tpaps

Сплайн сглаживания тонкой пластины

Синтаксис

tpaps(x,y) tpaps(x,y,p) [...,p] = tpaps(...)

Описание

tpaps(x,y) stform тонкой пластины, сглаживающей сплайн f для сайтов определенных данных x(:,j) и значения определенных данных y(:,j). x(:,j) должен быть отличными точками в плоскости, значения могут быть скалярами, векторами, матрицами, даже массивы ND, и должно быть точно столько же значений, сколько существуют сайты.

Тонкая пластина, сглаживающая сплайн f, является уникальным минимизатором взвешенной суммы

$p E (f) + (1 - p) R (f)$

с E (f) ошибочная мера

$E (f) = \sum_{j} {| y (:, j) - f (x (:, j)) |}^{2}$

и R (f) мера по шероховатости

$R (f) = {\int (| D_{1} D_{1} f |}^{2} + 2 {| D_{1} D_{2} f |}^{2} + {| D_{2} D_{2} f |}^{2})$

Здесь, интеграл взят по всему R ², |z|2 обозначает сумму квадратов всех записей z, и _Dif обозначает частную производную f относительно ее i th аргумент, следовательно подынтегральное выражение включает вторые частные производные f. p параметра сглаживания выбран так, чтобы (1-p)/p равнялся среднему значению диагональных элементов матричного A с A + (1-p)/p*eye(n) матрица коэффициентов линейной системы для коэффициентов n сплайна сглаживания, который будет определен. Этот выбор p предназначается, чтобы гарантировать, что мы являемся промежуточными эти два экстремальных значения интерполяции (когда p близко к 1, и матрицей коэффициентов является по существу A), и полное сглаживание (когда p близко к 0, и матрица коэффициентов является по существу кратным единичной матрице). Это должно служить хорошим первым предположением для p.

tpaps(x,y,p) также вводит параметр сглаживания, p, номер между 0 и 1. Когда параметр сглаживания отличается от 0 до 1, сплайн сглаживания отличается от приближения наименьших квадратов до данных линейным полиномом, когда p является 0 к сплайну тонкой пластины interpolant к данным, когда p является 1.

[...,p] = tpaps(...) также возвращает параметр сглаживания, на самом деле используемый.

Примеры

Пример 1. Следующий код получает значения сглаженной функции на 31 случайным образом выбранном сайте, добавляет некоторый случайный шум к этим значениям, и затем использует tpaps, чтобы восстановить базовые точные сглаженные значения. Проиллюстрировать, как хорошо tpaps делает в этом случае, графики кода, в дополнение к сплайну сглаживания, точные значения (как черные шары), а также каждое продвижение стрелки от сглаживавшего значения до соответствующего шумного значения.

rng(23); nxy = 31;
xy = 2*(rand(2,nxy)-.5); vals = sum(xy.^2);
noisyvals = vals + (rand(size(vals))-.5)/5;
st = tpaps(xy,noisyvals); fnplt(st), hold on
avals = fnval(st,xy);
plot3(xy(1,:),xy(2,:),vals,'wo','markerfacecolor','k')
quiver3(xy(1,:),xy(2,:),avals,zeros(1,nxy),zeros(1,nxy), ...
         noisyvals-avals,'r'), hold off

Пример 2. Следующий код использует сплайн тонкой пластины интерполяции для значений данных с векторным знаком, чтобы создать карту от плоскости до плоскости, которая несет модульный квадрат {x: |x (j) | ≤ 1, j = 1:2} приблизительно на единичный диск {x: x (1) ² + x (2) ² ≤ 1}, как показано изображением сгенерированы.

n = 64; t = linspace(0,2*pi,n+1); t(end) = [];
values = [cos(t); sin(t)];
centers = values./repmat(max(abs(values)),2,1);
st = tpaps(centers, values, 1);
fnplt(st), axis equal

Отметьте выбор 1 для параметра сглаживания здесь, чтобы получить интерполяцию.

Ограничения

Определение сплайна сглаживания включает решение линейной системы со столькими же неизвестных, сколько существуют точки данных. Поскольку матрица этой линейной системы полна, решение может занять много времени, даже если, как имеет место здесь, итеративная схема используется, когда существует больше чем 728 точек данных. Быстрота сходимости той итерации строго под влиянием p и медленнее, больший p. Так, для больших проблем используйте интерполяцию, т.е. p, равный 1, только если можно выкроить время.

Смотрите также

csaps | spaps

Документация