Решение нежестких дифференциальных уравнений — метод низкого порядка точности
[t,y] =
ode23(odefun,tspan,y0)[t,y] =
ode23(odefun,tspan,y0,options)[t,y,te,ye,ie]
= ode23(odefun,tspan,y0,options)sol = ode23(___)[, где t,y] =
ode23(odefun,tspan,y0)tspan = [t0 tf], интегрирует систему дифференциальных уравнений от t0 до tf с начальными условиями y0. Каждая строка в массиве решения y соответствует значению, возвращенному в вектор-столбце t.
Все решатели MATLAB® ODE могут решить системы уравнений формы , или проблемы, которые включают большую матрицу, . Решатели все использование подобные синтаксисы. Решатель ode23s только может решить проблемы с большой матрицей, если большая матрица является постоянной. ode15s и ode23t могут решить проблемы с большой матрицей, которая сингулярна, известна как дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ). Задайте большую матрицу с помощью опции Mass odeset.
[ также использует настройки интегрирования, заданные t,y] =
ode23(odefun,tspan,y0,options)options, который является созданным использованием аргумента функции odeset. Например, используйте AbsTol и опции RelTol, чтобы задать допуски абсолютной и относительной погрешности или опцию Mass, чтобы обеспечить большую матрицу.
[ дополнительно находит, где функции (t, y), вызвал функции события, являются нулем. В выводе t,y,te,ye,ie]
= ode23(odefun,tspan,y0,options)te является временем события, ye является решением во время события, и ie является индексом инициированного события.
Для каждой функции события задайте, должно ли интегрирование остановиться в нуле и имеет ли направление нулевого пересечения значение. Сделайте это путем установки свойства 'Events' на функцию, такую как myEventFcn или @myEventFcn, и создания соответствующей функции: [value, isterminal, direction] = myEventFcn (t, y). Для получения дополнительной информации смотрите Местоположение События ОДУ.
sol = ode23(___)deval, чтобы оценить решение в любой точке на интервале [t0 tf]. Можно использовать любую из комбинаций входных аргументов в предыдущих синтаксисах.
Простые ОДУ, которые имеют компонент единого решения, могут быть заданы как анонимная функция в вызове решателя. Анонимная функция должна принять два входных параметров (t,y), даже если одни из входных параметров не используются.
Решите ОДУ
Используйте временной интервал [0,5] и начального условия y0 = 0.
tspan = [0 5]; y0 = 0; [t,y] = ode23(@(t,y) 2*t, tspan, y0);
Постройте решение.
plot(t,y,'-o')
Уравнение Ван дер Поля является ОДУ второго порядка
где
скалярный параметр. Перепишите это уравнение как систему ОДУ первого порядка путем создания замены
. Получившаяся система ОДУ первого порядка
Файл функции vdp1.m представляет использование уравнения Ван дер Поля
. Переменные
и
являются записями y(1) и y(2) двухэлементного вектора, dydt.
function dydt = vdp1(t,y) %VDP1 Evaluate the van der Pol ODEs for mu = 1 % % See also ODE113, ODE23, ODE45. % Jacek Kierzenka and Lawrence F. Shampine % Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc. dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
Решите ОДУ с помощью функции ode23 на временном интервале [0 20] с начальными значениями [2 0]. Получившийся вывод является вектор-столбцом моментов времени t и массив решения y. Каждая строка в y соответствует времени, возвращенному в соответствующей строке t. Первый столбец y соответствует, и второй столбец к.
[t,y] = ode23(@vdp1,[0 20],[2; 0]);
Постройте решения для и против t.
plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o') title('Solution of van der Pol Equation (\mu = 1) with ODE23'); xlabel('Time t'); ylabel('Solution y'); legend('y_1','y_2')
ode23 только работает с функциями, которые используют два входных параметра, t и y. Однако можно передать в дополнительных параметрах путем определения их вне функции и передачи их в том, когда вы задаете указатель на функцию.
Решите ОДУ
При перезаписи уравнения, когда уступает система первого порядка
odefcn.m представляет эту систему уравнений как функцию, которая принимает четыре входных параметра: t, y, A и B.
function dydt = odefcn(t,y,A,B)
dydt = zeros(2,1);
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);
Решите ОДУ с помощью ode23. Задайте указатель на функцию, таким образом, что он передает в предопределенных значениях для A и B к odefcn.
A = 1; B = 2; tspan = [0 5]; y0 = [0 0.01]; [t,y] = ode23(@(t,y) odefcn(t,y,A,B), tspan, y0);
Постройте график результатов.
plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-.')
По сравнению с ode45 решатель ode23 лучше в решении проблем с допусками грубой ошибки.
Сравните производительность ode45 и ode23 путем решения умеренно жесткого ОДУ
для . Это ОДУ является тестовым уравнением, которое становится все больше жестким как увеличения. Используйте odeset, чтобы включить отображение статистики решателя.
opts = odeset('Stats','on'); tspan = [0 2]; y0 = 1; lambda = 1e3; subplot(1,2,1) tic, ode45(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts), toc
615 successful steps 35 failed attempts 3901 function evaluations Elapsed time is 0.975285 seconds.
title('ode45')
subplot(1,2,2)
tic, ode23(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts), toc822 successful steps 2 failed attempts 2473 function evaluations Elapsed time is 0.609011 seconds.
title('ode23')
Для этой умеренно жесткой проблемы ode23 выполняется немного быстрее, чем ode45 и также имеет меньше не пройдено шагов. Размеры шага, взятые ode45 и ode23 для этой проблемы, ограничиваются требованиями устойчивости уравнения, а не точностью. Поскольку шаги, сделанные ode23, являются более дешевыми, чем с ode45, решатель ode23 выполняется более быстрый даже при том, что это делает больше шагов.
ode23 является реализацией явного Рунге-Кутта (2,3) пара Богацков и Шемпина. Это может быть более эффективно, чем ode45 в грубых допусках и в присутствии умеренной жесткости. ode23 является одношаговым решателем [1], [2].
[1] Богацки, P. и Л. Ф. Шемпин, “3 (2) пара формул Рунге-Кутта”, Прикладная Математика. Буквы, Издание 2, 1989, стр 321–325.
[2] Шемпин, L. F. и М. В. Рейчелт, “Пакет ODE MATLAB”, SIAM Journal на Научных вычислениях, Издании 18, 1997, стр 1–22.