meijerG

G-функция Майера

свернуть все на странице

Синтаксис

meijerG(a,b,c,d,z)

Описание

пример

meijerG(a,b,c,d,z) возвращает G-функцию Майера. meijerG поэлементно в z. Входные параметры aBC, и d векторы, которые могут быть пустыми, как в meijerG([], [], 3.2, [], 1).

Примеры

свернуть все

syms x
meijerG(3, [], [], 2, 5)
ans =
    25

Вызвать meijerG когда z массив. meijerG поэлементные действия.

a = 2;
z = [1 2 3];
meijerG(a, [], [], [], z)
ans =
    0.3679    1.2131    2.1496

Преобразуйте числовой вход в символьное использование формы sym, и найдите G-функцию Майера. Для определенных символьных входных параметров, meijerG возвращает точный символьный выходной параметр с помощью других функций.

meijerG(sym(2), [], [], [], sym(3))
ans =
3*exp(-1/3)
meijerG(sym(2/5), [], sym(1/2), [], sym(3))
ans =
(2^(4/5)*3^(1/2)*gamma(1/10))/80

Для символьных переменных или выражений, meijerG возвращает выходной параметр в терминах простых или специальных функций.

syms a b c d z
f = meijerG(a,b,c,d,z)
f =
(gamma(c - a + 1)*(1/z)^(1 - a)*hypergeom([c - a + 1, d - a + 1],...
 b - a + 1, 1/z))/(gamma(b - a + 1)*gamma(a - d))

Замените значениями переменные при помощи subs, и преобразуйте значения, чтобы удвоиться при помощи double.

fVal = subs(f, [a b c d z], [1.2 3 5 7 9])
fVal =
(266*9^(1/5)*hypergeom([24/5, 34/5], 14/5, 1/9))/(25*gamma(-29/5))
double(fVal)
ans =
   5.7586e+03

Вычислите fVal к более высокому использованию точности vpa.

vpa(fVal)
ans =
5758.5946416377834597597497022199

Покажите отношения между meijerG и более простые функции для данных значений параметров.

Покажите это когда aB, и d пусты, и c = 0то meijerG уменьшает до exp(-z).

syms z
meijerG([], [], 0, [], z)
ans =
exp(-z)

Покажите это когда aB, и d пусты, и c = [1/2 -1/2]то meijerG уменьшает до 2 кВ (1,2z1/2).

meijerG([], [], [1/2 -1/2], [], z)
ans =
2*besselk(1, 2*z^(1/2))

Постройте действительные и мнимые значения G-функции Майера для значений b и z, где a = [-2 2] и c и d пусты. Заполните контуры установкой Fill к on.

syms b z
f = meijerG([-2 2], b, [], [], z);

subplot(2,2,1)
fcontour(real(f),'Fill','on')
title('Real Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')

subplot(2,2,2)
fcontour(imag(f),'Fill','on')
title('Imag. Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')

Входные параметры

свернуть все

Введите в виде номера или вектора, или символьного числа, переменной, вектора, функции или выражения.

Введите в виде номера или вектора, или символьного числа, переменной, вектора, функции или выражения.

Введите в виде номера или вектора, или символьного числа, переменной, вектора, функции или выражения.

Введите в виде номера или вектора, или символьного числа, переменной, вектора, функции или выражения.

Введите в виде номера или вектора, или символьного числа, переменной, вектора, функции или выражения.

Больше о

свернуть все

G-функция Майера

meijerG([a1,…,an], [an + 1,…,ap], [b1,…,bm], [bm + 1,…,bq], z) Майера G-функции общая функция, которая включает другие специальные функции как конкретные ситуации и задана как

Gp,qm,n(a1,…,apb1,…,bq|z)=12πi∫(∏j=1mΓ(bj−s))(∏j=1nΓ(1−aj+s))(∏j=m+1qΓ(1−bj+s))(∏j=n+1pΓ(aj−s))zsds.

Алгоритмы

Для meijerG([a1,…,an], [an + 1,…,ap], [b1,…,bm], [bm + 1,…,bq], z) Майера G-функции, для ai ∊ (a1, …, an) и bj ∊ (b1, …, bm), никакая пара параметров ai − bj должен отличаться положительным целым числом.

G-функция Майера связала комплексный криволинейный интеграл с одним из следующих типов путей к интегрированию:

  • Контур идет от - i  ∞ i  ∞ так, чтобы все полюса Γ(bj−s), j = 1, …, m лжет праву пути и всем полюсам Γ(1−ak+s), k = 1, …, n лжет левым пути. Интеграл сходится если c=m+n−p+q2>0, |arg (z) | <c  π. Если |arg (z) | = c  π, c ≥ 0, интеграл сходится абсолютно когда p = q и ℜ (ψ) <-1, где Ψ=(∑j=1qbj)−(∑i=1pai). Когда p ≠ q, интеграл сходится, если вы выбираете контур так, чтобы контур указал близкий i  ∞ и - i,  ∞ имеют действительную часть удовлетворение σ (q−p)σ>ℜ(ψ)+1−q−p2.

