Задайте одномерное выражение.

syms x
expr = -2*x/(1+x^2)^2;

Найдите неопределенный интеграл одномерного выражения.

F = int(expr)

F = 
$$\frac{1}{x^2+1}$$

Задайте многомерную функцию с переменными x и z.

syms x z
f(x,z) = x/(1+z^2);

Найдите неопределенные интегралы многомерного выражения относительно переменных x и z.

Fx = int(f,x)

Fx(x, z) = 
$$\frac{x^2}{2\hspace{0.17em}\left(z^2+1\right)}$$

Fz = int(f,z)

Fz(x, z) = $$x\hspace{0.17em}\mathrm{atan}\left(z\right)$$

Если вы не задаете переменную интегрирования, то int использует первую переменную, возвращенную symvar как переменная интегрирования.

var = symvar(f,1)

var = $$x$$

F = int(f)

F(x, z) = 
$$\frac{x^2}{2\hspace{0.17em}\left(z^2+1\right)}$$

Интегрируйте символьное выражение от 0 к 1.

syms x
expr = x*log(1+x);
F = int(expr,[0 1])

F = 
$$\frac{1}{4}$$

Интегрируйте другое выражение от sin(t) к 1.

syms t
F = int(2*x,[sin(t) 1])

F = $${\cos \left(t\right)}^2$$

Когда int не может вычислить значение определенного интеграла, численно аппроксимировать интеграл при помощи vpa.

syms x
f = cos(x)/sqrt(1 + x^2);
Fint = int(f,x,[0 10])

Fint = 
$${\int }_0^{10}\frac{\cos \left(x\right)}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x$$

Fvpa = vpa(Fint)

Fvpa = $$0.37570628299079723478493405557162$$

Чтобы аппроксимировать интегралы непосредственно, используйте vpaintegral вместо vpa. vpaintegral функция быстрее и обеспечивает управление допусками интегрирования.

Fvpaint = vpaintegral(f,x,[0 10])

Fvpaint = $$0.375706$$

Задайте символьную матрицу, содержащую четыре выражения как ее элементы.

syms a x t z
M = [exp(t) exp(a*t); sin(t) cos(t)]

M = 
$$\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^t& {\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}\\ \sin \left(t\right)& \cos \left(t\right)\end{array}\right)$$

Найдите неопределенные интегралы матрицы поэлементными.

F = int(M,t)

F = 
$$\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^t& \frac{{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}}{a}\\ -\cos \left(t\right)& \sin \left(t\right)\end{array}\right)$$

Задайте символьную функцию и вычислите ее неопределенный интеграл.

syms f(x)
f(x) = acos(cos(x));
F = int(f,x)

F(x) = 
$$x\hspace{0.17em}\mathrm{acos}\left(\cos \left(x\right)\right)-\frac{x^2}{2\hspace{0.17em}\mathrm{sign}\left(\sin \left(x\right)\right)}$$

По умолчанию, int использует строгие математические правила. Эти правила не позволяют int перепишите acos(cos(x)) как x.

Если вы хотите простое практическое решение, устанавливаете 'IgnoreAnalyticConstraints' к true.

F = int(f,x,'IgnoreAnalyticConstraints',true)

F(x) = 
$$\frac{x^2}{2}$$

Задайте символьное выражение ${\mathit{x}}^{\mathit{t}}$ и вычислите его неопределенный интеграл относительно переменной $$x$$.

syms x t
F = int(x^t,x)

F = 
$$\{\begin{array}{cl}\log \left(x\right)& \text{ if }t=-1\\ \frac{x^{t+1}}{t+1}& \text{ если }t\ne -1\end{array}$$

По умолчанию, int возвращает общие результаты для всех значений другого символьного параметра t. В этом примере, int возвращает два интегральных результата для случая $$t=-1$$ и $$t\ne -1$$.

Чтобы игнорировать особые регистры значений параметров, установите 'IgnoreSpecialCases' к true. При использовании этой опции, int игнорирует особый регистр $$t=-1$$ и возвращает решение для $$t\ne -1$$.

F = int(x^t,x,'IgnoreSpecialCases',true)

F = 
$$\frac{x^{t+1}}{t+1}$$

Задайте символьную функцию $$f(x)=1/(x-1)$$ это имеет полюс в $$x=1$$.

syms x
f(x) = 1/(x-1)

f(x) = 
$$\frac{1}{x-1}$$

Вычислите определенный интеграл этой функции от $$x=0$$ к $$x=2$$. Поскольку интервал интегрирования включает полюс, результат не задан.

F = int(f,[0 2])

F = $$\mathrm{NaN}$$

Однако Главное значение Коши интеграла существует. Чтобы вычислить Главное значение Коши интеграла, установите 'PrincipalValue' к true.

F = int(f,[0 2],'PrincipalValue',true)

F = $$0$$

Найдите интеграл $\int \mathit{x}{\mathit{e}}^{\mathit{x}}\mathit{dx}$.

Задайте интеграл, не оценивая его путем установки 'Hold' опция к true.

syms x g(y)
F = int(x*exp(x),'Hold',true)

F = 
$$\int x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$$

Можно применить интегрирование частями к F при помощи integrateByParts функция. Используйте exp(x) как дифференциал, который будет интегрирован.

G = integrateByParts(F,exp(x))

G = 
$$x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x-\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$$

Оценивать интеграл в G, используйте release функция, чтобы проигнорировать 'Hold' опция.

Gcalc = release(G)

Gcalc = $$x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x$$

Сравните результат с результатом интегрирования, возвращенным int не устанавливая 'Hold' опция.

Fcalc = int(x*exp(x))

Fcalc = $${\mathrm{e}}^x\hspace{0.17em}\left(x-1\right)$$

Если int не может вычислить закрытую форму интеграла, затем это возвращает неразрешенный интеграл.

syms f(x)
f(x) = sin(sinh(x));
F = int(f,x)

F(x) = 
$$\int \sin \left(\sinh \left(x\right)\right)\mathrm{d}x$$

Можно аппроксимировать функцию подынтегрального выражения $$f(x)$$ как полиномы при помощи Разложения Тейлора. Примените taylor расширять функцию подынтегрального выражения $$f(x)$$ как полиномы вокруг $$x=0$$. Вычислите интеграл аппроксимированных полиномов.

fTaylor = taylor(f,x,'ExpansionPoint',0,'Order',10)

fTaylor(x) = 
$$\frac{x^9}{5670}-\frac{x^7}{90}-\frac{x^5}{15}+x$$

Fapprox = int(fTaylor,x)

Fapprox(x) = 
$$\frac{x^{10}}{56700}-\frac{x^8}{720}-\frac{x^6}{90}+\frac{x^2}{2}$$