Вычислите блок нижнее треугольное разложение (разложение BLT) символьной системы дифференциальных алгебраических уравнений (ДАУ).

Создайте следующую систему четырех дифференциальных алгебраических уравнений. Здесь, символьные вызовы функции x1(t), x2(t), x3(t), и x4(t) представляйте переменные состояния системы. Система также содержит символьные параметры c1C2 , c3, c4, и функции f(t,x,y) и g(t,x,y).

syms x1(t) x2(t) x3(t) x4(t)
syms c1 c2 c3 c4
syms f(t,x,y) g(t,x,y)

eqs = [c1*diff(x1(t),t)+c2*diff(x3(t),t)==c3*f(t,x1(t),x3(t));...
       c2*diff(x1(t),t)+c1*diff(x3(t),t)==c4*g(t,x3(t),x4(t));...
       x1(t)==g(t,x1(t),x3(t));...
       x2(t)==f(t,x3(t),x4(t))];

vars = [x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)];

Используйте findDecoupledBlocks найти блочную структуру системы.

[eqsBlocks,varsBlocks] = findDecoupledBlocks(eqs,vars)

eqsBlocks=1×3 cell array
    {[1 3]}    {[2]}    {[4]}

varsBlocks=1×3 cell array
    {[1 3]}    {[4]}    {[2]}

Первый блок содержит два уравнения в двух переменных.

eqs(eqsBlocks{1})

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}{c}_1\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)+c_2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_3\left(t\right)=c_3\hspace{0.17em}f\left(t,x_1\left(t\right),x_3\left(t\right)\right)\\ x_1\left(t\right)=g\left(t,x_1\left(t\right),x_3\left(t\right)\right)\end{array}\right)$$

vars(varsBlocks{1})

ans = $$\left(\begin{array}{cc}{x}_1\left(t\right)& x_3\left(t\right)\end{array}\right)$$

После того, как вы решаете этот блок для переменных x1(t), x3(t), можно решить следующий блок уравнений. Этот блок состоит из одного уравнения.

eqs(eqsBlocks{2})

ans = 
$$c_2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)+c_1\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_3\left(t\right)=c_4\hspace{0.17em}g\left(t,x_3\left(t\right),x_4\left(t\right)\right)$$

Блок включает одну переменную.

vars(varsBlocks{2})

ans = $$x_4\left(t\right)$$

После того, как вы решаете уравнение от блока 2 для переменной x4(t), оставшийся блок уравнений, eqs(eqsBlocks{3}), задает остающуюся переменную, vars(varsBlocks{3}).

eqs(eqsBlocks{3})

ans = $$x_2\left(t\right)=f\left(t,x_3\left(t\right),x_4\left(t\right)\right)$$

vars(varsBlocks{3})

ans = $$x_2\left(t\right)$$

Найдите сочетания, которые преобразуют систему в блок нижняя треугольная форма.

eqsPerm = [eqsBlocks{:}]

eqsPerm = 1×4

     1     3     2     4

varsPerm = [varsBlocks{:}]

varsPerm = 1×4

     1     3     4     2

Преобразуйте систему в блок нижняя треугольная система уравнений.

eqs = eqs(eqsPerm)

eqs = 
$$\left(\begin{array}{c}{c}_1\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)+c_2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_3\left(t\right)=c_3\hspace{0.17em}f\left(t,x_1\left(t\right),x_3\left(t\right)\right)\\ x_1\left(t\right)=g\left(t,x_1\left(t\right),x_3\left(t\right)\right)\\ c_2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_1\left(t\right)+c_1\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{x}_3\left(t\right)=c_4\hspace{0.17em}g\left(t,x_3\left(t\right),x_4\left(t\right)\right)\\ x_2\left(t\right)=f\left(t,x_3\left(t\right),x_4\left(t\right)\right)\end{array}\right)$$

vars = vars(varsPerm)

vars = $$\left(\begin{array}{cccc}{x}_1\left(t\right)& x_3\left(t\right)& x_4\left(t\right)& x_2\left(t\right)\end{array}\right)$$

Найдите матрицу падения получившейся системы. Матрица падения показывает, что система переставленных уравнений имеет три диагональных блока размера 2- 2, 1- 1, и 1- 1.

incidenceMatrix(eqs, vars)

ans = 4×4

     1     1     0     0
     1     1     0     0
     1     1     1     0
     0     1     1     1

Найдите блоки уравнений в линейной алгебраической системе, и затем решите систему путем последовательного решения каждого блока уравнений, начинающих с первого.

