интеграл

Численное интегрирование

Синтаксис

q = integral(fun,xmin,xmax)

q = integral(fun,xmin,xmax,Name,Value)

Описание

q = integral(fun,xmin,xmax) численно интегрирует функциональный fun от xmin до xmax с помощью глобальной адаптивной квадратуры и ошибочных допусков по умолчанию.

пример

q = integral(fun,xmin,xmax,Name,Value) задает дополнительные опции с одним или несколькими аргументами пары Name,Value. Например, задайте 'WayPoints', сопровождаемый вектором вещественных или комплексных чисел, чтобы указать на отдельные моменты для интегратора, чтобы использовать.

Примеры

свернуть все

Несобственный интеграл

Скрипт Open Live Script

Создайте функцию $f (x) = e^{- x^{2}} (\ln x)^{2}$ .

fun = @(x) exp(-x.^2).*log(x).^2;

Оцените интеграл от x=0 до x=Inf.

q = integral(fun,0,Inf)

q = 1.9475

Параметризованная функция

Скрипт Open Live Script

Создайте функцию $f (x) = 1 / (x^{3} - 2 x - c)$ с одним параметром, $c$ .

fun = @(x,c) 1./(x.^3-2*x-c);

Оцените интеграл от x=0 до x=2 в c=5.

q = integral(@(x)fun(x,5),0,2)

q = -0.4605

Особенность в нижнем пределе

Скрипт Open Live Script

Создайте функцию $f (x) = \ln (x)$ .

fun = @(x)log(x);

Оцените интеграл от x=0 до x=1 с ошибочными допусками по умолчанию.

format long
q1 = integral(fun,0,1)

q1 = 
  -1.000000010959678

Оцените интеграл снова, на этот раз с 12 десятичными разрядами точности. Обнулите RelTol так, чтобы integral только попытался удовлетворить допуск абсолютной погрешности.

q2 = integral(fun,0,1,'RelTol',0,'AbsTol',1e-12)

q2 = 
  -1.000000000000010

Комплексное контурное интегрирование Используя Waypoints

Скрипт Open Live Script

Создайте функцию $f (z) = 1 / (2 z - 1)$ .

fun = @(z) 1./(2*z-1);

Объединяйтесь в комплексной плоскости по треугольному пути от 0 до 1+1i к 1-1i к 0 путем определения waypoints.

q = integral(fun,0,0,'Waypoints',[1+1i,1-1i])

q = 0.0000 - 3.1416i

Функция с векторным знаком

Скрипт Open Live Script

Создайте функцию с векторным знаком $f (x) = [\sin x, \sin 2 x, \sin 3 x, \sin 4 x, \sin 5 x]$ и объединяйтесь от x=0 до x=1. Задайте 'ArrayValued',true, чтобы оценить интеграл функции с векторным знаком или со знаком массива.

fun = @(x)sin((1:5)*x);
q = integral(fun,0,1,'ArrayValued',true)

q = 1×5

    0.4597    0.7081    0.6633    0.4134    0.1433

Несобственный интеграл колебательной функции

Скрипт Open Live Script

Создайте функцию $f (x) = x^{5} e^{- x} \sin x$ .

fun = @(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);

Оцените интеграл от x=0 до x=Inf, настроив абсолютные и относительные допуски.

format long
q = integral(fun,0,Inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-13)

q = 
 -14.999999999998364

Входные параметры

свернуть все

`fun` — Подынтегральное выражение
указатель на функцию

Подынтегральное выражение, заданное как указатель на функцию, который задает функцию, которая будет интегрирована от xmin до xmax.

Для проблем со скалярным знаком функциональный y = fun(x) должен принять аргумент вектора, x, и возвратить векторный результат, y. Это обычно означает, что fun должен использовать операторы массивов вместо матричных операторов. Например, используйте .* (времена), а не * (mtimes). Если вы устанавливаете опцию 'ArrayValued' на true, то fun должен принять скаляр и возвратить массив фиксированного размера.

