Вычислите инверсию 3х3 матрицы.

X = [1 0 2; -1 5 0; 0 3 -9]

X = 3×3

     1     0     2
    -1     5     0
     0     3    -9

Y = inv(X)

Y = 3×3

    0.8824   -0.1176    0.1961
    0.1765    0.1765    0.0392
    0.0588    0.0588   -0.0980

Проверяйте результаты. Идеально, Y*X производит единичную матрицу. Поскольку inv выполняет матричную инверсию с помощью вычислений с плавающей точкой в практике, Y*X близко к, но не точно равен, единичная матрица eye(size(X)).

Y*X

ans = 3×3

    1.0000    0.0000   -0.0000
         0    1.0000   -0.0000
         0   -0.0000    1.0000

Исследуйте, почему решение линейной системы путем инвертирования матрицы с помощью inv(A)*b является нижним к решению его непосредственно использование оператора наклонной черты влево, x = A\b.

Создайте случайный матричный A порядка 500, который создается так, чтобы его номером условия, cond(A), был 1e10, и его нормой, norm(A), является 1. Точным решением x является случайным вектором длины 500, и правая сторона, является b = A*x. Таким образом система линейных уравнений плохо обусловливается, но сопоставимая.

n = 500; 
Q = orth(randn(n,n));
d = logspace(0,-10,n);
A = Q*diag(d)*Q';
x = randn(n,1);
b = A*x;

Решите линейную систему A*x = b путем инвертирования матрицы коэффициентов A. Используйте tic и toc, чтобы получить информацию синхронизации.

tic
y = inv(A)*b; 
t = toc

t = 0.0211

Найдите абсолютную погрешность и остаточную ошибку вычисления.

err_inv = norm(y-x)

err_inv = 4.8071e-06

res_inv = norm(A*y-b)

res_inv = 3.6977e-07

Теперь, решите ту же линейную систему с помощью оператора наклонной черты влево \.

tic
z = A\b;
t1 = toc

t1 = 0.0128

err_bs = norm(z-x)

err_bs = 3.7267e-06

res_bs = norm(A*z-b)

res_bs = 3.3063e-15

Вычисление наклонной черты влево более быстро и имеет меньше остаточной ошибки несколькими порядками величины. То, что err_inv и err_bs находятся оба на порядке 1e-6 просто, отражает количество условия матрицы.

Поведение этого примера типично. Используя A\b вместо inv(A)*b в два - три раза быстрее, и производит невязки на порядке точности машины относительно значения данных.