Создайте следующую систему линейных алгебраических уравнений.

syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 c1 c2 c3

eqs = [c1*x1 + x3 + x5 == c1 + c2 + 1;...
       x1 + x3 + x4 + 2*x6 == 4 + c2;...
       x1 + 2*x3 + c3*x5 == 1 + 2*c2 + c3;...
       x2 + x3 + x4 + x5 == 2 + c2;...
       x1 - c2*x3 + x5 == 2 - c2^2;...
       x1 - x3 + x4 - x6 == 1 - c2];

vars = [x1,x2,x3,x4,x5,x6];

Используйте findDecoupledBlocks преобразовывать систему в нижнюю треугольную форму. Для этой системы, findDecoupledBlocks идентифицирует три блока уравнений и соответствующих переменных.

[eqsBlocks,varsBlocks] = findDecoupledBlocks(eqs,vars)

eqsBlocks=1×3 cell array
    {[1 3 5]}    {[2 6]}    {[4]}

varsBlocks=1×3 cell array
    {[1 3 5]}    {[4 6]}    {[2]}

Идентифицируйте переменные в первом блоке. Этот блок состоит из трех уравнений в трех переменных.

vars(varsBlocks{1})

ans = $$\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_3& x_5\end{array}\right)$$

Решите первый блок уравнений для первого блока переменных, присваивающих решения соответствующих переменных.

[x1,x3,x5] = solve(eqs(eqsBlocks{1}),vars(varsBlocks{1}))

x1 = $$1$$

x3 = $$c_2$$

x5 = $$1$$

Идентифицируйте переменные во втором блоке. Этот блок состоит из двух уравнений в двух переменных.

vars(varsBlocks{2})

ans = $$\left(\begin{array}{cc}{x}_4& x_6\end{array}\right)$$

Решите этот блок уравнений, присваивающих решения соответствующих переменных.

[x4,x6] = solve(eqs(eqsBlocks{2}),vars(varsBlocks{2}))

x4 = 
$$\frac{x_3}{3}-x_1-\frac{c_2}{3}+2$$

x6 = 
$$\frac{2\hspace{0.17em}{c}_2}{3}-\frac{2\hspace{0.17em}{x}_3}{3}+1$$

Используйте subs оценивать результат для уже известных значений переменных x1, x3, и x5.

x4 = subs(x4)

x4 = $$1$$

x6 = subs(x6)

x6 = $$1$$

Идентифицируйте переменные в третьем блоке. Этот блок состоит из одного уравнения в одной переменной.

vars(varsBlocks{3})

ans = $$x_2$$

Решите это уравнение, присваивающее решение x2.

x2 = solve(eqs(eqsBlocks{3}),vars(varsBlocks{3}))

x2 = $$c_2-x_3-x_4-x_5+2$$

Используйте subs оценивать результат для уже известных значений всех других переменных этой системы.

x2 = subs(x2)

x2 = $$0$$

В качестве альтернативы можно переписать этот пример с помощью for- цикл. Этот подход позволяет вам использовать пример для больших систем уравнений.

syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 c1 c2 c3

eqs = [c1*x1 + x3 + x5 == c1 + c2 + 1;...
       x1 + x3 + x4 + 2*x6 == 4 + c2;...
       x1 + 2*x3 + c3*x5 == 1 + 2*c2 + c3;...
       x2 + x3 + x4 + x5 == 2 + c2;...
       x1 - c2*x3 + x5 == 2 - c2^2
       x1 - x3 + x4 - x6 == 1 - c2];

vars = [x1,x2,x3,x4,x5,x6];

[eqsBlocks,varsBlocks] = findDecoupledBlocks(eqs,vars);

vars_sol = vars;

for i = 1:numel(eqsBlocks)
  sol = solve(eqs(eqsBlocks{i}),vars(varsBlocks{i}));
  vars_sol_per_block = subs(vars(varsBlocks{i}),sol);
  for k=1:i-1
    vars_sol_per_block = subs(vars_sol_per_block,vars(varsBlocks{k}),...
                         vars_sol(varsBlocks{k}));
  end
  vars_sol(varsBlocks{i}) = vars_sol_per_block
end

vars_sol = $$\left(\begin{array}{cccccc}1& x_2& c_2& x_4& 1& x_6\end{array}\right)$$

vars_sol = $$\left(\begin{array}{cccccc}1& x_2& c_2& 1& 1& 1\end{array}\right)$$

vars_sol = $$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& c_2& 1& 1& 1\end{array}\right)$$