Численное интегрирование
q = integral(fun,xmin,xmax)q = integral(fun,xmin,xmax,Name,Value)q = integral(fun,xmin,xmax) fun от xmin до xmax с помощью глобальной адаптивной квадратуры и ошибочных допусков по умолчанию.
q = integral(fun,xmin,xmax,Name,Value) Name,Value. Например, задайте 'WayPoints', сопровождаемый вектором вещественных или комплексных чисел, чтобы указать на отдельные моменты для интегратора, чтобы использовать.
Создайте функцию
.
fun = @(x) exp(-x.^2).*log(x).^2;
Оцените интеграл от x=0 до x=Inf.
q = integral(fun,0,Inf)
q = 1.9475
Создайте функцию
с одним параметром
.
fun = @(x,c) 1./(x.^3-2*x-c);
Оцените интеграл от x=0 до x=2 в c=5.
q = integral(@(x)fun(x,5),0,2)
q = -0.4605
Создайте функцию
.
fun = @(x)log(x);
Оцените интеграл от x=0 до x=1 с ошибочными допусками по умолчанию.
format long
q1 = integral(fun,0,1)q1 = -1.000000010959678
Оцените интеграл снова, задав 12 десятичных разрядов точности.
q2 = integral(fun,0,1,'RelTol',0,'AbsTol',1e-12)
q2 = -1.000000000000010
Создайте функцию
.
fun = @(z) 1./(2*z-1);
Интегрируйтесь в комплексной плоскости по треугольному пути от 0 до 1+1i к 1-1i к 0 путем определения waypoints.
q = integral(fun,0,0,'Waypoints',[1+1i,1-1i])q = 0.0000 - 3.1416i
Создайте функцию с векторным знаком
и интегрируйтесь от x=0 до x=1. Задайте 'ArrayValued',true, чтобы оценить интеграл функции с векторным знаком или со знаком массива.
fun = @(x)sin((1:5)*x);
q = integral(fun,0,1,'ArrayValued',true)q = 1×5
0.4597 0.7081 0.6633 0.4134 0.1433
Создайте функцию
.
fun = @(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);
Оцените интеграл от x=0 до x=Inf, настроив абсолютные и относительные допуски.
format long q = integral(fun,0,Inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-13)
q = -14.999999999998364
Не используйте waypoints, чтобы задать особенности. Вместо этого разделите интервал и добавьте, что результаты разделяют интегрирования особенностями в конечных точках.
Функция integral пытается удовлетворить:
abs(q - Q) <= max(AbsTol,RelTol*abs(q))
q является вычисленным значением интеграла, и Q является (неизвестным) точным значением. Абсолютные и относительные допуски обеспечивают способ обменять точность и время вычисления. Обычно, относительный допуск определяет точность интегрирования. Однако, если abs(q) является достаточно маленьким, абсолютный допуск определяет точность интегрирования. Необходимо обычно задавать и абсолютные и относительные допуски вместе. Если вы задаете комплексное значение для xmin, xmax, или любой waypoint, все ваши пределы и waypoints должны быть конечными.
Если вы задаете пределы с одинарной точностью интегрирования, или если fun возвращает результаты с одинарной точностью, вы можете должны быть задать большие допуски абсолютной и относительной погрешности.
[1] L.F. Шемпин “Векторизовал Адаптивную Квадратуру в MATLAB®”, Журнал Вычислительной и Прикладной математики, 211, 2008, pp.131–140.