ode45

Решение нежестких дифференциальных уравнений — метод среднего порядка точности

свернуть все на странице

Синтаксис

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
[t,y,te,ye,ie] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
sol = ode45(___)

Описание

пример

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0), где tspan = [t0 tf], интегрирует систему дифференциальных уравнений y'=f(t,y) от t0 до tf с начальными условиями y0. Каждая строка в массиве решения y соответствует значению, возвращенному в вектор-столбце t.

Все решатели MATLAB® ODE могут решить системы уравнений формы y'=f(t,y), или проблемы, которые включают большую матрицу, M(t,y)y'=f(t,y). Решатели все использование подобные синтаксисы. Решатель ode23s только может решить проблемы с большой матрицей, если большая матрица является постоянной. ode15s и ode23t могут решить проблемы с большой матрицей, которая сингулярна, известна как дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ). Задайте большую матрицу с помощью опции Mass odeset.

ode45 является универсальным решателем ОДУ и является первым решателем, который необходимо попробовать за большинство проблем. Однако, если проблема жестка или требует высокой точности, то существуют другие решатели ОДУ, которые могут лучше подходить для проблемы. Смотрите Выбирают ODE Solver для получения дополнительной информации.

пример

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options) также использует настройки интегрирования, заданные options, который является созданным использованием аргумента функции odeset. Например, используйте AbsTol и опции RelTol, чтобы задать допуски абсолютной и относительной погрешности или опцию Mass, чтобы обеспечить большую матрицу.

[t,y,te,ye,ie] = ode45(odefun,tspan,y0,options) дополнительно находит, где функции (t, y), вызвал функции события, являются нулем. В выводе te является временем события, ye является решением во время события, и ie является индексом инициированного события.

Для каждой функции события задайте, должно ли интегрирование остановиться в нуле и имеет ли направление нулевого пересечения значение. Сделайте это путем установки свойства 'Events' на функцию, такую как myEventFcn или @myEventFcn, и создания соответствующей функции: [value, isterminal, direction] = myEventFcn (t, y). Для получения дополнительной информации смотрите Местоположение События ОДУ.

пример

sol = ode45(___) возвращает структуру, которую можно использовать с deval, чтобы оценить решение в любой точке на интервале [t0 tf]. Можно использовать любую из комбинаций входных аргументов в предыдущих синтаксисах.

Примеры

свернуть все

Скрипт Open Live Script

Простые ОДУ, которые имеют компонент единого решения, могут быть заданы как анонимная функция в вызове решателя. Анонимная функция должна принять два входных параметров (t,y), даже если одни из входных параметров не используются.

Решите ОДУ

y′=2t.

Используйте временной интервал [0,5] и начального условия y0 = 0.

tspan = [0 5];
y0 = 0;
[t,y] = ode45(@(t,y) 2*t, tspan, y0);

Постройте решение.

plot(t,y,'-o')

Открыть скрипт

Уравнение Ван дер Поля является ОДУ второго порядка

где скалярный параметр. Перепишите это уравнение как систему ОДУ первого порядка путем создания замены. Получившаяся система ОДУ первого порядка

Файл функции vdp1.m представляет использование уравнения Ван дер Поля. Переменные и являются записями y(1) и y(2) двухэлементного вектора, dydt.

function dydt = vdp1(t,y)
%VDP1  Evaluate the van der Pol ODEs for mu = 1
%
%   See also ODE113, ODE23, ODE45.

%   Jacek Kierzenka and Lawrence F. Shampine
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

Решите ОДУ с помощью функции ode45 на временном интервале [0 20] с начальными значениями [2 0]. Получившийся вывод является вектор-столбцом моментов времени t и массив решения y. Каждая строка в y соответствует времени, возвращенному в соответствующей строке t. Первый столбец y соответствует, и второй столбец к.

[t,y] = ode45(@vdp1,[0 20],[2; 0]);

Постройте решения для и против t.

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o')
title('Solution of van der Pol Equation (\mu = 1) with ODE45');
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y');
legend('y_1','y_2')

Открыть скрипт

ode45 только работает с функциями, которые используют два входных параметра, t и y. Однако можно передать в дополнительных параметрах путем определения их вне функции и передачи их в том, когда вы задаете указатель на функцию.

Решите ОДУ

При перезаписи уравнения, когда уступает система первого порядка

odefcn.m представляет эту систему уравнений как функцию, которая принимает четыре входных параметра: t, y, A и B.

function dydt = odefcn(t,y,A,B)
dydt = zeros(2,1);
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);

Решить ОДУ используя решатель ode45. Задайте указатель на функцию, таким образом, что он передает в предопределенных значениях для A и B к odefcn.

