Матричный A = delsq(numgrid('C',15)) является симметричной положительной определенной матрицей с собственными значениями, обоснованно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите шесть самых больших собственных значений значения.

A = delsq(numgrid('C',15));
d = eigs(A)

d = 6×1

    7.8666
    7.7324
    7.6531
    7.5213
    7.4480
    7.3517

Задайте второй входной параметр, чтобы вычислить определенное количество самых больших собственных значений.

d = eigs(A,3)

d = 3×1

    7.8666
    7.7324
    7.6531

Матричный A = delsq(numgrid('C',15)) является симметричной положительной определенной матрицей с собственными значениями, обоснованно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите пять самых маленьких собственных значений.

A = delsq(numgrid('C',15));  
d = eigs(A,5,'smallestabs')

d = 5×1

    0.1334
    0.2676
    0.3469
    0.4787
    0.5520

Создайте 1500 1500 случайную разреженную матрицу с 25%-й аппроксимированной плотностью ненулевых элементов.

n = 1500;
A = sprand(n,n,0.25);

Найдите LU-факторизацию матрицы, возвратив вектор перестановки p, который удовлетворяет A(p,:) = L*U.

[L,U,p] = lu(A,'vector');

Создайте указатель на функцию Afun, который признает, что вектор ввел x, и использует результаты разложения LU к, в действительности, возвратите A\x.

Afun = @(x) U\(L\(x(p)));

Вычислите шесть самых маленьких собственных значений значения с помощью eigs с указателем на функцию Afun. Второй входной параметр является размером A.

d = eigs(Afun,1500,6,'smallestabs')

d = 6×1 complex

   0.1423 + 0.0000i
   0.4859 + 0.0000i
  -0.3323 - 0.3881i
  -0.3323 + 0.3881i
   0.1019 - 0.5381i
   0.1019 + 0.5381i

west0479 является с действительным знаком 479 479 разреженная матрица и с действительными и с комплексными парами сопряженных собственных значений.

Загрузите матрицу west0479, затем вычислите и постройте график всех собственных значений с помощью eig. Поскольку собственные значения являются комплексными, plot автоматически использует действительные части в качестве x-координат и мнимых частей как y-координаты.

load west0479
A = west0479;
d = eig(full(A));
plot(d,'+')

Собственные значения кластеризируются вдоль действительной строки (ось X), особенно около источника.

eigs имеет несколько опций для sigma, который может выбрать самые большие или самые маленькие собственные значения переменных типов. Вычислите и постройте график некоторых собственных значений для каждого из доступных параметров для sigma.

figure
plot(d, '+')
hold on
la = eigs(A,6,'largestabs');
plot(la,'ro')
sa = eigs(A,6,'smallestabs');
plot(sa,'go')
hold off
legend('All eigenvalues','Largest magnitude','Smallest magnitude')
xlabel('Real axis')
ylabel('Imaginary axis')

figure
plot(d, '+')
hold on
ber = eigs(A,4,'bothendsreal');
plot(ber,'r^')
bei = eigs(A,4,'bothendsimag');
plot(bei,'g^')
hold off
legend('All eigenvalues','Both ends real','Both ends imaginary')
xlabel('Real axis')
ylabel('Imaginary axis')

figure
plot(d, '+')
hold on
lr = eigs(A,3,'largestreal');
plot(lr,'ro')
sr = eigs(A,3,'smallestreal');
plot(sr,'go')
li = eigs(A,3,'largestimag','SubspaceDimension',45);
plot(li,'m^')
si = eigs(A,3,'smallestimag','SubspaceDimension',45);
plot(si,'c^')
hold off
legend('All eigenvalues','Largest real','Smallest real','Largest imaginary','Smallest imaginary')
xlabel('Real axis')
ylabel('Imaginary axis')

Создайте симметричную положительную определенную разреженную матрицу.

A = delsq(numgrid('C', 150));

Вычислите шесть самых маленьких действительных собственных значений с помощью 'smallestreal', который использует метод Крылова с помощью A.

tic
d = eigs(A, 6, 'smallestreal')

d = 6×1

    0.0013
    0.0025
    0.0033
    0.0045
    0.0052
    0.0063

toc

Elapsed time is 2.129904 seconds.

Вычислите те же собственные значения с помощью 'smallestabs', который использует метод Крылова с помощью инверсии A.

tic
dsm = eigs(A, 6, 'smallestabs')

dsm = 6×1

    0.0013
    0.0025
    0.0033
    0.0045
    0.0052
    0.0063

toc

Elapsed time is 0.234232 seconds.

Собственные значения кластеризируются около нуля. Вычисление 'smallestreal' изо всех сил пытается сходиться с помощью A, поскольку разрыв между собственными значениями является настолько маленьким. С другой стороны опция 'smallestabs' использует инверсию A, и поэтому инверсию собственных значений A, которые имеют намного больший разрыв и поэтому легче вычислить. Эта улучшенная производительность прибывает за счет разложения на множители A, который не необходим с 'smallestreal'.

Вычислите собственные значения около числового значения sigma, которое почти равно собственному значению.

Матричный A = delsq(numgrid('C',30)) является симметричной положительной определенной матрицей размера 632 с собственными значениями, обоснованно хорошо распределенными в интервале (0 8), но с 18 собственными значениями, повторенными в 4,0. Чтобы вычислить некоторые собственные значения около 4.0, разумно попробовать вызов функции eigs(A,20,4.0). Однако этот вызов вычисляет самые большие собственные значения инверсии A - 4.0*I, где I является единичной матрицей. Поскольку 4.0 собственное значение A, эта матрица сингулярна и поэтому не имеет инверсии. eigs приводит к сбою и производит сообщение об ошибке. Числовое значение sigma не может быть точно равно собственному значению. Вместо этого необходимо использовать значение sigma, который является рядом, но не равен 4,0, чтобы найти те собственные значения.

Вычислите все собственные значения с помощью eig и этих 20 собственных значений, самых близких к 4 - 1e-6 использование eigs, чтобы сравнить результаты. Постройте график собственных значений, вычисленных с каждым методом.

A = delsq(numgrid('C',30)); 
sigma = 4 - 1e-6;
d = eig(A);
D = sort(eigs(A,20,sigma));

plot(d(307:326),'ks')
hold on
plot(D,'k+')
hold off
legend('eig(A)','eigs(A,20,sigma)') 
title('18 Repeated Eigenvalues of A')

Создайте разреженные случайные матрицы A и B, что у обоих есть низкая плотность ненулевых элементов.

B = sprandn(1e3,1e3,0.001) + speye(1e3); 
B = B'*B; 
A = sprandn(1e3,1e3,0.005); 
A = A+A';

Найдите разложение Холесского матричного B, с помощью трех выходных параметров, чтобы возвратить вектор перестановки s и тестовое значение p.

[R,p,s] = chol(B,'vector');
p

p = 0

Поскольку p является нулем, B является симметричной положительной определенной матрицей, которая удовлетворяет B(s,s) = R'*R.

Вычислите шесть самых больших собственных значений значения и собственные вектора обобщенной задачи о собственных значениях, включающей A и R. Поскольку R является Фактор Холесского B, задайте 'IsCholesky' как true. Кроме того, начиная с B(s,s) = R'*R и таким образом R = chol(B(s,s)), используйте вектор перестановки s в качестве значения 'CholeskyPermutation'.

[V,D,flag] = eigs(A,R,6,'largestabs','IsCholesky',true,'CholeskyPermutation',s);
flag

flag = 0

Поскольку flag является нулем, все собственные значения сходились.