Получите MODWT электрокардиограммы (ECG) использование сигнала sym4 по умолчанию вейвлет вниз к максимальному уровню. Данные взяты из Percival & Walden (2000), p.125 (данные, первоначально обеспеченные Уильямом Константином и На Reinhall, Вашингтонский университет).

load wecg;
wtecg = modwt(wecg);
whos wtecg

  Name        Size               Bytes  Class     Attributes

  wtecg      12x2048            196608  double              

Первые одиннадцать строк wtecg коэффициенты вейвлета для шкал $$2^1$$ к $$2^{11}$$. Итоговая строка содержит масштабные коэффициенты в шкале $$2^{11}$$. Постройте деталь (вейвлет) коэффициенты для шкалы $$2^3$$.

plot(wtecg(3,:))
title('Level 3 Wavelet Coefficients')

Получите MODWT южных данных об индексе Колебания с db2 вейвлет вниз к максимальному уровню.

load soi;
wsoi = modwt(soi,'db2');

Получите MODWT немецкой марки - данные об обменном курсе доллара США с помощью длины Фейера-Коровкина 8 масштабирований и фильтры вейвлета.

load DM_USD;
[Lo,Hi] = wfilters('fk8');
wdm = modwt(DM_USD,Lo,Hi);

Получите MODWT сигнала ECG вниз, чтобы масштабироваться $$2^4$$, который соответствует уровню четыре. Используйте sym4 по умолчанию вейвлет. Данные взяты из Percival & Walden (2000), p.125 (данные, первоначально обеспеченные Уильямом Константином и На Reinhall, Вашингтонский университет).

load wecg;
wtecg = modwt(wecg,4);
whos wecg wtecg

  Name          Size              Bytes  Class     Attributes

  wecg       2048x1               16384  double              
  wtecg         5x2048            81920  double              

Размер строки wtecg L+1, где в этом случае уровень (L) равняется 4. Размер столбца совпадает с количеством входных выборок.

Получите MODWT сигнала ECG использование отражательной граничной обработки. Используйте sym4 по умолчанию вейвлет и получает преобразование вниз к уровню 4. Данные взяты из Percival & Walden (2000), p.125 (данные, первоначально обеспеченные Уильямом Константином и На Reinhall, Вашингтонский университет).

load wecg;
wtecg = modwt(wecg,4,'reflection');
whos wecg wtecg

  Name          Size               Bytes  Class     Attributes

  wecg       2048x1                16384  double              
  wtecg         5x4096            163840  double              

wtecg имеет 4 096 столбцов, который является дважды длиной входного сигнала, wecg.

Загрузите 23 канала данные EEG Espiga3 [3]. Каналы располагаются по столбцам. Данные производятся на уровне 200 Гц.

load Espiga3

Вычислите максимальное перекрытие, которое дискретный вейвлет преобразовывает вниз к максимальному уровню.

wt = modwt(Espiga3);

Получите энергии сигнала в квадрате и сравните их с энергиями в квадрате, полученными из подведения итогов коэффициентов вейвлета по всем уровням. Используйте налог на энергоресурсы в квадрате журналом для непропорционально большой энергии в одном компоненте.

sigN2 = vecnorm(Espiga3).^2;
wtN2 = sum(squeeze(vecnorm(wt,2,2).^2));
bar(1:23,log(sigN2))
hold on
scatter(1:23,log(wtN2),'filled','SizeData',100)
alpha(0.75)
legend('Signal Energy','Energy in Wavelet Coefficients', ...
        'Location','NorthWest')
xlabel('Channel')
ylabel('ln(squared energy)')

Этот пример демонстрирует различия между функциями MODWT и MODWTMRA. Разделы MODWT энергия сигнала через коэффициенты детали и масштабные коэффициенты. Проекты MODWTMRA сигнал на подпространства вейвлета и масштабирующееся подпространство.

Выберите sym6 вейвлет. Загрузите и постройте электрокардиограмму (ECG) сигнал. Частота дискретизации для сигнала ECG составляет 180 герц. Данные взяты от Персиваля и Уолдена (2000), p.125 (данные, первоначально обеспеченные Уильямом Константином и На Reinhall, Вашингтонский университет).

load wecg
t = (0:numel(wecg)-1)/180;
wv = 'sym6';
plot(t,wecg)
grid on
title(['Signal Length = ',num2str(numel(wecg))])
xlabel('Time (s)')
ylabel('Amplitude')

Возьмите MODWT сигнала.

wtecg = modwt(wecg,wv);

Входные данные являются выборками функции $$f(x)$$ оцененный в $$N$$- много моментов времени. Функция может быть описана как линейная комбинация масштабирующейся функции $$\varphi (x)$$ и вейвлет $$\psi (x)$$в различных шкалах и переводах: $$f(x)=\sum _{k=0}^{N-1}{c}_k{2}^{-J_0/2}\varphi (2^{-J_0}x-k)+\sum _{j=1}^{J_0}{f}_j(x)$$ где $$f_j(x)=\sum _{k=0}^{N-1}{d}_{j,k}{2}^{-j/2}\psi (2^{-j}x-k)$$ и $$J_0$$ количество уровней разложения вейвлета. Первая сумма является крупным приближением шкалы сигнала, и $$f_j(x)$$ детали в последовательных шкалах. MODWT возвращается $$N$$- много коэффициентов $$\{c_k\}$$и $$(J_0\times N)$$- много коэффициентов детали $$\{d_{j,k}\}$$ из расширения. Каждая строка в wtecg содержит коэффициенты в различной шкале.

