Серийное соединение пассивных систем

Этот пример иллюстрирует свойства серийного соединения пассивных систем.

Серийное соединение пассивных систем

Рассмотрите соединение двух подсистем $G_{1}$ и $G_{2}$ последовательно. Взаимосвязанная система $H$ дан отображением от входа $u$ выводить $y_{2}$ .

В отличие от параллели и соединений обратной связи, пассивности подсистем $G_{1}$ и $G_{2}$ не гарантирует пассивность для взаимосвязанной системы $H$ . Возьмите, например,

$G_{1} (s) = \frac{5 s^{2} + 3 s + 1}{s^{2} + 2 s + 1}, G_{2} (s) = \frac{s^{2} + s + 5 s + 0.1}{s^{3} + 2 s^{2} + 3 s + 4} .$

Обе системы пассивны, как подтверждено

G1 = tf([5 3 1],[1,2,1]);
isPassive(G1)

ans = logical
   1

G2 = tf([1,1,5,.1],[1,2,3,4]);
isPassive(G2)

ans = logical
   1

Однако серийное соединение $G_{1}$ и $G_{2}$ не пассивно:

H = G2*G1;
isPassive(H)

ans = logical
   0

Это подтверждено путем проверки что годограф Найквиста $G_{2} G_{1}$ не положителен действительный.

nyquist(H)

Индексы пассивности для серийного соединения

В то время как серийное соединение пассивных систем не пассивно в целом, существует отношение между индексами пассивности $G_{1}$ и $G_{2}$ и индексы пассивности $H = G_{2} G_{1}$ Пусть $ν_{1}$ и $ν_{2}$ обозначьте входные индексы пассивности для $G_{1}$ и $G_{2}$ , и позвольте $ρ_{1}$ и $ρ_{2}$ обозначьте выходные индексы пассивности. Если все эти индексы положительны, то входной индекс пассивности $ν$ и выходной индекс пассивности $ρ$ для серийного соединения $H$ удовлетворить

$ν \geq - \frac{0 . 125}{ρ_{1} ρ_{2}}, ρ \geq - \frac{0 . 125}{ν_{1} ν_{2}} .$

Другими словами, нехватка пассивности при вводах или выводах $H$ не хуже, чем выражения правой стороны. Для получения дополнительной информации смотрите статью Arcak, M. и Зонтага, E.D., "Диагональная устойчивость класса циклических систем и его связи с секущим критерием", Automatica, Vol 42, № 9, 2006, стр 1531-1537. Проверьте эти нижние границы для примера выше.

% Output passivity index for G1
rho1 = getPassiveIndex(G1,'output');
% Output passivity index for G2
rho2 = getPassiveIndex(G2,'output');
% Input passivity index for H=G2*G1
nu = getPassiveIndex(H,'input')

nu = -1.2875

% Lower bound
-0.125/(rho1*rho2)

ans = -2.4119

Точно так же проверьте нижнюю границу для выходного индекса пассивности $H$ .

% Input passivity index for G1
nu1 = getPassiveIndex(G1,'input');
% Input passivity index for G2
nu2 = getPassiveIndex(G2,'input');
% Output passivity index for H=G2*G1
rho = getPassiveIndex(H,'output')

rho = -0.6966

% Lower bound
-0.125/(nu1*nu2)

ans = -5.9420

Смотрите также

getPassiveIndex | isPassive

Документация