Решите неотрицательную линейную задачу наименьших квадратов
Решите неотрицательные проблемы аппроксимирования кривыми наименьших квадратов формы
x = lsqnonneg(C,d)x = lsqnonneg(C,d,options)x = lsqnonneg(problem)[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(___)[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonneg(___)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonneg(___)x = lsqnonneg(C,d) x, который минимизирует norm(C*x-d), подвергающийся x ≥ 0. Аргументы C и d должны быть действительными.
x = lsqnonneg(C,d,options) options. Используйте optimset, чтобы установить эти опции.
x = lsqnonneg(problem) problem, где problem является структурой.
[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(___)norm(C*x-d)^2, и возвращает остаточный d-C*x.
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqnonneg(___) exitflag, который описывает выходное условие lsqnonneg и структуру output с информацией о процессе оптимизации.
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonneg(___) lambda.
Вычислите неотрицательное решение линейной задачи наименьших квадратов и сравните результат с решением неограниченной проблемы.
Подготовьте матрицу C и вектор d для проблемы
.
C = [0.0372 0.2869
0.6861 0.7071
0.6233 0.6245
0.6344 0.6170];
d = [0.8587
0.1781
0.0747
0.8405];Вычислите ограниченные и неограниченные решения.
x = lsqnonneg(C,d)
x = 2×1
0
0.6929
xunc = C\d
xunc = 2×1
-2.5627
3.1108
Все записи в x являются неотрицательными, но некоторые записи в xunc отрицательны.
Вычислите нормы невязок для этих двух решений.
constrained_norm = norm(C*x - d)
constrained_norm = 0.9118
unconstrained_norm = norm(C*xunc - d)
unconstrained_norm = 0.6674
Неограниченное решение имеет меньшую остаточную норму, потому что ограничения могут только увеличить остаточную норму.
Установите опцию Display на 'final' видеть вывод, когда lsqnonneg закончится.
Создайте опции.
options = optimset('Display','final');
Подготовьте матрицу C и вектор d для проблемы
.
C = [0.0372 0.2869
0.6861 0.7071
0.6233 0.6245
0.6344 0.6170];
d = [0.8587
0.1781
0.0747
0.8405];Вызовите lsqnonneg со структурой опций.
x = lsqnonneg(C,d,options);
Optimization terminated.
Вызовите lsqnonneg с выходными параметрами, чтобы получить решение, остаточную норму и остаточный вектор.
Подготовьте матрицу C и вектор d для проблемы
.
C = [0.0372 0.2869
0.6861 0.7071
0.6233 0.6245
0.6344 0.6170];
d = [0.8587
0.1781
0.0747
0.8405];Получите решение и остаточную информацию.
[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(C,d)
x = 2×1
0
0.6929
resnorm = 0.8315
residual = 4×1
0.6599
-0.3119
-0.3580
0.4130
Проверьте, что возвращенная остаточная норма является квадратом нормы возвращенного остаточного вектора.
norm(residual)^2
ans = 0.8315
Запросите все выходные аргументы исследовать процесс решения и решения после того, как lsqnonneg закончится.
Подготовьте матрицу C и вектор d для проблемы
.
C = [0.0372 0.2869
0.6861 0.7071
0.6233 0.6245
0.6344 0.6170];
d = [0.8587
0.1781
0.0747
0.8405];Решите проблему, запросив все выходные аргументы.
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonneg(C,d)
x = 2×1
0
0.6929
resnorm = 0.8315
residual = 4×1
0.6599
-0.3119
-0.3580
0.4130
exitflag = 1
output = struct with fields:
iterations: 1
algorithm: 'active-set'
message: 'Optimization terminated.'
lambda = 2×1
-0.1506
-0.0000
exitflag является 1, указывая на правильное решение.
x(1) = 0 и соответствующий lambda(1)
0, показывая правильную дуальность. Точно так же x(2) > 0 и соответствующий lambda(2) = 0.
lsqnonneg использует алгоритм, описанный в [1]. Алгоритм запускается с набора возможных базисных векторов и вычисляет связанный двойной векторный lambda. Это затем выбирает базисный вектор, соответствующий максимальному значению в lambda, чтобы подкачать его из основания в обмен на другого возможного кандидата. Это продолжается до lambda ≤ 0.
[1] Лоусон, C. L. и Р. J. Хэнсон. Решение задач наименьших квадратов. Верхний Сэддл-Ривер, NJ: Prentice Hall. 1974. Глава 23, p. 161.