`xmin` Нижний предел x
вещественное число | комплексное число

Нижний предел x, заданного как действительное (конечный или бесконечный) скалярное значение или комплексное (конечное) скалярное значение. Если или xmin или xmax являются комплексными, то integral аппроксимирует интеграл по траектории от xmin до xmax по пути к прямой линии.

Типы данных: double | single
Поддержка комплексного числа: Да

`xmax` Верхний предел x
вещественное число | комплексное число

Верхний предел x, заданного как вещественное число (конечный или бесконечный) или (конечное) комплексное число. Если или xmin или xmax являются комплексными, integral аппроксимирует интеграл по траектории от xmin до xmax по пути к прямой линии.

Типы данных: double | single
Поддержка комплексного числа: Да

Аргументы в виде пар имя-значение

Укажите необязательные аргументы в виде пар ""имя, значение"", разделенных запятыми. Имя (Name) — это имя аргумента, а значение (Value) — соответствующее значение. Name должен появиться в кавычках. Вы можете задать несколько аргументов в виде пар имен и значений в любом порядке, например: Name1, Value1, ..., NameN, ValueN.

Пример: 'AbsTol',1e-12 устанавливает допуск абсолютной погрешности приблизительно на 12 десятичных разрядов точности.

`'AbsTol'` Допуск абсолютной погрешности
неотрицательное вещественное число

Допуск абсолютной погрешности, заданный как пара, разделенная запятой, состоящая из 'AbsTol' и неотрицательного вещественного числа. integral использует допуск абсолютной погрешности, чтобы ограничить оценку абсолютной погрешности, |q – Q |, где q является вычисленным значением интеграла, и Q является (неизвестным) точным значением. integral может обеспечить больше десятичных разрядов точности, если вы уменьшаете допуск абсолютной погрешности. Значением по умолчанию является 1e-10.

Примечание

AbsTol и RelTol работают совместно. integral может удовлетворить допуск абсолютной погрешности или допуск относительной погрешности, но не обязательно обоих. Для получения дополнительной информации об использовании этих допусков смотрите раздел Tips.

Типы данных: single | double

`'RelTol'` Допуск относительной погрешности
неотрицательное вещественное число

Допуск относительной погрешности, заданный как пара, разделенная запятой, состоящая из 'RelTol' и неотрицательного вещественного числа. integral использует допуск относительной погрешности, чтобы ограничить оценку относительной погрешности, |q – Q | / | Q |, где q является вычисленным значением интеграла, и Q является (неизвестным) точным значением. integral может обеспечить более значительные цифры точности, если вы уменьшаете допуск относительной погрешности. Значением по умолчанию является 1e-6.

Примечание

RelTol и AbsTol работают совместно. integral может удовлетворить допуск относительной погрешности или допуск абсолютной погрешности, но не обязательно обоих. Для получения дополнительной информации об использовании этих допусков смотрите раздел Tips.

Пример: 'RelTol',1e-9 устанавливает допуск относительной погрешности приблизительно на 9 значительных цифр.

Типы данных: single | double

`'ArrayValued'` Функциональный флаг со знаком массива
`false` или `0` (значение по умолчанию) | `true` или `1`

Функциональный флаг со знаком массива, заданный как пара, разделенная запятой, состоящая из 'ArrayValued' и числового или логического 1 (true) или 0 (false). Установите этот флаг на true или 1 указывать, что fun является функцией, которая принимает скалярный вход и возвращает вектор, матрицу или массив N-D вывод.

Значение по умолчанию false указывает, что fun является функцией, которая принимает векторный вход и возвращает векторный выходной параметр.

Пример: 'ArrayValued',true указывает, что подынтегральное выражение является функцией со знаком массива.

`'Waypoints'` Интегрирование waypoints
вектор

Интегрирование waypoints, заданный как пара, разделенная запятой, состоящая из 'Waypoints' и вектор вещественных или комплексных чисел. Используйте waypoints, чтобы указать на точки в интервале интегрирования, что вы хотели бы, чтобы интегратор использовал в начальной mesh:

Добавьте больше точек оценки около интересных функций функции, такой как локальные экстремальные значения.
Объединяйтесь эффективно через разрывы подынтегрального выражения путем определения местоположений разрывов.
Выполните комплексные контурные интегрирования путем определения комплексных чисел как waypoints. Если xmin, xmax или какая-либо запись waypoints вектора являются комплексными, то интегрирование выполняется по последовательности путей к прямой линии в комплексной плоскости. В этом случае все пределы интегрирования и waypoints должны быть конечными.

