Численно оцените двойной интеграл
q = integral2(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)q = integral2(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,Name,Value)Функция
не определено, когда
и
нуль. integral2 выполняет лучше всего, когда особенности находятся на контуре интегрирования.
Создайте анонимную функцию.
fun = @(x,y) 1./( sqrt(x + y) .* (1 + x + y).^2 )
fun = function_handle with value:
@(x,y)1./(sqrt(x+y).*(1+x+y).^2)
Интегрируйтесь по треугольной области, ограниченной
и
.
ymax = @(x) 1 - x; q = integral2(fun,0,1,0,ymax)
q = 0.2854
Задайте функцию
fun = @(x,y) 1./( sqrt(x + y) .* (1 + x + y).^2 ); polarfun = @(theta,r) fun(r.*cos(theta),r.*sin(theta)).*r;
Задайте функцию для верхнего предела
.
rmax = @(theta) 1./(sin(theta) + cos(theta));
Интегрируйтесь по области, ограниченной
и
.
q = integral2(polarfun,0,pi/2,0,rmax)
q = 0.2854
Создайте анонимную параметризованную функцию
с параметрами
и
.
a = 3; b = 5; fun = @(x,y) a*x.^2 + b*y.^2;
Оцените интеграл по области
и
. Задайте метод 'iterated' и приблизительно 10 значительных цифр точности.
format long q = integral2(fun,0,5,-5,0,'Method','iterated',... 'AbsTol',0,'RelTol',1e-10)
q =
1.666666666666666e+03
Функция integral2 пытается удовлетворить:
abs(q - Q) <= max(AbsTol,RelTol*abs(q))
q является вычисленным значением интеграла, и Q является (неизвестным) точным значением. Абсолютные и относительные допуски обеспечивают способ обменять точность и время вычисления. Обычно, относительный допуск определяет точность интегрирования. Однако, если abs(q) является достаточно маленьким, абсолютный допуск определяет точность интегрирования. Необходимо обычно задавать и абсолютные и относительные допуски вместе. Метод 'iterated' может быть более эффективным, когда ваша функция имеет разрывы в области интегрирования. Однако лучшая производительность и точность происходят, когда вы разделяете интеграл в точках разрыва и суммируете результаты нескольких интегрирований.
Когда интеграция по непрямоугольным областям, лучшей производительности и точности происходит, когда ymin, ymax, (или оба) являются указателями на функцию. Постарайтесь не устанавливать значения функции подынтегрального выражения обнулять, чтобы интегрироваться по непрямоугольной области. Если необходимо сделать это, задайте метод 'iterated'.
Используйте метод 'iterated', когда ymin, ymax, (или оба) будут неограниченными функциями.
При параметризации анонимных функций, знать, что значения параметров сохраняются для жизни указателя на функцию. Например, функциональный fun = @(x,y) x + y + a использует значение a в то время, когда fun был создан. Если вы позже решаете изменить значение a, необходимо переопределить анонимную функцию с новым значением.
Если вы задаете пределы с одинарной точностью интегрирования, или если fun возвращает результаты с одинарной точностью, вы можете должны быть задать большие допуски абсолютной и относительной погрешности.
[1] L.F. Шемпин “Векторизовал Адаптивную Квадратуру в MATLAB®”, Журнал Вычислительной и Прикладной математики, 211, 2008, pp.131–140.
[2] L.F. Шемпин, "Программа MATLAB для Квадратуры в 2D". Прикладная математика и Вычисление. Издание 202, Выпуск 1, 2008, стр 266–274.