Вычислите LU-факторизацию матрицы и исследуйте получившиеся факторы. LU-факторизация является способом анализировать матрицу $\mathit{A}$ в верхнюю треугольную матрицу $\mathit{U}$, нижняя треугольная матрица $\mathit{L}$, и матрица перестановок $\mathit{P}$ таким образом, что $\mathrm{PA}=\mathrm{Лютеций}$. Эти матрицы описывают шаги, должен был выполнить Исключение Гаусса на матрице, пока это не находится в приведенном ступенчатом по строкам виде матрицы. $\mathit{L}$ матрица содержит все множители и матрицу перестановок $\mathit{P}$ счета на обмены строки.

Создайте 3х3 матрицу и вычислите факторы LU.

A = [10 -7 0
     -3  2 6
      5 -1 5];

[L,U] = lu(A)

L = 3×3

    1.0000         0         0
   -0.3000   -0.0400    1.0000
    0.5000    1.0000         0

U = 3×3

   10.0000   -7.0000         0
         0    2.5000    5.0000
         0         0    6.2000

Умножьте факторы, чтобы воссоздать A. С 2D входным синтаксисом lu включает матрицу перестановок P непосредственно в фактор L, такой, что возвращаемым L является действительно P'*L и таким образом A = L*U.

L*U

ans = 3×3

   10.0000   -7.0000         0
   -3.0000    2.0000    6.0000
    5.0000   -1.0000    5.0000

Можно задать три выходных параметров, чтобы разделить матрицу перестановок от множителей в L.

[L,U,P] = lu(A)

L = 3×3

    1.0000         0         0
    0.5000    1.0000         0
   -0.3000   -0.0400    1.0000

U = 3×3

   10.0000   -7.0000         0
         0    2.5000    5.0000
         0         0    6.2000

P = 3×3

     1     0     0
     0     0     1
     0     1     0

P'*L*U

ans = 3×3

   10.0000   -7.0000         0
   -3.0000    2.0000    6.0000
    5.0000   -1.0000    5.0000

Решите линейную систему путем выполнения LU-факторизации и использования факторов, чтобы упростить проблему. Сравните результаты с другими подходами с помощью оператора наклонной черты влево и объекта decomposition.

Создайте матрицу магического квадрата 5 на 5 и решите линейную систему $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$ со всеми элементами b равняются 65, волшебная сумма. С тех пор 65 волшебная сумма для этой матрицы (все строки и столбцы добавляют к 65), ожидаемое решение для x является вектором 1 с.

A = magic(5);
b = 65*ones(5,1);
x = A\b

x = 5×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

Для типичных квадратных матриц оператор наклонной черты влево вычисляет решение линейной системы с помощью разложения LU. Разложение LU выражает A как продукт треугольных матриц, и линейные системы, включающие треугольные матрицы, легко решены с помощью формул замены.

Чтобы воссоздать ответ, вычисленный наклонной чертой влево, вычислите разложение LU A. Затем используйте факторы, чтобы решить две треугольных линейных системы:

y = L\(P*b);
x = U\y;

Этот подход предварительного вычисления матричных факторов до решения линейной системы может улучшать производительность, когда много линейных систем будут решены, поскольку факторизация происходит только однажды и не должна быть повторена.

[L,U,P] = lu(A)

L = 5×5

    1.0000         0         0         0         0
    0.7391    1.0000         0         0         0
    0.4783    0.7687    1.0000         0         0
    0.1739    0.2527    0.5164    1.0000         0
    0.4348    0.4839    0.7231    0.9231    1.0000

U = 5×5

   23.0000    5.0000    7.0000   14.0000   16.0000
         0   20.3043   -4.1739   -2.3478    3.1739
         0         0   24.8608   -2.8908   -1.0921
         0         0         0   19.6512   18.9793
         0         0         0         0  -22.2222

P = 5×5

     0     1     0     0     0
     1     0     0     0     0
     0     0     0     0     1
     0     0     1     0     0
     0     0     0     1     0

y = L\(P*b);
x = U\y

x = 5×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

Объект decomposition также полезен, чтобы решить линейные системы с помощью специализированных факторизаций, поскольку вы получаете многие выигрыши в производительности предварительного вычисления матричных факторов, но вы не должны знать, как использовать факторы. Используйте объект разложения с типом 'lu', чтобы воссоздать те же результаты.

dA = decomposition(A,'lu');
x = dA\b

x = 5×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

Вычислите LU-факторизацию разреженной матрицы и проверьте идентичность L*U = P*S*Q.

Создайте 60 60 разреженную матрицу смежности графика возможности соединения Buckminster-более-полного геодезического купола.

S = bucky;

Вычислите LU-факторизацию S с помощью синтаксиса разреженной матрицы с четырьмя выходными параметрами, чтобы возвратить матрицы перестановки строки и столбца.

[L,U,P,Q] = lu(S);

Переставьте строки и столбцы S с P*S*Q и сравните результат с умножением треугольных факторов L*U. 1 норма их различия в ошибке округления, указывая на тот L*U = P*S*Q.

e = P*S*Q - L*U;
norm(e,1)

ans = 2.4425e-15

Вычислите LU-факторизацию матрицы. Сохраните память путем возврата перестановок строки как вектора вместо матрицы.

Создайте случайную матрицу 1000 на 1000.

A = rand(1000);

Вычислите LU-факторизацию с информацией перестановки, хранившей как матричный P. Сравните результат с информацией перестановки, хранившей как векторный p. Чем больше матрица, тем больше памяти эффективный она должна использовать вектор перестановки.

[L1,U1,P] = lu(A);
[L2,U2,p] = lu(A,'vector');
whos P p

  Name         Size                Bytes  Class     Attributes

  P         1000x1000            8000000  double              
  p            1x1000               8000  double              

Используя вектор перестановки также сохраняет на времени выполнения в последующих операциях. Например, можно использовать предыдущие LU-факторизации, чтобы решить линейную систему $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$. Несмотря на то, что решения, полученные из вектора перестановки и матрицы перестановок, эквивалентны (чтобы округлить), решение с помощью вектора перестановки обычно требует немного меньшего количества времени.

Сравните результаты вычисления LU-факторизации разреженной матрицы с и без перестановок столбца.

Загрузите матрицу west0479, которая является с действительным знаком 479 479 разреженная матрица.

load west0479
A = west0479;

Вычислите LU-факторизацию A путем вызова lu с тремя выходными параметрами. Сгенерируйте графики шпиона L и факторов U.

[L,U,P] = lu(A);
subplot(1,2,1)
spy(L)
title('L factor')
subplot(1,2,2)
spy(U)
title('U factor')

Теперь, вычислите LU-факторизацию A с помощью lu с четырьмя выходными параметрами, который переставляет столбцы A, чтобы сократить количество ненулей в факторах. Получившиеся факторы намного более разреженны, чем, если перестановки столбца не используются.

[L,U,P,Q] = lu(A);
subplot(1,2,1)
spy(L)
title('L factor')
subplot(1,2,2)
spy(U)
title('U factor')