При взятии MODWT сигнала длины $$N$$, существуют $$\text{floor}({\log }_2(N))$$- много уровней разложения (по умолчанию). Коэффициенты детали производятся на каждом уровне. Масштабные коэффициенты возвращены только для итогового уровня. В этом примере, с тех пор $$N=2048$$, $$J_0=\text{пол}(\log 2(2048))=11$$ и количество строк в wtecg $$J_0+1=11+1=12$$.

Разделы MODWT энергия через различные шкалы и масштабные коэффициенты: $${||X||}^2=\sum _{j=1}^{J_0}{||W_j||}^2+{||V_{J_0}||}^2$$ где $$X$$ входные данные, $$W_j$$ коэффициенты детали в шкале $$j$$, и $$V_{J_0}$$ масштабные коэффициенты итогового уровня.

Вычислите энергию в каждой шкале и оцените их сумму.

energy_by_scales = sum(wtecg.^2,2);
Levels = {'D1';'D2';'D3';'D4';'D5';'D6';'D7';'D8';'D9';'D10';'D11';'A11'};
energy_table = table(Levels,energy_by_scales);
disp(energy_table)

    Levels     energy_by_scales
    _______    ________________

    {'D1' }         14.063     
    {'D2' }         20.612     
    {'D3' }         37.716     
    {'D4' }         25.123     
    {'D5' }         17.437     
    {'D6' }         8.9852     
    {'D7' }         1.2906     
    {'D8' }         4.7278     
    {'D9' }         12.205     
    {'D10'}         76.428     
    {'D11'}         76.268     
    {'A11'}         3.4192     

energy_total = varfun(@sum,energy_table(:,2))

energy_total=table
    sum_energy_by_scales
    ____________________

           298.28       

Подтвердите, что MODWT является сохранением энергии путем вычисления энергии сигнала и сравнения его с суммой энергий по всем шкалам.

energy_ecg = sum(wecg.^2);
max(abs(energy_total.sum_energy_by_scales-energy_ecg))

ans = 7.4402e-10

Возьмите MODWTMRA сигнала.

mraecg = modwtmra(wtecg,wv);

MODWTMRA возвращает проекции функции $$f(x)$$ на различные подпространства вейвлета и итоговый пробел масштабирования. Таким образом, MODWTMRA возвращается $$\sum _{k=0}^{N-1}{c}_k{2}^{-J_0/2}\varphi (2^{-J_0}x-k)$$и $$J_0$$- многие $$\{f_j(x)\}$$оцененный в $$N$$- много моментов времени. Каждая строка в mraecg проекция $$f(x)$$ на различное подпространство. Это означает, что исходный сигнал может быть восстановлен путем добавления всех проекций. Это не верно в случае MODWT. Добавление коэффициентов в wtecg не восстановит исходный сигнал.

Выберите момент времени, добавьте проекции $$f(x)$$ оцененный в то время указывают и соответствуют исходному сигналу.

time_point = 1000;
abs(sum(mraecg(:,time_point))-wecg(time_point))

ans = 3.0846e-13

Подтвердите, что, в отличие от MODWT, MODWTMRA не является сохраняющим энергию преобразованием.

energy_ecg = sum(wecg.^2);
energy_mra_scales = sum(mraecg.^2,2);
energy_mra = sum(energy_mra_scales);
max(abs(energy_mra-energy_ecg))

ans = 115.7053

MODWTMRA является фильтрацией нулевой фазы сигнала. Функции будут выровнены временем. Продемонстрируйте это путем графического вывода исходного сигнала и одной из его проекций. Чтобы лучше проиллюстрировать выравнивание, увеличить масштаб.

plot(t,wecg,'b')
hold on
plot(t,mraecg(4,:),'-')
hold off
grid on
xlim([4 8])
legend('Signal','Projection','Location','northwest')
xlabel('Time (s)')
ylabel('Amplitude')

Сделайте подобный график с помощью коэффициентов MODWT в той же шкале. Обратите внимание на то, что функции не будут выровнены временем. MODWT не является фильтрацией нулевой фазы входа.

plot(t,wecg,'b')
hold on
plot(t,wtecg(4,:),'-')
hold off
grid on
xlim([4 8])
legend('Signal','Coefficients','Location','northwest')
xlabel('Time (s)')
ylabel('Amplitude')