Нелинейные ограничения с градиентами

Обычно, стандартные программы минимизации используют числовые градиенты, вычисленные приближением конечной разности. Эта процедура систематически тревожит каждую из переменных в порядке вычислить ограничительные частные производные и функция. Также можно обеспечить функцию, чтобы вычислить частные производные аналитически. Как правило, проблема решена более точно и эффективно если такая функция обеспечивается.

Рассмотрите, как решить

$\min_{x} f (x) = e^{x_{1}} (4 x_{}^{12} + 2 x_{}^{22} + 4 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} + 1) .$

подвергните ограничениям

x _1x2 – x ₁ – x ₂ ≤ –1.5,
x _1x2 ≥ –10.

Чтобы решить проблему, использующую аналитически определенные градиенты, сделайте следующее.

Шаг 1: Запишите файл для целевой функции и градиента.

function [f,gradf] = objfungrad(x)
f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
% Gradient of the objective function:
if nargout  > 1
    gradf = [ f + exp(x(1)) * (8*x(1) + 4*x(2)), 
    exp(x(1))*(4*x(1)+4*x(2)+2)];
end

Шаг 2: Запишите файл для нелинейных ограничений и градиентов нелинейных ограничений.

function [c,ceq,DC,DCeq] = confungrad(x)
c(1) = 1.5 + x(1) * x(2) - x(1) - x(2); % Inequality constraints
c(2) = -x(1) * x(2)-10; 
% No nonlinear equality constraints
ceq=[];
% Gradient of the constraints:
if nargout > 2
    DC= [x(2)-1, -x(2);
        x(1)-1, -x(1)];
    DCeq = [];
end

gradf содержит частные производные целевой функции, f, возвращенного objfungrad(x), относительно каждого из элементов в x:

\nabla f = [\begin{matrix} e^{x_{1}} (4 x_{}^{12} + 2 x_{}^{22} + 4 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} + 1) + e^{x_{1}} (8 x_{1} + 4 x_{2}) \\ e^{x_{1}} (4 x_{1} + 4 x_{2} + 2) \end{matrix}] .

(1)

Столбцы DC содержат частные производные для каждого соответствующего ограничения (т.е. i th столбец DC является частной производной i th ограничение относительно x). Таким образом в вышеупомянутом примере, DC

[\begin{matrix} \frac{\partial c_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial c_{2}}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial c_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial c_{2}}{\partial x_{2}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{2} - 1 & - x_{2} \\ x_{1} - 1 & - x_{1} \end{matrix}] .

(2)

Поскольку вы обеспечиваете градиент цели в objfungrad.m и градиент ограничений в confungrad.m, необходимо сказать fmincon, что эти файлы содержат эту дополнительную информацию. Используйте optimoptions, чтобы повернуть опции SpecifyObjectiveGradient и SpecifyConstraintGradient к true в существующем options примера:

options = optimoptions(options,'SpecifyObjectiveGradient',true,'SpecifyConstraintGradient',true);

Если вы не устанавливаете эти опции на 'on', fmincon не использует аналитические градиенты.

Аргументы lb и ub помещают нижние и верхние границы в независимые переменные в x. В этом примере нет никаких связанных ограничений, таким образом установите обоих на [].

Шаг 3: Вызовите ограниченную стандартную программу оптимизации.

x0 = [-1,1];            % Starting guess 
options = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','sqp');
options = optimoptions(options,'SpecifyObjectiveGradient',true,'SpecifyConstraintGradient',true);
lb = [ ]; ub = [ ];   % No upper or lower bounds
[x,fval] = fmincon(@objfungrad,x0,[],[],[],[],lb,ub,... 
   @confungrad,options);

Результаты:

x,fval
x =
    -9.5474    1.0474
fval =
     0.0236

[c,ceq] = confungrad(x) % Check the constraint values at x
c =
   1.0e-13 *
   -0.1066
    0.1066

ceq =
     []

Документация