Решите уравнения добычи хищника

Этот пример показывает, как решить дифференциальное уравнение, представляющее модель хищника/добычи, использующую и ode23 и ode45. Эти функции являются для числового решения размера шага переменной использования обыкновенных дифференциальных уравнений методами интегрирования Рунге-Кутта. ode23 использует простую 2-ю и 3-ю пару порядка формул для средней точности, и ode45 использует 4-ю и 5-ю пару порядка для более высокой точности.

Считайте пару обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка известной как уравнения Лотки - Вольтерры или модель добычи хищника:

$\begin{array}{l} \frac{дуплекс}{dt} = x - α x, y \\ \frac{dy}{dt} = - y + β x, y . \end{array}$

Переменные $x$ и $y$ измерьте размеры добычи и популяций хищников, соответственно. Квадратичный перекрестный термин составляет взаимодействия между разновидностями. Увеличение населения добычи, когда никакие хищники не присутствуют, и уменьшения популяции хищников, когда добыча недостаточны.

Уравнения кода

Чтобы моделировать систему, создайте функцию, которая возвращает вектор-столбец производных состояния, учитывая состояние и временные стоимости. Эти две переменные $x$ и $y$ может быть представлен в MATLAB как первые два значения в векторном y. Точно так же производные являются первыми двумя значениями в векторном yp. Функция должна принять значения для t и y и возвратить значения, произведенные уравнениями в yp.

yp(1) = (1 - alpha*y(2))*y(1)

yp(2) = (-1 + beta*y(1))*y(2)

В этом примере уравнения содержатся в файле под названием lotka.m. Этот файл использует значения параметров $α = 0.01$ и $β = 0.02$ .

type lotka

function yp = lotka(t,y)
%LOTKA  Lotka-Volterra predator-prey model.

%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

yp = diag([1 - .01*y(2), -1 + .02*y(1)])*y;

Моделируйте систему

Используйте ode23, чтобы решить дифференциальное уравнение, определенное в lotka на интервале $0 < t < 15$ . Используйте начальное условие $x (0) = y (0) = 20$ так, чтобы популяции хищников и добычи были равны.

t0 = 0;
tfinal = 15;
y0 = [20; 20];   
[t,y] = ode23(@lotka,[t0 tfinal],y0);

Постройте результаты

Постройте получившееся население против времени.

plot(t,y)
title('Predator/Prey Populations Over Time')
xlabel('t')
ylabel('Population')
legend('Prey','Predators','Location','North')

Теперь постройте население друг против друга. Получившийся график плоскости фазы делает циклическое отношение между населением очень ясным.

plot(y(:,1),y(:,2))
title('Phase Plane Plot')
xlabel('Prey Population')
ylabel('Predator Population')

Сравните результаты других решателей

Решите систему во второй раз с помощью ode45 вместо ode23. Решатель ode45 занимает больше времени у каждого шага, но это также делает большие шаги. Тем не менее, вывод ode45 сглажен, потому что по умолчанию решатель использует непрерывную дополнительную формулу, чтобы произвести вывод в четырех равномерно распределенных моментах времени в промежутке каждого сделанного шага. (Можно настроить число точек с опцией 'Refine'.) Строят оба решения для сравнения.

[T,Y] = ode45(@lotka,[t0 tfinal],y0);

plot(y(:,1),y(:,2),'-',Y(:,1),Y(:,2),'-');
title('Phase Plane Plot')
legend('ode23','ode45')

Результаты показывают, что решение дифференциальных уравнений с помощью различных численных методов может произвести немного отличающиеся ответы.

Смотрите также

ode23 | ode45

Документация