A = 1;
B = 2;
tspan = [0 5];
y0 = [0 0.01];
[t,y] = ode45(@(t,y) odefcn(t,y,A,B), tspan, y0);

Постройте график результатов.

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-.')

Открыть скрипт

Рассмотрите следующее ОДУ с зависящими от времени параметрами

Начальное условие. Функциональный f(t) задан n-1 векторным f, оцененным во времена ft. Функциональный g(t) задан m-1 векторным g, оцененным во времена gt.

Создайте векторы f и g.

ft = linspace(0,5,25);
f = ft.^2 - ft - 3;

gt = linspace(1,6,25);
g = 3*sin(gt-0.25);

Запишите функции с именем myode, который интерполирует f и g, чтобы получить значение зависящих от времени условий в требуемое время. Сохраните функцию в своей текущей папке, чтобы запустить остальную часть примера.

Функция myode принимает, что дополнительные входные параметры оценивают ОДУ на каждом временном шаге, но ode45 только использует первые два входных параметра t и y.

function dydt = myode(t,y,ft,f,gt,g)
f = interp1(ft,f,t); % Interpolate the data set (ft,f) at time t
g = interp1(gt,g,t); % Interpolate the data set (gt,g) at time t
dydt = -f.*y + g; % Evaluate ODE at time t

Решите уравнение по временному интервалу [1 5] с помощью ode45. Задайте функцию с помощью указателя на функцию так, чтобы ode45 использовал только первые два входных параметра myode. Также ослабьте пороги ошибок, используя odeset.

tspan = [1 5];
ic = 1;
opts = odeset('RelTol',1e-2,'AbsTol',1e-4);
[t,y] = ode45(@(t,y) myode(t,y,ft,f,gt,g), tspan, ic, opts);

Постройте решение, y, как функция моментов времени, t.

plot(t,y)

Скрипт Open Live Script

Уравнение Ван дер Поля является ОДУ второго порядка

y1′′-μ(1-y12)y1′+y1=0.

Решите уравнение Ван дер Поля с μ=1 использование ode45. Функциональный vdp1.m поставляется с MATLAB® и кодирует уравнения. Задайте один вывод, чтобы возвратить структуру, содержащую информацию о решении, таком как точки оценки и решатель. 

tspan = [0 20];
y0 = [2 0];
sol = ode45(@vdp1,tspan,y0)
sol = struct with fields:
     solver: 'ode45'
    extdata: [1x1 struct]
          x: [1x60 double]
          y: [2x60 double]
      stats: [1x1 struct]
      idata: [1x1 struct]

Используйте linspace, чтобы сгенерировать 250 точек в интервале [0 20]. Оцените решение в этих точках с помощью deval.

x = linspace(0,20,250);
y = deval(sol,x);

Постройте первый компонент решения.

plot(x,y(1,:))

Расширьте решение tf=35 использование odextend и добавляет результат в исходный график.

sol_new = odextend(sol,@vdp1,35);
x = linspace(20,35,350);
y = deval(sol_new,x);
hold on
plot(x,y(1,:),'r')

Входные параметры

свернуть все

Функции, чтобы решить, заданный как указатель на функцию, который задает функции, которые будут интегрированы.

Функциональный dydt = odefun(t,y), для скалярного t и вектор-столбца y, должен возвратить вектор-столбец dydt типа данных single или double, который соответствует f(t,y). odefun должен принять оба входных параметра, t и y, даже если один из аргументов не используется в функции.

Например, чтобы решить y'=5y−3, используйте функцию:

function dydt = odefun(t,y)
dydt = 5*y-3;

Для системы уравнений вывод odefun является вектором. Каждый элемент в векторе является решением одного уравнения. Например, чтобы решить

y'1=y1+2y2y'2=3y1+2y2

используйте функцию:

function dydt = odefun(t,y)
dydt = zeros(2,1);
dydt(1) = y(1)+2*y(2);
dydt(2) = 3*y(1)+2*y(2);

Для получения информации о том, как предоставить дополнительные параметры функциональному odefun, смотрите Функции Параметризации.

Пример: @myFcn

Типы данных: function_handle

Интервал интегрирования, заданного как вектор. В минимуме tspan должен быть двумя векторами элемента [t0 tf], задающий начальные и итоговые времена. Чтобы получить решения в конкретные моменты времени между t0 и tf, используйте более длинный вектор формы [t0,t1,t2,...,tf]. Элементы в tspan должны все увеличиваться или все уменьшение.

Решатель налагает начальные условия, данные y0 в начальное время tspan(1), затем объединяется от tspan(1) до tspan(end):

  • Если tspan имеет два элемента, [t0 tf], то решатель возвращает решение, оцененное в каждом внутреннем этапе интеграции в интервале.

