Кубический сплайн сглаживания
pp = csaps(x,y)pp = csaps(x,y,p)pp = csaps(x,y,p,[],w)values = csaps(x,y,p,xx)values = csaps(x,y,p,xx,w)[___] = csaps({x1,...,xm},y,___)[___,P] = csaps(___)Для более простого, но менее гибкого метода, чтобы сгенерировать сплайны сглаживания, попробуйте приложение Curve Fitting или функцию fit.
pp = csaps(x,y)(x,y) в ppform. Значение сплайна f на сайте данных x(j) аппроксимирует значение данных y(:,j) для j = 1:length(x).
Сплайн сглаживания f минимизирует
Здесь, n является количеством записей x, и интеграл на самом маленьком интервале, содержащем все записи x. y j и x j отсылает к j th записи y и x, соответственно. D 2f обозначает вторую производную функционального f.
Значения по умолчанию для ошибочных весов меры w j равняются 1. Значение по умолчанию для кусочной постоянной функции веса λ в мере по шероховатости является постоянной функцией 1. deafult csaps выбирает значение для параметра сглаживания p на основе сайтов определенных данных x.
Чтобы оценить сглаживание шлицуют вне его основного интервала, необходимо сначала экстраполировать его. Используйте команду pp = fnxtr(pp), чтобы гарантировать, что вторая производная является нулем вне интервала, заполненного по условию сайты.
[___] = csaps({x1,...,xm}, обеспечивает ppform y,___)m - сплайн сглаживания продукта тензора варьируемой величины к данным по прямоугольной сетке, описанной {x1,...,xm}. Можно использовать этот синтаксис с любым из аргументов в предыдущих синтаксисах.
Подходящие сплайны сглаживания с помощью csaps функционируют с различными значениями для параметра сглаживания p. Используйте значения p между экстремальными значениями 0 и 1, чтобы видеть, как они влияют на форму и близость подходящего сплайна.
Загрузите набор данных титана.
[x, y] = titanium();
Когда p = 0, s0 является подгонкой прямой линии наименьших квадратов к данным. Когда p = 1, s1 является вариационным, или естественным, кубическим сплайном interpolant.
Для 0 < p < 1 sp является сплайном сглаживания, который является компромиссом между этими двумя экстремальными значениями: более сглаженный, чем interpolant s1 и ближе к данным, чем прямая линия s0.
p = 0.00009; s0 = csaps(x,y,0); sp = csaps(x,y,p); s1 = csaps(x,y,1);
figure fnplt(s0); hold on fnplt(sp); fnplt(s1); plot(x,y,'ko'); hold off title('Smoothing splines with different values for p'); legend('p = 0', ['p = ' num2str( p )], 'p = 1', 'Location', 'northwest')
Настройте параметр сглаживания, ошибочные веса меры и веса меры по шероховатости.
Создайте синусоиду с шумом.
x = linspace(0,2*pi,21); y = sin(x)+(rand(1,21)-.5)*.3;
Соответствуйте сплайну сглаживания к данным. Задайте параметр сглаживания p = 0.4 и ошибочные веса меры w, которые отличаются через данные.
pp = csaps(x,y,0.4,[],[ones(1,10),repmat(5,1,10), 0]);
Функция возвращает сглаженную подгонку к шумным данным, которые намного ближе к данным в правильной половине из-за намного большего ошибочного веса меры там. Обратите внимание на то, что ошибка при взвешивании нуля для последней точки данных исключает эту точку из подгонки.
Теперь соответствуйте сплайну сглаживания с помощью тех же данных, сглаживая параметр и ошибочные веса меры, но с настроенными весами меры по шероховатости.
pp1 = csaps(x,y, [.4,ones(1,10),repmat(.2,1,10)], [], ...
[ones(1,10), repmat(5,1,10), 0]);Вес меры по шероховатости - только 0,2 в правильной половине интервала. Соответственно, подгонка более груба, но ближе на правой стороне данных (за исключением последней точки данных, которая проигнорирована).
Постройте оба соответствуют сравнению.
figure hold on fnplt(pp, 'b'); fnplt(pp1,'r--') plot(x,y,'ok') hold off ylim([-1.5 1.5]) title(['Cubic smoothing spline, with right half treated ',... 'differently']) legend('Larger error weight', 'Larger error and smaller roughness weight')
Соответствуйте сплайну сглаживания к двумерным данным, сгенерированным функцией peaks с добавленным универсальным шумом. Используйте csaps, чтобы получить новые, сглаживавшие точки данных и параметры сглаживания, которые csaps определяет для подгонки.
Создайте сетку. В данном примере сетка является 51 61 регулярной координатной сеткой.
x = {linspace(-2,3,51),linspace(-3,3,61)};
[xx,yy] = ndgrid(x{1},x{2}); Сгенерируйте шумные данные с помощью функции peaks и случайных чисел в интервале .
y = peaks(xx, yy);
noisy = y + (rand(size(y)) - 0.5);
figure
surf(xx,yy,noisy)
axis off
Соответствуйте данным. Используйте csaps, чтобы получить сглаживавшие значения данных, оцененные по сетке x и параметр сглаживания значения по умолчанию, используемый в подгонке.
[sval,p] = csaps(x,noisy,[],x);
График подгонки показывает, что некоторая шероховатость остается. Обратите внимание на то, что необходимо транспонировать массив sval.
figure
surf(x{1},x{2},sval.')
axis off
Для несколько более сглаженного приближения задайте значение для p, который немного меньше, чем значение по умолчанию csaps.
ssval = csaps(x,noisy,.996,x);
figure
surf(x{1},x{2},ssval.')
axis off
csaps является реализацией стандартной программы Фортрана SMOOTH из PGS.
Вычисление сплайна сглаживания требует решения линейной системы, матрица коэффициентов которой имеет форму p*A + (1-p)*B с матрицами A и B в зависимости от сайтов данных x. Значение по умолчанию p заставляет p*trace(A) равняться (1-p)*trace(B).