, Y. L. специальные функции и их приближения. Издание 1. Нью-Йорк: Academic Press, 1969.

[2] Прудников, A. P. Ю. А. Брычков, и О. И. Маричев, интегралы и ряд. Vol 3: более специальные функции. Гордон и нарушение, 1990.

[3] Abramowitz, M. i. А. Стегун, Руководство Математических функций. 9-я печать. Нью-Йорк: Дуврские Публикации, 1970.

Смотрите также

Введенный в R2017b
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте