В этом примере рассмотрите Аттрактор Лоренца, описывающий уникальный набор хаотических решений.

Загрузите набор данных и частоту дискретизации fs к рабочей области, и визуализируйте Аттрактор Лоренца в 3-D.

load('lorenzAttractorExampleData.mat','data','fs');
plot3(data(:,1),data(:,2),data(:,3));

В данном примере используйте данные направления X Аттрактора Лоренца. Поскольку Lag неизвестен, оцените задержку с помощью phaseSpaceReconstruction. Установите размерность на 3, поскольку Аттрактор Лоренца является 3D системой. dim и параметры lag требуются, чтобы создавать логарифмическое расхождение по сравнению с графиком шага расширения.

xdata = data(:,1);
dim = 3;
[~,lag] = phaseSpaceReconstruction(xdata,[],dim)

lag = 10

Создайте среднее логарифмическое расхождение по сравнению с графиком шага расширения для Аттрактора Лоренца, с помощью значения lag, полученного на предыдущем шаге. Установите достаточно большую область значений расширения получать все шаги расширения.

eRange = 200;
lyapunovExponent(xdata,fs,lag,dim,'ExpansionRange',eRange)

Первая пунктирная, вертикальная зеленая строка (слева) указывает на минимальное количество шагов, используемых, чтобы оценить область значений расширения, в то время как вторая вертикальная зеленая строка (справа), представляет максимальное количество используемых шагов. Вместе, первые и вторые вертикальные строки представляют область значений расширения. Пунктирная красная линия указывает на линейную подходящую строку для данных в области значений расширения.

Чтобы вычислить самую большую экспоненту Ляпунова, сначала необходимо определить область значений расширения, необходимую для точной оценки.

В графике перетащите эти две пунктирных, вертикальных зеленых строки, чтобы лучше всего соответствовать линейной подходящей строке к исходной строке данных, чтобы получить область значений расширения: ${\mathit{K}}_{\min }$ и ${\mathit{K}}_{\max }$.

Отметьте новые значения области значений расширения после перетаскивания двух вертикальных строк для соответствующей подгонки.

Поскольку область значений расширения может только быть задана с помощью целых чисел, округления ${\mathit{K}}_{\min }$ и ${\mathit{K}}_{\max }$ к самому близкому целому числу. Найдите самую большую экспоненту Ляпунова Аттрактора Лоренца с помощью нового значения области значений расширения.

Kmin = 21;
Kmax = 161;
lyapExp = lyapunovExponent(xdata,fs,lag,dim,'ExpansionRange',[Kmin Kmax])

lyapExp = 1.6834

Отрицательная экспонента Ляпунова указывает на сходимость, в то время как положительные экспоненты Ляпунова демонстрируют расхождение и хаос. Значение lyapExp является индикатором уровня сходимости или расхождения бесконечно мало близких траекторий.