  • Если tspan имеет больше чем два элемента [t0,t1,t2,...,tf], то решатель возвращает решение, оцененное в данных точках. Однако решатель не продвигается точно в каждую точку, заданную в tspan. Вместо этого решатель использует свои собственные внутренние шаги, чтобы вычислить решение, затем оценивает решение в требуемых точках в tspan. Решения, произведенные в заданных точках, имеют тот же порядок точности как решения, вычисленные на каждом внутреннем шаге.

    Определение нескольких промежуточных точек имеет мало эффекта на эффективность вычисления, но для больших систем это может влиять на управление памятью.

Значения tspan используются решателем, чтобы вычислить подходящие значения для InitialStep и MaxStep:

  • Если tspan содержит несколько промежуточных точек [t0,t1,t2,...,tf], то заданные точки дают индикацию относительно шкалы для проблемы, которая может влиять на значение InitialStep, используемого решателем. Поэтому решение, полученное решателем, может отличаться в зависимости от того, задаете ли вы tspan как двухэлементный вектор или как вектор с промежуточными точками.

  • Начальные и окончательные значения в tspan используются, чтобы вычислить максимальный размер шага MaxStep. Поэтому изменение начальных или окончательных значений в tspan могло привести к решателю с помощью различной последовательности шага, которая может изменить решение.

Пример: [1 10]

Пример: [1 3 5 7 9 10]

Типы данных: single | double

Начальные условия, заданные как вектор. y0 должен быть той же длиной как векторный вывод odefun, так, чтобы y0 содержал начальное условие для каждого уравнения, определенного в odefun.

Типы данных: single | double

Структура опции, заданная как массив структур. Используйте функцию odeset, чтобы создать или изменить структуру опций. См. Сводные данные Опций ОДУ для списка опций, совместимых с каждым решателем.

Пример: options = odeset('RelTol',1e-5,'Stats','on','OutputFcn',@odeplot) задает допуск относительной погрешности 1e-5, включает отображение статистики решателя и задает выходную функцию @odeplot, чтобы построить решение, когда это вычисляется.

Типы данных: struct

Выходные аргументы

свернуть все

Точки оценки, возвращенные как вектор-столбец.

  • Если tspan содержит два элемента, [t0 tf], то t содержит внутренние точки оценки, раньше выполнял интегрирование.

  • Если tspan содержит больше чем два элемента, то t совпадает с tspan.

Решения, возвращенные как массив. Каждая строка в y соответствует решению в значении, возвращенном в соответствующей строке t.

Время событий, возвращенных как вектор-столбец. Время наступления события в te соответствует решениям, возвращаемым в ye, и ie определяет, какое событие произошло.

Решение во время событий, возвращенных как массив. Время наступления события в te соответствует решениям, возвращаемым в ye, и ie определяет, какое событие произошло.

Индекс исчезающей функции события, возвращенной как вектор-столбец. Время наступления события в te соответствует решениям, возвращаемым в ye, и ie определяет, какое событие произошло.

Структура для оценки, возвращенной как массив структур. Используйте эту структуру с функцией deval, чтобы оценить решение в любой точке в интервале [t0 tf]. Массив структур sol всегда включает эти поля:

Поле структурыОписание

sol.x

Вектор строка с шагом, выбранным решателем.

sol.y

Решения. Каждый столбец sol.y(:,i) содержит решение во время sol.x(i).

sol.solver

Имя решателя.

Кроме того, если вы задаете опцию Events, и события обнаруживаются, затем sol также включает эти поля:

Поле структурыОписание

sol.xe

Точки, когда события имели место. sol.xe(end) содержит точное место терминального события, если таковые имеются.

sol.ye

Решения, которые соответствуют событиям в sol.xe.

sol.ie

Индексы в вектор, возвращенный функцией, заданы в опции Events. Значения указывают, какое событие решатель обнаружил.

Алгоритмы

ode45 основан на явной формуле Рунге-Кутта (4,5), модификации Дорманда-Принца. Это - одношаговый решатель – в вычислении y(tn), этому нужно только решение в непосредственно предшествующем моменте времени, y(tn-1) [1], [2].

Ссылки

[1] Dormand, J. R. and P. J. Prince, “A family of embedded Runge-Kutta formulae,” J. Comp. Appl. Math., Vol. 6, 1980, pp. 19–26.

[2] Шемпин, L. F. и М. В. Рейчелт, “Пакет ODE MATLAB”, SIAM Journal на Научных вычислениях, Издании 18, 1997, стр 1–22.

Расширенные возможности

Смотрите также

| | | | | |

Темы

Представлено до R2006a

Документация MATLAB
Поддержка
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте