О границах сектора и индексах сектора

Конические секторы

В его самой простой форме конический сектор является 2D областью, разграниченной двумя строками, y=au и y=bu.

Теневая область характеризуется неравенством (y-au)(y-bu)<0. В более общем плане любой такой сектор может быть параметризован как:

(yu)TQ(yu)<0,

где Q 2x2 симметричная неопределенная матрица (Q имеет одно положительное и одно отрицательное собственное значение). Мы вызываем Q матрица сектора. Эта концепция делает вывод к более высоким размерностям. В N-мерном пространстве конический сектор является набором:

S={zRN:zTQz<0},

где Q снова симметричная неопределенная матрица.

Границы сектора

Границы сектора являются ограничениями на поведение системы. Получите ограничения, и ограничения пассивности являются особыми случаями границ сектора. Если для всех ненулевых входных траекторий u(t), выходная траектория z(t)=(Hu)(t) из линейной системы H(s) удовлетворяет:

0TzT(t)Qz(t)dt<0,T>0,

затем выходные траектории H лгите в коническом секторе с матрицей Q. Отличающийся выбор Q матрицы налагают различные условия на ответ системы. Например, рассмотрите траектории y(t)=(Gu)(t) и следующие значения:

H(s)=(G(s)I),Q=(0-I-I0).

Эти значения соответствуют связанному сектору:

0T(y(t)u(t))T(0-I-I0)(y(t)u(t))dt<0,T>0.

Этот связанный сектор эквивалентен условию пассивности для G(s):

0TyT(t)u(t)dt>0,T>0.

Другими словами, пассивность является конкретным сектором, привязал систему, заданную:

H=(GI).

Условие частотного диапазона

Поскольку условие временного интервала должно содержать для всех T>0, получение эквивалентного связанного частотного диапазона проявляет немного заботы и не всегда возможно. Позвольте следующему:

Q=W1TW1-W2TW2

будьте (любым) разложением неопределенной матрицы Q в его положительные и отрицательные части. Когда W2TH(s) квадратная и минимальная фаза (не имеет никаких нестабильных нулей), условие временного интервала:

0T(Hu)(t)TQ(Hu)(t)dt<0,T>0

эквивалентно условию частотного диапазона:

H(jω)HQH(jω)<0ωR.

Поэтому достаточно проверять неравенство сектора на действительные частоты. Используя разложение Q, это также эквивалентно:

(W1TH)(W2TH)-1<1.

Обратите внимание на то, что W2TH является квадратным когда Q имеет столько же отрицательных собственных значений, сколько вход образовывает канал в H(s). Если это условие не соблюдают, это больше не достаточно (в целом), чтобы только посмотреть на действительные частоты. Отметьте также это если W2TH(s) является квадратным, затем это должна быть минимальная фаза для сектора, обязанного содержать.

Эта характеристика частотного диапазона является основанием для sectorplot. А именно, sectorplot строит сингулярные значения (W1TH(jω))(W2TH(jω))-1 как функция частоты. Связанный сектор удовлетворен, если и только если самое большое сингулярное значение остается ниже 1. Кроме того, график содержит полезную информацию о диапазонах частот, где связанный сектор удовлетворен или нарушен, и степень, до которой это удовлетворено или нарушено.

Например, исследуйте график сектора системы с 2 входами, с 2 выводами для конкретного сектора.

rng(4,'twister');
H = rss(3,4,2); 
Q = [-5.12   2.16  -2.04   2.17
      2.16  -1.22  -0.28  -1.11
     -2.04  -0.28  -3.35   0.00
      2.17  -1.11   0.00   0.18];
sectorplot(H,Q)

График показывает что самое большое сингулярное значение (W1TH(jω))(W2TH(jω))-1 превышает 1 ниже приблизительно 0,5 рад/с и в узкой полосе приблизительно 3 рад/с. Поэтому H не удовлетворяет сектор, связанный представленный Q.

Относительный индекс сектора

Мы можем расширить понятие относительного индекса пассивности к произвольным секторам. Пусть H(s) будьте системой LTI, и позвольте:

Q=W1TW1-W2TW2,W1TW2=0

будьте ортогональным разложением Q в его положительные и отрицательные части, как с готовностью получен из разложения Шура Q. Относительный индекс сектора R, или R-индекс, задан как самое маленькое r>0 таким образом это для всех выходных траекторий z(t)=(Hu)(t):

0TzT(t)(W1TW1-r2W2TW2)z(t)dt<0,T>0.

Поскольку увеличение r делает W1TW1-r2W2TW2 более отрицательный, неравенство обычно удовлетворяется для r достаточно большой. Однако существуют случаи, когда это никогда не может удовлетворяться, в этом случае R-индекс R=+. Безусловно, исходный связанный сектор удовлетворен если и только R1.

