Этот пример показывает, как вычислить комплексные линейные интегралы с помощью опции 'Waypoints' функции integral. В MATLAB® вы используете опцию 'Waypoints', чтобы задать последовательность путей к прямой линии от первого предела интегрирования с первым waypoint, сначала waypoint к второму, и т.д, и наконец от последнего waypoint до второго предела интегрирования.
Объединяться
где замкнутый контур, который заключает простой полюс в начале координат.
Определение подынтегрального выражения с анонимной функцией.
fun = @(z) exp(z)./z;
Можно оценить криволинейные интегралы комплексных функций с параметризацией. В целом контур задается, и затем дифференцируется и используется, чтобы параметризовать исходное подынтегральное выражение. В этом случае задайте контур как модульный круг, но во всех случаях, результат независим от выбранного контура.
g = @(theta) cos(theta) + 1i*sin(theta); gprime = @(theta) -sin(theta) + 1i*cos(theta); q1 = integral(@(t) fun(g(t)).*gprime(t),0,2*pi)
q1 = -0.0000 + 6.2832i
Этот метод параметризации, несмотря на то, что надежный, может быть трудным и трудоемким, поскольку производная должна быть вычислена, прежде чем интегрирование выполняется. Даже для простых функций, необходимо записать несколько строк кода, чтобы получить правильный результат. Поскольку результатом является то же самое с любым замкнутым контуром, который заключает полюс (в этом случае, источник), вместо этого можно использовать опцию 'Waypoints' integral, чтобы создать квадратный или треугольный путь, который заключает полюс.
Если предел интегрирования или элемент waypoints вектора являются комплексными, то integral выполняет интегрирование по последовательности путей к прямой линии в комплексной плоскости. Естественное направление вокруг контура против часовой стрелки; при определении по часовой стрелке контур сродни умножению на -1. Задайте контур таким способом, которым он заключает одну функциональную особенность. Если вы зададите контур, который не заключает полюсов, то интегральная теорема Коши гарантирует, что значение интеграла с обратной связью является нулем.
Чтобы видеть это, интегрируйте fun вокруг квадратного контура далеко от источника. Используйте равные пределы интегрирования, чтобы сформировать замкнутый контур.
C = [2+i 2+2i 1+2i];
q = integral(fun,1+i,1+i,'Waypoints',C)q = -3.3307e-16 + 6.6613e-16i
Результат находится на порядке eps, и эффективно обнулите.
Задайте квадратный контур, который полностью заключает полюс в начале координат, и затем объединяйтесь.
C = [1+i -1+i -1-i 1-i];
q2 = integral(fun,1,1,'Waypoints',C)q2 = -0.0000 + 6.2832i
Этот результат соглашается с q1, вычисленным выше, но использует намного более простой код.
Точный ответ для этой проблемы .
2*pi*i
ans = 0.0000 + 6.2832i