Численно оцените тройной интеграл
q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,Name,Value)Задайте анонимную функцию
.
fun = @(x,y,z) y.*sin(x)+z.*cos(x)
fun = function_handle with value:
@(x,y,z)y.*sin(x)+z.*cos(x)
Интегрируйтесь по области
, и
.
q = integral3(fun,0,pi,0,1,-1,1)
q = 2.0000
Задайте анонимную функцию
.
fun = @(x,y,z) x.*cos(y) + x.^2.*cos(z)
fun = function_handle with value:
@(x,y,z)x.*cos(y)+x.^2.*cos(z)
Задайте пределы интегрирования.
xmin = -1; xmax = 1; ymin = @(x)-sqrt(1 - x.^2); ymax = @(x) sqrt(1 - x.^2); zmin = @(x,y)-sqrt(1 - x.^2 - y.^2); zmax = @(x,y) sqrt(1 - x.^2 - y.^2);
Оцените определенный интеграл с методом 'tiled'.
q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,'Method','tiled')
q = 0.7796
Задайте анонимную параметризованную функцию
.
a = 2; f = @(x,y,z) 10./(x.^2 + y.^2 + z.^2 + a);
Оцените тройной интеграл по области
, и
.
format long
q1 = integral3(f,-Inf,0,-100,0,-100,0)q1 =
2.734244598320928e+03
Оцените интеграл снова и задайте точность приблизительно к 9 значительным цифрам.
q2 = integral3(f,-Inf,0,-100,0,-100,0,'AbsTol', 0,'RelTol',1e-9)
q2 =
2.734244599944285e+03
Функция integral3 пытается удовлетворить:
abs(q - Q) <= max(AbsTol,RelTol*abs(q))
q является вычисленным значением интеграла, и Q является (неизвестным) точным значением. Абсолютные и относительные допуски обеспечивают способ обменять точность и время вычисления. Обычно, относительный допуск определяет точность интегрирования. Однако, если abs(q) является достаточно маленьким, абсолютный допуск определяет точность интегрирования. Необходимо обычно задавать и абсолютные и относительные допуски вместе. Метод 'iterated' может быть более эффективным, когда ваша функция имеет разрывы в области интегрирования. Однако лучшая производительность и точность происходят, когда вы разделяете интеграл в точках разрыва и суммируете результаты нескольких интегрирований.
Когда интеграция по непрямоугольным областям, лучшей производительности и точности происходит когда любые из пределов: ymin, ymax, zmin, zmax является указателями на функцию. Постарайтесь не устанавливать значения функции подынтегрального выражения обнулять, чтобы интегрироваться по непрямоугольной области. Если необходимо сделать это, задайте метод 'iterated'.
Используйте метод 'iterated' когда любые из пределов: ymin(x), ymax(x), zmin(x,y), zmax(x,y) является неограниченными функциями.
При параметризации анонимных функций, знать, что значения параметров сохраняются для жизни указателя на функцию. Например, функциональный fun = @(x,y,z) x + y + z + a использует значение a в то время, когда fun был создан. Если вы позже решаете изменить значение a, необходимо переопределить анонимную функцию с новым значением.
Если вы задаете пределы с одинарной точностью интегрирования, или если fun возвращает результаты с одинарной точностью, вы, возможно, должны задать большие допуски абсолютной и относительной погрешности.
[1] L.F. Шемпин “Векторизовал Адаптивную Квадратуру в MATLAB®”, Журнал Вычислительной и Прикладной математики, 211, 2008, pp.131–140.
[2] L.F. Шемпин, "Программа MATLAB для Квадратуры в 2D". Прикладная математика и Вычисление. Издание 202, Выпуск 1, 2008, стр 266–274.