Вероятность по умолчанию при помощи модели Мертона для структурного кредитного риска

В 1 974, Роберт Мертон предложил модель для оценки структурного кредитного риска компании путем моделирования акции компании как колл-опциона на его активах. Модель Мертона использует методы ценообразования опции Мертона Блэка-Шоулза и структурна, потому что она обеспечивает отношение между кредитным риском и активом (капитал) структура фирмы.

Баланс компании записывает балансовую стоимость — значение акции фирмы E, его общая стоимость имущества A и его общие обязательства L. Отношение между этими значениями задано уравнением

Эта балансовая стоимость для E, A и L все заметна, потому что они зарегистрированы на балансе фирмы. Однако о балансовой стоимости нечасто сообщают. Также только рыночная стоимость акции заметна, и дана временами курса ценных бумаг на фондовом рынке фирмы количество акций в обращении. Рыночная стоимость активов фирмы и общих обязательств неразличима.

Модель Мертона связывает рыночную стоимость акции, активов и обязательств в опции, оценивая среду. Модель Мертона принимает одну ответственность L со зрелостью T, обычно период одного года или меньше. Во время T значение фирмы акционерам равняется различию A – L, когда стоимость активов A больше, чем обязательства L. Однако, если обязательства, L превышает стоимость активов A, то акционеры ничего не получают. Значение акции E _T во время T связано со значением активов и пассивов следующей формулой:

На практике фирмы имеют несколько сроков платежа для своих обязательств, таким образом, для выбранной зрелости T, порог ответственности L выбран на основе целой структуры ответственности фирмы. Порог ответственности также упоминается как точка по умолчанию. В течение типичного периода времени одного года порог ответственности обычно устанавливается к значению между значением краткосрочных обязательств и значением общих обязательств.

Принятие логарифмически нормального распределения для актива возвращается, можно использовать уравнения Мертона Блэка-Шоулза, чтобы связать заметную рыночную стоимость акции E и неразличимая рыночная стоимость активов A, в любое время до зрелости T:

В этом уравнении r является безрисковой процентной ставкой, N является совокупным стандартным нормальным распределением, и d ₁ и d ₂ дают

$d_{1} = \frac{\ln (\frac{A}{L}) + (r + 0.5 σ_{A}^{2}) T}{σ_{A} \sqrt{T}}$

$d_{2} = d_{1} - σ_{A} \sqrt{T}$

Можно решить это уравнение с помощью одного из двух подходов:

Подход mertonmodel использует калибровку одно точки и требует значений для акции, ответственности и энергозависимости акции _(σE).
Этот подход решает для (A, σ_A) использование системы 2 на 2 нелинейных уравнений. Первое уравнение является вышеупомянутой опцией, оценивая формулу. Второе уравнение связывает неразличимую энергозависимость активов σ_A к данной энергозависимости акции σ_E:

$σ_{E} = \frac{A}{E} N (d_{1}) σ_{A}$
Подход mertonByTimeSeries требует временных рядов для акции и для всех других параметров модели.
Если временные ряды акции имеют точки данных n, этот подход калибрует временные ряды стоимости активов n A ₁, …, A _n, которые решают следующую систему уравнений:

$\begin{array}{l} E_{1} = A_{1} N (d_{1}) - L_{1} e^{- r_{1} T_{1}} N (d_{2}) \\ ... \\ E_{n} = A_{n} N (d_{1}) - L_{n} e^{- r_{n} T_{n}} N (d_{2}) \end{array}$
Функция непосредственно вычисляет энергозависимость активов σ_A от временных рядов A ₁, …, A _n, когда пересчитанное на год стандартное отклонение журнала возвращается. Это значение является одним значением энергозависимости, которое получает энергозависимость активов во время периода времени, заполненного временными рядами.
После вычисления значений A и σ_A, функция вычисляет distance to default (DD), вычисляется как количество стандартных отклонений между ожидаемой стоимостью активов в зрелости T и порогом ответственности:

$D D = \frac{журнал A + (μ_{A} - σ_{A}^{2} / 2) T - журнал (L)}{σ_{A} \sqrt{T}}$
Параметр drift μ_A является ожидаемым доходом для активов, которые могут быть равны безрисковой процентной ставке или любому другому значению на основе ожиданий той фирмы.
probability of default (PD) задан как вероятность стоимости активов, падающей ниже порога ответственности в конце периода времени T:

$P D = 1 - N (D D)$

Смотрите также

mertonByTimeSeries | mertonmodel

Документация

Вероятность по умолчанию при помощи модели Мертона для структурного кредитного риска

Смотрите также

Похожие темы

Документация Risk Management Toolbox

Поддержка