lyap

Непрерывное решение для уравнения Ляпунова

Синтаксис

lyap X = lyap(A,Q) X = lyap(A,B,C) X = lyap(A,Q,[],E)

Описание

lyap решает специальные и общие формы уравнения Ляпунова. Уравнения Ляпунова возникают в нескольких областях управления, включая теорию устойчивости и исследование поведения RMS систем.

X = lyap(A,Q) решает уравнение Ляпунова

$A X + X A^{T} + Q = 0$

где A и Q представляют квадратные матрицы идентичных размеров. Если Q является симметрической матрицей, решение, X является также симметрической матрицей.

X = lyap(A,B,C) решает уравнение Сильвестра

$A X + X B + C = 0$

Матрицы A, B и C должны иметь совместимые размерности, но не должны быть квадратными.

X = lyap(A,Q,[],E) решает обобщенное уравнение Ляпунова

$A X E^{T} + E X A^{T} + Q = 0$

где Q является симметрической матрицей. Необходимо использовать скобки пустого квадрата [] для этой функции. Если вы помещаете какие-либо значения в скобках, функциональные ошибки.

Ограничения

Непрерывное уравнение Ляпунова имеет уникальное решение если собственные значения $α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}$ из A и $β_{1}, β_{2}, ..., β_{n}$ из B удовлетворяют

$α_{i} + β_{j} \neq 0 f o r a l l p a i r s (i, j)$

Если это условие нарушено, lyap производит сообщение об ошибке:

Solution does not exist or is not unique.

Примеры

Пример 1

Решите уравнение Ляпунова

Решите уравнение Ляпунова

$A X + X A^{T} + Q = 0$

где

$A = [\begin{matrix} 12 \\ - 3 & - 4 \end{matrix}] Q = [\begin{matrix} 3111 \end{matrix}]$

Матрица A стабильна, и матрица Q положительна определенный.

A = [1 2; -3 -4];  
Q = [3 1; 1 1];
X = lyap(A,Q)

Эти команды возвращают следующую матрицу X:

X =

    6.1667   -3.8333
   -3.8333    3.0000

Можно вычислить собственные значения, чтобы видеть, что X положителен определенный.

eig(X)

Команда возвращает следующий результат:

ans =

    0.4359
    8.7308

Пример 2

Решите уравнение Сильвестра

Решите уравнение Сильвестра

$A X + X B + C = 0$

где

$A = 5 B = [\begin{matrix} 4343 \end{matrix}] C = [\begin{matrix} 21 \end{matrix}]$

A = 5;
B = [4 3; 4 3];
C = [2 1];
X = lyap(A,B,C)

Эти команды возвращают следующую матрицу X:

X =

   -0.2000   -0.0500

Алгоритмы

lyap использует стандартные программы SLICOT SB03MD и SG03AD для уравнений Ляпунова и SB04MD (SLICOT) и ZTRSYL (LAPACK) для уравнений Сильвестра.

Ссылки

[1] Bartels, Р.Х. и Г.В. Стюарт, "Решение матричного AX уравнения + XB = C", коммуникация ACM, издания 15, № 9, 1972.

[2] Barraud, A.Y., “Числовой алгоритм, чтобы решить XA - X = Q”, IEEE^® Trans. Auto. Противоречие, AC-22, стр 883–885, 1977.

[3] Hammarling, S.J., “Числовое решение стабильного, неотрицательного определенного уравнения Ляпунова”, IMA J. Цифра. Анальный., Издание 2, стр 303–325, 1982.

[4] Penzl, T.”, Числовое решение обобщенных уравнений Ляпунова”, Усовершенствования в Математике Аккомпанемента., Издание 8, стр 33–48, 1998.

[5] Golub, G.H., Нэш, S. и Ссуда Фургона, C.F., “Метод Хессенберг-Шура для проблемного AX + XB = C”, Автоматическая Сделка IEEE. Противоречие, AC-24, стр 909–913, 1979.

Смотрите также

covar | dlyap

Документация