Не используйте waypoints, чтобы задать особенности. Вместо этого разделите интервал и добавьте, что результаты разделяют интеграции с особенностями в конечных точках.

Пример: 'Waypoints',[1+1i,1-1i] задает два комплекса waypoints вдоль интервала интегрирования.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да

Советы

Функция integral пытается удовлетворить:
```
abs(q - Q) <= max(AbsTol,RelTol*abs(q))
```
где q является вычисленным значением интеграла, и Q является (неизвестным) точным значением. Абсолютные и относительные допуски обеспечивают способ обменять точность и время вычисления. Обычно, относительный допуск определяет точность интегрирования. Однако, если abs(q) является достаточно маленьким, абсолютный допуск определяет точность интегрирования. Необходимо обычно задавать и абсолютные и относительные допуски вместе.
Если вы задаете пределы с одинарной точностью интегрирования, или если fun возвращает результаты с одинарной точностью, вы можете должны быть задать большие допуски абсолютной и относительной погрешности.

Ссылки

[1] Л.Ф. Шемпин “Векторизовал Адаптивную Квадратуру в MATLAB^®”, Журнал Вычислительной и Прикладной математики, 211, 2008, pp.131–140.

Смотрите также

integral2 | integral3 | trapz

Документация

интеграл

Синтаксис

Описание

Примеры

Несобственный интеграл

Параметризованная функция

Особенность в нижнем пределе

Комплексное контурное интегрирование Используя Waypoints

Функция с векторным знаком

Несобственный интеграл колебательной функции

Входные параметры

`fun` — Подынтегральное выражение
указатель на функцию

`xmin` Нижний предел x
вещественное число | комплексное число

`xmax` Верхний предел x
вещественное число | комплексное число

Аргументы в виде пар имя-значение

`'AbsTol'` Допуск абсолютной погрешности
неотрицательное вещественное число

Примечание

`'RelTol'` Допуск относительной погрешности
неотрицательное вещественное число

Примечание

`'ArrayValued'` Функциональный флаг со знаком массива
`false` или `0` (значение по умолчанию) | `true` или `1`

`'Waypoints'` Интегрирование waypoints
вектор

Советы

Ссылки

Смотрите также

Темы

Представленный в R2012a

Документация MATLAB

Поддержка

Документация

интеграл

Синтаксис

Описание

Примеры

Несобственный интеграл

Параметризованная функция

Особенность в нижнем пределе

Комплексное контурное интегрирование Используя Waypoints

Функция с векторным знаком

Несобственный интеграл колебательной функции

Входные параметры

fun — Подынтегральное выражение указатель на функцию

xmin Нижний предел x вещественное число | комплексное число

xmax Верхний предел x вещественное число | комплексное число

Аргументы в виде пар имя-значение

'AbsTol' Допуск абсолютной погрешности неотрицательное вещественное число

Примечание

'RelTol' Допуск относительной погрешности неотрицательное вещественное число

Примечание

'ArrayValued' Функциональный флаг со знаком массива false или 0 (значение по умолчанию) | true или 1

'Waypoints' Интегрирование waypoints вектор

Советы

Ссылки

Смотрите также

Темы

Представленный в R2012a

Документация MATLAB

Поддержка

`fun` — Подынтегральное выражение
указатель на функцию

`xmin` Нижний предел x
вещественное число | комплексное число

`xmax` Верхний предел x
вещественное число | комплексное число

`'AbsTol'` Допуск абсолютной погрешности
неотрицательное вещественное число

`'RelTol'` Допуск относительной погрешности
неотрицательное вещественное число

`'ArrayValued'` Функциональный флаг со знаком массива
`false` или `0` (значение по умолчанию) | `true` или `1`

`'Waypoints'` Интегрирование waypoints
вектор