Матричный A = delsq(numgrid('C',15)) является симметричной положительной определенной матрицей с сингулярными значениями, обоснованно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите шесть самых больших сингулярных значений.

A = delsq(numgrid('C',15));
s = svds(A)

s = 6×1

    7.8666
    7.7324
    7.6531
    7.5213
    7.4480
    7.3517

Задайте второй входной параметр, чтобы вычислить определенное количество самых больших сингулярных значений.

s = svds(A,3)

s = 3×1

    7.8666
    7.7324
    7.6531

Матричный A = delsq(numgrid('C',15)) является симметричной положительной определенной матрицей с сингулярными значениями, обоснованно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите пять самых маленьких сингулярных значений.

A = delsq(numgrid('C',15));
s = svds(A,5,'smallest')

s = 5×1

    0.5520
    0.4787
    0.3469
    0.2676
    0.1334

Создайте разреженное 100 100 Нейманова матрица.

C = gallery('neumann',100);

Вычислите десять самых маленьких сингулярных значений.

ss = svds(C,10,'smallest')

ss = 10×1

    0.9828
    0.9049
    0.5625
    0.5625
    0.4541
    0.4506
    0.2256
    0.1139
    0.1139
         0

Вычислите 10 самых маленьких ненулевых сингулярных значений. Поскольку матрица имеет сингулярное значение, которое равно нулю, опция 'smallestnz' не использует его.

snz = svds(C,10,'smallestnz')

snz = 10×1

    0.9828
    0.9828
    0.9049
    0.5625
    0.5625
    0.4541
    0.4506
    0.2256
    0.1139
    0.1139

west0479 является с действительным знаком 479 479 разреженная матрица. Матрица имеет несколько больших сингулярных значений и много маленьких сингулярных значений.

Загрузите west0479 и сохраните его как A.

load west0479
A = west0479;

Вычислите сингулярное разложение A, возвратив шесть самых больших сингулярных значений и соответствующие сингулярные векторы. Задайте четвертый выходной аргумент, чтобы проверить сходимость сингулярных значений.

[U,S,V,cflag] = svds(A);
cflag

cflag = 0

cflag указывает, что все сингулярные значения сходились. Сингулярные значения находятся на диагонали выходной матрицы S.

s = diag(S)

s = 6×1
105 ×

    3.1895
    3.1725
    3.1695
    3.1685
    3.1669
    0.3038

Проверьте результаты путем вычисления полного сингулярного разложения A. Преобразуйте A в полную матрицу и используйте svd.

[U1,S1,V1] = svd(full(A));

Постройте график шести самых больших сингулярных значений A, вычисленного svd и svds с помощью логарифмического масштаба.

s2 = diag(S1);
semilogy(s2(1:6),'r.')
hold on
semilogy(s,'ro','MarkerSize',10)
title('Singular Values of west0479')
legend('svd','svds')

Создайте разреженную диагональную матрицу и вычислите шесть самых больших сингулярных значений.

A = diag(sparse([1e4*ones(1, 8) 1e4:-1:1]));
s = svds(A)

Warning: Only 2 of the 6 requested singular values converged. Singular values that did not converge are NaN.

s = 6×1
104 ×

    1.0000
    0.9999
       NaN
       NaN
       NaN
       NaN

Алгоритм svds производит предупреждение, поскольку максимальное количество итераций выполнялось, но допуску нельзя было соответствовать.

Самый эффективный способ обратиться к проблемам сходимости состоит в том, чтобы увеличить максимальный размер подпространства Крылова, используемого в вычислении при помощи большего значения для 'SubspaceDimension'. Сделайте это путем передачи в паре "имя-значение" 'SubspaceDimension' со значением 60.

s = svds(A,6,'largest','SubspaceDimension',60)

s = 6×1
104 ×

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

Вычислите 10 самых маленьких сингулярных значений почти сингулярной матрицы.

rng default
format shortg
B = spdiags([repelem([1; 1e-7], [198, 2]) ones(200, 1)], [0 1], 200, 200);
s1 = svds(B,10,'smallest')

Warning: Large residual norm detected. This is likely due to bad condition of the input matrix (condition number 1.0008e+16).

s1 = 10×1

       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
      0.25927
   7.0888e-16

Предупреждение указывает, что svds не удается вычислить соответствующие сингулярные значения. Отказ с svds из-за разрыва между самыми маленькими и вторыми самыми маленькими сингулярными значениями. svds(...,'smallest') должен инвертировать B, который приводит к большой числовой ошибке.

Для сравнения вычислите точные сингулярные значения с помощью svd.

s = svd(full(B));
s = s(end-9:end)

s = 10×1

      0.14196
      0.12621
      0.11045
     0.094686
     0.078914
     0.063137
     0.047356
     0.031572
     0.015787
   7.0888e-16

В порядке воспроизвести это вычисление с svds, сделайте разложение QR B. Сингулярные значения треугольной матрицы R эквивалентны для B.

[Q,R,p] = qr(B,0);

Постройте график нормы каждой строки R.

rownormR = sqrt(diag(R*R'));
semilogy(rownormR)
hold on;
semilogy(size(R, 1), rownormR(end), 'ro')

Последняя запись в R является почти нулем, который вызывает нестабильность в решении.

Препятствуйте тому, чтобы эта запись повредила хорошие части решения, установив последнюю строку R быть точно нулем.

R(end,:) = 0;

Используйте svds, чтобы найти 10 самых маленьких сингулярных значений R. Результаты сопоставимы с полученными svd.

sr = svds(R,10,'smallest')

sr = 10×1

      0.14196
      0.12621
      0.11045
     0.094686
     0.078914
     0.063137
     0.047356
     0.031572
     0.015787
            0

Чтобы вычислить сингулярные векторы B с помощью этого метода, преобразуйте левые и правые сингулярные векторы с помощью Q и вектора перестановки p.

[U,S,V] = svds(R,20,'s');
U = Q*U;
V(p,:) = V;