Чтобы понять геометрическую интерпретацию R-индекса, рассмотрите семейство конусов с матрицей Q(r)=W1TW1-r2W2TW2. В 2D, коническом наклонном углу θ связан с r

загар(θ)=rW2W1

(см. схему ниже). В более общем плане, загар(θ) пропорционально R. Таким образом, учитывая конический сектор с матрицей Q, R-индексное значение R<1 средние значения, которые мы можем уменьшать загар(θ) (сузьте конус) фактором R перед некоторой выходной траекторией H покидает конический сектор. Точно так же значение R>1 средние значения, которые мы должны увеличить загар(θ) (расширьте конус) фактором R включать все выходные траектории H. Это ясно делает R-индекс относительной мерой как хорошо ответ H помещается в конкретный конический сектор.

В схеме,

d1|W1Tz|W1,d2|W2Tz|W2,R=|W1Tz||W2Tz|,

и

загар(θ)=d1d2=RW2W1.

Когда W2TH(s) квадратная и минимальная фаза, R-индекс может также быть охарактеризован в частотном диапазоне как самое маленькое r>0 таким образом, что:

H(jω)H(W1TW1-r2W2TW2)H(jω)<0ωR.

Используя элементарную алгебру, это приводит к:

R=max ω(W1TH(jω))(W2TH(jω))-1.

Другими словами, R-индекс является пиковым усилением (стабильной) передаточной функции Φ(s):=(W1TH(s))(W2TH(s))-1, и сингулярные значения Φ(jw) могите рассматриваться как "основные" R-индексы на каждой частоте. Это также объясняет, почему графический вывод R-индекса по сравнению с частотой похож на график сингулярного значения (см. sectorplot). Существует полная аналогия между относительным индексом сектора и системным усилением. Обратите внимание, однако, что эта аналогия только содержит когда W2TH(s) квадратная и минимальная фаза.

Направленный индекс сектора

Точно так же мы можем расширить понятие направленного индекса пассивности к произвольным секторам. Учитывая конический сектор с матрицей Q, и направление δQ, направленный индекс сектора является самым большим τ таким образом это для всех выходных траекторий z(t)=(Hu)(t):

0TzT(t)(Q+τδQ)z(t)dt<0,T>0.

Направленная пассивность индексирует для системы G(s) соответствует:

H(s)=(G(s)I),Q=(0-I-I0).

Направленный сектор индексирует меры тем, насколько мы должны деформировать сектор в направлении δQ заставить его соответствовать плотно вокруг выходных траекторий H. Связанный сектор удовлетворен, если и только если направленный индекс положителен.

Общие секторы

Существует много способов задать границы сектора. Затем мы рассматриваем выражения, с которыми обычно сталкиваются, и даем соответствующую систему H и матрица сектора Q для стандартной формы, используемой getSectorIndex и sectorplot:

0T(Hu)(t)TQ(Hu)(t)dt<0,T>0.

Для простоты эти описания используют обозначение:

xT=0Tx(t)2dt,

и не используйте T>0 требование.

Пассивность

Пассивность является сектором, связанным с:

H(s)=(G(s)I),Q=(0-I-I0).

Получите ограничение

Ограничение усиления G<γ сектор, связанный с:

H(s)=(G(s)I),Q=(I00-γ2I).

Отношение расстояний

Рассмотрите "внутреннее" ограничение,

y-cuT<ruT

где c,r скаляры и y(t)=(Gu)(t). Это - сектор, связанный с:

H(s)=(G(s)I),Q=(I-cI-cI(c2-r2)I).

Базовый конический сектор симметричен относительно y=cu. Точно так же "внешнее" ограничение,

y-cuT>ruT

сектор, связанный с:

H(s)=(G(s)I),Q=(-IcIcI(r2-c2)I).

Двойное неравенство

При контакте со статической нелинейностью распространено рассмотреть конические секторы формы

au2<yu<bu2,

где y=ϕ(u) нелинейность вывод. В то время как это отношение не является сектором, связанным по сути, оно ясно подразумевает:

a0Tu(t)2dt<0Ty(t)u(t)dt<b0Tu(t)2dt

вдоль всех траекторий ввода-вывода и для всех T>0. Это условие в свою очередь эквивалентно сектору, связанному с:

H(s)=(ϕ(.)1),Q=(1-(a+b)/2-(a+b)/2ab).

Форма продукта

Обобщенные границы сектора формы:

0T(y(t)-K1u(t))T(y(t)-K2u(t))dt<0

соответствуйте:

H(s)=(G(s)I),Q=(2I-(K2+K1T)-(K1+K2T)K1TK2+K2TK1).

Как прежде, статический сектор связал:

(y-K1u)T(y-K2u)<0

подразумевает интегральный сектор, связанный выше.

Диссипативный QSR

Система y=Gu QSR-диссипативно, если это удовлетворяет:

0T(y(t)u(t))T(QSSTR)(y(t)u(t))dt>0,T>0.

Это - сектор, связанный с:

H(s)=(G(s)I),Q=-(QSSTR).

Смотрите также

| |

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте