Дифференциальные уравнения

Этот пример показывает, как использовать MATLAB®, чтобы сформулировать и решить несколько различных типов дифференциальных уравнений. MATLAB предлагает несколько числовых алгоритмов, чтобы решить большое разнообразие дифференциальных уравнений:

Задачи с начальными значениями
Краевые задачи
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
Дифференциальные уравнения с частными производными

Задача с начальными значениями

vanderpoldemo является функцией, которая задает уравнение Ван дер Поля

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} - μ (1 - y^{2}) \frac{d y}{d t} + y = 0 .$

type vanderpoldemo

function dydt = vanderpoldemo(t,y,Mu)
%VANDERPOLDEMO Defines the van der Pol equation for ODEDEMO.

% Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydt = [y(2); Mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

Уравнение записано как система двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (ОДУ). Эти уравнения оценены для различных значений параметра $μ$ . Для более быстрого интегрирования необходимо выбрать соответствующий решатель на основе значения $μ$ .

Для $μ = 1$ , любой из решателей ОДУ MATLAB может решить уравнение Ван дер Поля эффективно. Решатель ode45 является одним таким примером. Уравнение решено в области $[0, 20]$ с начальными условиями $y (0) = 2$ и $\frac{dy}{dt} |_{t = 0} = 0$ .

tspan = [0 20];
y0 = [2; 0];
Mu = 1;
ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
[t,y] = ode45(ode, tspan, y0);

% Plot solution
plot(t,y(:,1))
xlabel('t')
ylabel('solution y')
title('van der Pol Equation, \mu = 1')

Для больших значений $μ$ , проблема становится жесткой. Эта метка для проблем, которые сопротивляются попыткам, которые будут оценены с обычными методами. Вместо этого специальные численные методы необходимы для интеграции FAST. ode15s, ode23s, ode23t и функции ode23tb могут решить жесткие проблемы эффективно.

Это решение уравнения Ван дер Поля для $μ = 1000$ использование ode15s с теми же начальными условиями. Необходимо протянуть отрезок времени решительно к $[0, 3000]$ смочь видеть периодическое перемещение решения.

tspan = [0, 3000];
y0 = [2; 0];
Mu = 1000;
ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
[t,y] = ode15s(ode, tspan, y0);

plot(t,y(:,1))
title('van der Pol Equation, \mu = 1000')
axis([0 3000 -3 3])
xlabel('t')
ylabel('solution y')

Краевые задачи

bvp4c и bvp5c решают краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Функции, взятой в качестве примера, twoode записали дифференциальное уравнение как систему двух ОДУ первого порядка. Дифференциальное уравнение

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} + | y | = 0 .$

type twoode

function dydx = twoode(x,y)
%TWOODE  Evaluate the differential equations for TWOBVP.
%
%   See also TWOBC, TWOBVP.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydx = [ y(2); -abs(y(1)) ];

Функциональный twobc имеет граничные условия для проблемы: $y (0) = 0$ и $y (4) = - 2$ .

type twobc

function res = twobc(ya,yb)
%TWOBC  Evaluate the residual in the boundary conditions for TWOBVP.
%
%   See also TWOODE, TWOBVP.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

res = [ ya(1); yb(1) + 2 ];

До вызова bvp4c необходимо обеспечить предположение для решения, которое вы хотите представленный в mesh. Решатель затем адаптирует mesh, когда это совершенствовало решение.

Функция bvpinit собирает исходное предположение в форме, можно передать решателю bvp4c. Для сетки [0 1 2 3 4] и постоянных предположений $y (x) = 1$ и $y (x) = 0$ , вызов bvpinit:

solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[1; 0]);

С этим исходным предположением можно решить проблему с bvp4c. Оцените решение, возвращенное bvp4c в некоторых точках с помощью deval, и затем постройте получившиеся значения.

sol = bvp4c(@twoode, @twobc, solinit);

xint = linspace(0, 4, 50);
yint = deval(sol, xint);
plot(xint, yint(1,:));
xlabel('x')
ylabel('solution y')
hold on

Эта конкретная краевая задача имеет точно два решения. Можно получить другое решение путем изменения исходных предположений на $y (x) = - 1$ и $y (x) = 0$ .

solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[-1; 0]);
sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit);

xint = linspace(0,4,50);
yint = deval(sol,xint);
plot(xint,yint(1,:));
legend('Solution 1','Solution 2')
hold off

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

dde23, ddesd и ddensd решают дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом с различными задержками. Примеры ddex1, ddex2, ddex3, ddex4 и ddex5 формируют мини-пример при использовании этих решателей.

Пример ddex1 показывает, как решить систему дифференциальных уравнений

$\begin{array}{l} y_{1}^{'} (t) = y_{1} (t - 1) \\ y_{2}^{'} (t) = y_{1} (t - 1) + y_{2} (t - 0.2) \\ y_{3}^{'} (t) = y_{2} (t) . \end{array}$

Можно представлять эти уравнения с анонимной функцией

ddex1fun = @(t,y,Z) [Z(1,1); Z(1,1)+Z(2,2); y(2)];

История проблемы (для $t \leq 0$ ) является постоянным:

$\begin{array}{l} y_{1} (t) = 1 \\ y_{2} (t) = 1 \\ y_{3} (t) = 1 . \end{array}$

Можно представлять историю как вектор из единиц.

ddex1hist = ones(3,1);

Двухэлементный вектор представляет задержки системы уравнений.

lags = [1 0.2];

Передайте функцию, задержки, историю решения и интервал интегрирования $[0, 5]$ к решателю как входные параметры. Решатель производит непрерывное решение на целом интервале интегрирования, которое подходит для графического вывода.

sol = dde23(ddex1fun, lags, ddex1hist, [0 5]);

plot(sol.x,sol.y);
title({'An example of Wille and Baker', 'DDE with Constant Delays'});
xlabel('time t');
ylabel('solution y');
legend('y_1','y_2','y_3','Location','NorthWest');

Дифференциальные уравнения с частными производными

pdepe решает дифференциальные уравнения с частными производными в одной пространственной переменной и время. Примеры pdex1, pdex2, pdex3, pdex4 и pdex5 формируют мини-пример при использовании pdepe.

Эта проблема в качестве примера использует функции pdex1pde, pdex1ic и pdex1bc.

pdex1pde определяет дифференциальное уравнение

$π^{2} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial x}) .$

type pdex1pde

function [c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,DuDx)
%PDEX1PDE  Evaluate the differential equations components for the PDEX1 problem.
%
%   See also PDEPE, PDEX1.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

c = pi^2;
f = DuDx;
s = 0;

pdex1ic настраивает начальное условие

$u (x, 0) = \sin π x .$

type pdex1ic

function u0 = pdex1ic(x)
%PDEX1IC  Evaluate the initial conditions for the problem coded in PDEX1.
%
%   See also PDEPE, PDEX1.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

u0 = sin(pi*x);

pdex1bc настраивает граничные условия

$u (0, t) = 0,$

$π e^{- t} + \frac{\partial}{\partial x} u (1, t) = 0 .$

type pdex1bc

function [pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t)
%PDEX1BC  Evaluate the boundary conditions for the problem coded in PDEX1.
%
%   See also PDEPE, PDEX1.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

pl = ul;
ql = 0;
pr = pi * exp(-t);
qr = 1;

pdepe требует пространственной дискретизации x и вектор времен t (в котором вы хотите снимок состояния решения). Решите проблему с помощью сетки 20 узлов и запросите решение в пяти значениях t. Извлеките и постройте первый компонент решения.

x = linspace(0,1,20);
t = [0 0.5 1 1.5 2];
sol = pdepe(0,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t);

u1 = sol(:,:,1);

surf(x,t,u1);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');

Смотрите также

bvp4c | ode45 | pdepe

Документация

Дифференциальные уравнения

Задача с начальными значениями

Краевые задачи

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

Дифференциальные уравнения с частными производными

Смотрите также

Похожие темы

Документация MATLAB

Поддержка