  • Контур является началом цикла и окончанием в ∞ и окружением всех полюсов Γ(bj−s), j = 1, …, m, перемещающийся в обратном направлении, но ни один из полюсов Γ(1−ak+s), k = 1, …, n. Интеграл сходится если q ≥ 1 и или p <q или p = q и |z | <1.

  • Контур является началом цикла и окончанием в - ∞ и окружение всех полюсов Γ(1−ak+s), k = 1, …, n, перемещающийся в положительное направление, но ни один из полюсов Γ(bj+s), j = 1, …, m. Интеграл сходится если p ≥ 1 и любой p> q или p = q и |z |> 1.

Интеграл представляет обратное Преобразование Лапласа или, более конкретно, тип Меллин-Барнса интеграла.

Для данного набора параметров контур, выбранный в определении G-функции Майера, является тем, для которого сходится интеграл. Если интеграл сходится для нескольких контуров, всего вывода контуров к той же функции.

G-функция Майера удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка max (p, q) относительно переменной z:

((−1))m+n−pz(∏i=1p(zddz−ai−1))−∏j=1q(zddz−bj))Gp,qm,n(a1,…,apb1,…,bp|z)=0.

Если p <q, это дифференциальное уравнение имеет регулярную сингулярность в z = 0 и неправильную сингулярность в z = ∞. Если p = q, точки, z = 0 и z = ∞ является регулярной сингулярностью, и существует дополнительная регулярная сингулярность в z = (−1)m + n - p.

G-функция Майера представляет аналитическое продолжение гипергеометрической функции [1]. Для конкретного выбора параметров можно описать G-функцию Майера через гипергеометрическую функцию. Например, если никакие два из терминов h b, h = 1, …, m, не отличаются целым числом или нулем, и все полюса просты, то

Gp,qm,n(a1,…,apb1,…,bp|z)=∑h=1m(∏j=1…m,j≠hΓ(bj−bh))(∏j=1nΓ(1+bh−aj))(∏j=m+1qΓ(1+bh−bj))(∏j=n+1pΓ(aj−bh))zbhpFq−1(Ah;Bh;(−1)p−m−nz).

Здесь p <q или p = q и |z | <1. A h обозначает

Ah=1+bh−a1,…,1+bh−ap.

B h обозначает

Bh=1+bh−b1,…,1+bh−b(h−1),1+bh−bh+1,…,1+bh−bq.

G-функции Майера различными параметрами могут представлять ту же функцию.

  • G-функция Майера симметрична относительно параметров. Изменение порядка в каждом из следующих списков векторов не изменяет получившуюся G-функцию Майера: [a 1, …, a n], [a n + 1, …, a p], [b 1, …, b m], [b m + 1, …, b q].

  • Если z не является отрицательным вещественным числом и z ≠ 0, функция удовлетворяет следующей идентичности:

    Gp,qm,n(a1,…,apb1,…,bq|z)=Gq,pn,m(1−b1,…,1−bp1−a1,…,1−ap|1z).

    .

  • Если 0 <n <p и r = a 1 - a p является целым числом, функция удовлетворяет следующей идентичности:

    Gp,qm,n(a1,a2,…,ap−1,apb1,b2,…,bq−1,bq|z)=Gp,qm,n(ap,a2,…,ap−1,a1b1,b2,…,bq−1,bq|z).

    .

  • Если 0 <m <q и r = b 1 - b q является целым числом, функция удовлетворяет следующей идентичности:

    Gp,qm,n(a1,a2,…,ap−1,apb1,b2,…,bq−1,bq|z)=(−1)γGp,qm,n(a1,a2,…,ap−1,apbq,b2,…,bq−1,b1|z).

    .

Согласно этим правилам, meijerG вызов функции может возвратить meijerG модифицированными входными параметрами.

Ссылки

[1] Люк, Y. L. специальные функции и их приближения. Издание 1. Нью-Йорк: Academic Press, 1969.

[2] Прудников, A. P. Ю. А. Брычков, и О. И. Маричев, интегралы и ряд. Vol 3: более специальные функции. Гордон и нарушение, 1990.

[3] Abramowitz, M. i. А. Стегун, Руководство Математических функций. 9-я печать. Нью-Йорк: Дуврские Публикации, 1970.

Смотрите также

Введенный в R2017b

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте