остаток

Расширение элементарной дроби (разложение элементарной дроби)

Синтаксис

[r,p,k] = residue(b,a)
[b,a] = residue(r,p,k)

Описание

пример

[r,p,k] = residue(b,a) находит остатки, полюса и прямой срок Расширения Элементарной дроби отношения двух полиномов, где расширение имеет форму

b(s)a(s)=bmsm+bm1sm1++b1s+b0ansn+an1sn1++a1s+a0=rnspn+...+r2sp2+r1sp1+k(s).

Входные параметры к residue являются векторами коэффициентов полиномов b = [bm ... b1 b0] и a = [an ... a1 a0]. Выходные параметры являются остатками r = [rn ... r2 r1], полюса p = [pn ... p2 p1] и полиномиальный k. Для большинства проблем учебника k является 0 или константа.

пример

[b,a] = residue(r,p,k) преобразовывает расширение элементарной дроби назад на отношение двух полиномов и возвращает коэффициенты в b и a.

Примеры

свернуть все

Найдите расширение элементарной дроби следующего отношения полиномов F (s) использование residue

F(s)=b(s)a(s)=-4s+8s2+6s+8.

b = [-4 8];
a = [1 6 8];
[r,p,k] = residue(b,a)
r = 2×1

   -12
     8

p = 2×1

    -4
    -2

k =

     []

Это представляет расширение элементарной дроби

-4s+8s2+6s+8=-12s+4+8s+2.

Преобразуйте расширение элементарной дроби назад на полиномиальные коэффициенты с помощью residue.

[b,a] = residue(r,p,k)
b = 1×2

    -4     8

a = 1×3

     1     6     8

Этот результат представляет исходную часть F (s).

Если степень числителя равна степени знаменателя, вывод k может быть ненулевым.

Найдите расширение элементарной дроби отношения двух полиномов F (s) с комплексными корнями и равной степенью числителя и знаменателя, где F (s)

F(s)=b(s)a(s)=2s3+s2s3+s+1.

b = [2 1 0 0];
a = [1 0 1 1];
[r,p,k] = residue(b,a)
r = 3×1 complex

   0.5354 + 1.0390i
   0.5354 - 1.0390i
  -0.0708 + 0.0000i

p = 3×1 complex

   0.3412 + 1.1615i
   0.3412 - 1.1615i
  -0.6823 + 0.0000i

k = 2

residue возвращает комплексные корни и полюса и постоянный термин в k, представляя расширение элементарной дроби

F(s)=b(s)a(s)=2s3+s2s3+s2+1=0.5354+1.0390is-(0.3412+1.1615i)+0.5354-1.0390is-(0.3412-1.1615i)+-0.0708s+0.6823+2.

Когда степень числителя больше, чем степень знаменателя, вывод k является вектором, который представляет коэффициенты полинома в s.

Выполните следующее расширение элементарной дроби F (s) использование residue.

F(s)=b(s)a(s)=2s4+ss2+1=0.5-1is-1i+0.5+1is+1i+2s2-2.

b = [2 0 0 1 0];
a = [1 0 1];
[r,p,k] = residue(b,a)
r = 2×1 complex

   0.5000 - 1.0000i
   0.5000 + 1.0000i

p = 2×1 complex

   0.0000 + 1.0000i
   0.0000 - 1.0000i

k = 1×3

     2     0    -2

k представляет полином 2s2-2.

Входные параметры

свернуть все

Коэффициенты полинома в числителе, заданном как вектор чисел, представляющих коэффициенты полинома в убывающих степенях s.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да

Коэффициенты полинома в знаменателе, заданном как вектор чисел, представляющих коэффициенты полинома в убывающих степенях s.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да

Выходные аргументы

свернуть все

Остатки расширения элементарной дроби, возвращенного как вектор-столбец чисел.

Полюса расширения элементарной дроби, возвращенного как вектор-столбец чисел.

Прямой термин, возвращенный как вектор - строка из чисел, которые задают коэффициенты полинома в убывающих степенях s.

Больше о

свернуть все

Расширение элементарной дроби

Рассмотрите дробный F (s) двух полиномов b и a степени n и m, соответственно

F(s)=b(s)a(s)=bnsn++b2s2+b1s+b0amsm++a2s2+a1s+a0.

Дробный F (s) может быть представлен как сумма простых дробей

b(s)a(s)=rmspm+rm1spm1++r0sp0+k(s)

Эта сумма называется расширением элементарной дроби F. Значения r m..., r 1 является остатками, значения p m..., p 1, являются полюсами, и k (s) является полиномом в s. Для большинства проблем учебника k (s) 0 или константа.

Количество полюсов n

n = length(a)-1 = length(r) = length(p)

Прямой вектор термина пуст если length(b) < length(a); в противном случае

length(k) = length(b)-length(a)+1

Если p(j) = ... = p(j+m-1) является полюсом кратности m, то расширение включает условия формы

rjspj+rj+1(spj)2++rj+m1(spj)m.

Алгоритмы

residue сначала получает полюса с помощью roots. Затем, если часть является несоответствующей, прямой термин, которым k найден с помощью deconv, который выполняет полиномиальное длинное деление. Наконец, residue определяет остатки путем оценки полинома с отдельными удаленными корнями. Для повторных корней resi2 вычисляет остатки в повторных корневых местоположениях.

Численно, расширение элементарной дроби отношения полиномов представляет плохо изложенную проблему. Если полином знаменателя, a (s), около полинома с несколькими корнями, то небольшие изменения в данных, включая ошибки округления, могут привести к произвольно большим изменениям в получившихся полюсах и остатках. Проблемные формулировки, использующие пространство состояний или нулевые полюсные представления, предпочтительны.

Ссылки

[1] Оппенхейм, А.В. и Р.В. Шафер. Цифровая обработка сигналов. Prentice Hall, 1975, p. 56.

Представлено до R2006a

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте