Документация

Задача с начальными значениями

vanderpoldemo является функцией, которая задает уравнение Ван дер Поля

type vanderpoldemo

function dydt = vanderpoldemo(t,y,Mu)
%VANDERPOLDEMO Defines the van der Pol equation for ODEDEMO.

% Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydt = [y(2); Mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

Уравнение записано как система двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (ОДУ). Эти уравнения оценены для различных значений параметра. Для более быстрого интегрирования необходимо выбрать соответствующий решатель на основе значения.

Поскольку, любой из решателей ОДУ MATLAB может решить уравнение Ван дер Поля эффективно. Решатель ode45 является одним таким примером. Уравнение решено в области с начальными условиями и.

tspan = [0 20];
y0 = [2; 0];
Mu = 1;
ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
[t,y] = ode45(ode, tspan, y0);

% Plot solution
plot(t,y(:,1))
xlabel('t')
ylabel('solution y')
title('van der Pol Equation, \mu = 1')

Для больших значений проблема становится жесткой. Эта метка для проблем, которые сопротивляются попыткам, которые будут оценены с обычными методами. Вместо этого специальные численные методы необходимы для интеграции FAST. ode15s, ode23s, ode23t и функции ode23tb могут решить жесткие проблемы эффективно.

Это решение уравнения Ван дер Поля для использования ode15s с теми же начальными условиями. Необходимо протянуть отрезок времени решительно к смочь видеть периодическое перемещение решения.

tspan = [0, 3000];
y0 = [2; 0];
Mu = 1000;
ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
[t,y] = ode15s(ode, tspan, y0);

plot(t,y(:,1))
title('van der Pol Equation, \mu = 1000')
axis([0 3000 -3 3])
xlabel('t')
ylabel('solution y')

Краевые задачи

bvp4c и bvp5c решают краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Функции, взятой в качестве примера, twoode записали дифференциальное уравнение как систему двух ОДУ первого порядка. Дифференциальное уравнение

type twoode

function dydx = twoode(x,y)
%TWOODE  Evaluate the differential equations for TWOBVP.
%
%   See also TWOBC, TWOBVP.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydx = [ y(2); -abs(y(1)) ];

Функциональный twobc имеет граничные условия для проблемы: и.

type twobc

function res = twobc(ya,yb)
%TWOBC  Evaluate the residual in the boundary conditions for TWOBVP.
%
%   See also TWOODE, TWOBVP.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

res = [ ya(1); yb(1) + 2 ];

До вызова bvp4c необходимо обеспечить предположение для решения, которое вы хотите представленный в mesh. Решатель затем адаптирует mesh, когда это совершенствовало решение.

Функция bvpinit собирает исходное предположение в форме, можно передать решателю bvp4c. Для сетки [0 1 2 3 4] и постоянных предположений и, вызов bvpinit:

solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[1; 0]);

С этим исходным предположением можно решить проблему с bvp4c. Оцените решение, возвращенное bvp4c в некоторых точках с помощью deval, и затем постройте график получившихся значений.

sol = bvp4c(@twoode, @twobc, solinit);

xint = linspace(0, 4, 50);
yint = deval(sol, xint);
plot(xint, yint(1,:));
xlabel('x')
ylabel('solution y')
hold on

Эта конкретная краевая задача имеет точно два решения. Можно получить другое решение путем изменения исходных предположений на и.

solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[-1; 0]);
sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit);

xint = linspace(0,4,50);
yint = deval(sol,xint);
plot(xint,yint(1,:));
legend('Solution 1','Solution 2')
hold off

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

dde23, ddesd и ddensd решают дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом с различными задержками. Примеры ddex1, ddex2, ddex3, ddex4 и ddex5 формируют мини-пример при использовании этих решателей.

Пример ddex1 показывает, как решить систему дифференциальных уравнений

Можно представлять эти уравнения с анонимной функцией

ddex1fun = @(t,y,Z) [Z(1,1); Z(1,1)+Z(2,2); y(2)];

История проблемы (для) является постоянной:

Можно представлять историю как вектор из единиц.

ddex1hist = ones(3,1);

Двухэлементный вектор представляет задержки системы уравнений.

lags = [1 0.2];

Передайте функцию, задержки, историю решения и интервал intergation к решателю как входные параметры. Решатель производит непрерывное решение на целом интервале интегрирования, которое подходит для графического изображения.

sol = dde23(ddex1fun, lags, ddex1hist, [0 5]);

plot(sol.x,sol.y);
title({'An example of Wille and Baker', 'DDE with Constant Delays'});
xlabel('time t');
ylabel('solution y');
legend('y_1','y_2','y_3','Location','NorthWest');

Дифференциальные уравнения с частными производными

pdepe решает дифференциальные уравнения с частными производными в одной пространственной переменной и время. Примеры pdex1, pdex2, pdex3, pdex4 и pdex5 формируют мини-пример при использовании pdepe.

Эта проблема в качестве примера использует функции pdex1pde, pdex1ic и pdex1bc.

pdex1pde задает дифференциальное уравнение

type pdex1pde

function [c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,DuDx)
%PDEX1PDE  Evaluate the differential equations components for the PDEX1 problem.
%
%   See also PDEPE, PDEX1.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

c = pi^2;
f = DuDx;
s = 0;

pdex1ic настраивает начальное условие

type pdex1ic

function u0 = pdex1ic(x)
%PDEX1IC  Evaluate the initial conditions for the problem coded in PDEX1.
%
%   See also PDEPE, PDEX1.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

u0 = sin(pi*x);

pdex1bc настраивает граничные условия

type pdex1bc

function [pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t)
%PDEX1BC  Evaluate the boundary conditions for the problem coded in PDEX1.
%
%   See also PDEPE, PDEX1.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

pl = ul;
ql = 0;
pr = pi * exp(-t);
qr = 1;

pdepe требует пространственной дискретизации x и вектор времен t (в котором вы хотите снимок состояния решения). Решите проблему с помощью сетки 20 узлов и запросите решение в пяти значениях t. Извлеките и постройте график первого компонента решения.

x = linspace(0,1,20);
t = [0 0.5 1 1.5 2];
sol = pdepe(0,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t);

u1 = sol(:,:,1);

surf(x,t,u1);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');