Электростатика

Приложения включающая электростатика включают аппараты высокого напряжения, электронные устройства и конденсаторы. В электростатике скорость изменения является медленной, и длины волн являются очень большими по сравнению с размером области интереса. Электростатический скалярный потенциальный V связан с электрическим полем E E = – ∇V. Используя Уравнение Максвелла ∇ · D = ρ и отношение D = εE, можно записать уравнение Пуассона

где ε является диэлектрической проницаемостью, и ρ является плотностью пространственного заряда.

Для проблем электростатики можно использовать граничные условия Дирихле, задающие электростатический потенциальный V на граничных или Неймановых граничных условиях, задающих поверхностный заряд n · (ε ∇V) на контуре.

Магнитостатика

Приложения включающая магнитостатика включают магниты, электродвигатели и преобразователи. В магнитостатике скорость изменения является медленной.

Уравнения Максвелла для устойчивых случаев $$\nabla \times H=J$$ и $$\nabla \cdot B=0$$. Здесь, $$B=\mu H$$, где B является плотностью магнитного потока, H является интенсивностью магнитного поля, J является плотностью тока, и µ является магнитной проницаемостью материала.

С тех пор $$\nabla \cdot B=0$$, там существует магнитный вектор-потенциал таким образом что $$B=\nabla \times A\text{ и }\nabla \times \left(\frac{1}{\mu }\nabla \times A\right)=J$$.

Если электрические токи параллельны z - ось, то $$A=\left(0,0,A\right)\text{ и }J=\left(0,0,J\right)$$. Используя общее предположение прибора $$\nabla ·A=0$$, упростите уравнение для с точки зрения J к скалярному эллиптическому УЧП:

$$-\nabla ·\left(\frac{1}{\mu }\nabla A\right)=J$$, где $$J=J\left(x,y\right)$$. Для 2D случая, $$B=\left(\frac{\partial A}{\partial y},-\frac{\partial A}{\partial x},0\right)$$.

Для границ субдомена между областями различных свойств материала, H x n должно быть непрерывным. Это подразумевает непрерывность производной $$\frac{1}{\mu }\frac{\partial A}{\partial n}$$. Кроме того, в ферромагнитных материалах µ обычно зависит от полевой силы |B | = | ∇A |. Граничное условие Дирихле задает значение магнитостатического потенциального A на контуре. Нейманово условие задает значение нормального компонента $$n\cdot \left(\frac{1}{\mu }\nabla A\right)$$ на контуре. Это эквивалентно определению тангенциального значения магнитного поля H на контуре.